Μη συνευθειακά

[Al.Koutsouridis]

Οι κορυφές τριγώνου ενώνονται με ευθύγραμμα τμήματα με τα σημεία , που κείτονται στις απέναντι πλευρές του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι τα μέσα των τμημάτων δεν μπορούν να είναι συνευθειακά.

[mikemoke]

Οι κορυφές τριγώνου ενώνονται με ευθύγραμμα τμήματα με τα σημεία , που κείτονται στις απέναντι πλευρές του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι τα μέσα των τμημάτων δεν μπορούν να είναι συνευθειακά.

Λόγω Θαλή τα μέσα βρίσκονται πάνω στο τρίγωνο και άρα δεν είναι συνευθειακά , σχηματίζουν τρίγωνο...;;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Διάβασε καλύτερα την εκφώνηση!

[george visvikis]

Οι κορυφές τριγώνου ενώνονται με ευθύγραμμα τμήματα με τα σημεία , που κείτονται στις απέναντι πλευρές του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι τα μέσα των τμημάτων δεν μπορούν να είναι συνευθειακά.

Λόγω Θαλή τα μέσα βρίσκονται πάνω στο τρίγωνο και άρα δεν είναι συνευθειακά , σχηματίζουν τρίγωνο...;;

[mikemoke]

Διάβασε καλύτερα την εκφώνηση!

Τα μέσα βρίσκονται πάνω σε σε οποιονδήποτε συνδυασμό. Πού είναι το πρόβλημα Houston ;

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πού είναι το πρόβλημα Houston ;

Μη θυμώνεις. Η υπογραφή του είναι, όχι η απάντηση!

[mikemoke]

Πού είναι το πρόβλημα Houston ;

Μη θυμώνεις. Η υπογραφή του είναι, όχι η απάντηση!

Το γνωρίζω Δεν θύμωσα φιλικά απάντησα και ρώτησα

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πού είναι το πρόβλημα Houston ;

Μη θυμώνεις. Η υπογραφή του είναι, όχι η απάντηση!

Το γνωρίζω Δεν θύμωσα φιλικά απάντησα και ρώτησα

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Διάβασε καλύτερα την εκφώνηση!

Τα μέσα βρίσκονται πάνω σε σε οποιονδήποτε συνδυασμό. Πού είναι το πρόβλημα Houston ;

Συγγνώμη, διάβασα βιαστικά αυτό που είχες γράψει και νόμισα πως δεν είχες καταλάβει την εκφώνηση! Τελικά εγώ δεν είχα καταλάβει τη λύση σου!

[Al.Koutsouridis]

Για να αποφορτίσουμε το κλίμα, η απάντηση του mikemoke είναι η προβλεπόμενη (σωστή).

Αφορμή για το πρόβλημα ήταν το σχόλιο που υπάρχει στην εισαγωγή του βιβλίου του A.A.Leman, Συλλογή προβλημάτων των μαθηματικών ολυμπιάδων Μόσχας, 1965. Εκεί σε κάποιο σημείο αναφέρεται ότι υπήρχαν περιπτώσεις όπου το πρώτο βραβείο είχε δοθεί σε μαθητή που δεν είχε λύσει πλήρως το πρόβλημα(τα). Μια από αυτές τις περιπτώσεις ήταν το παραπάνω πρόβλημα (για την 7-8 τάξη).

Τα μέλη της επιτροπής θεώρησαν το πρόβλημα όχι και τόσο δύσκολο. Όπως και στην απόδειξη του mikemoke αφού τα σημεία ανήκουν στο τρίγωνο που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών του και δεν συμπίπτουν με τις κορυφές του. Από αυτόν τον ισχυρισμό προκύπτει το ζητούμενο, αφού καμία ευθεία που δεν διέρχεται από τις κορυφές ενός τριγώνου δεν μπορεί να τμήσει και τις τρεις πλευρές του. Το τελευταίο θεωρήθηκε προφανές από την επιτροπή. Ένας από τους μαθητές όμως, αφού έφθασε την λύση μέχρι το προαναφερθέν σημείο έγραψε.

«Προσπάθησα για πολύ ώρα να αποδείξω ότι μια ευθεία δεν μπορεί να τμήσει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου σε εσωτερικά σημεία, αλλά δεν κατάφερα να το κάνω, καθώς με τρόμο συνειδητοποίησα, ότι δεν ξέρω, τι θα πει ευθεία»

Για αυτήν την αναγνώριση της «μη γνώσης» στο μαθητή δόθηκε το πρώτο βραβείο.

Τι θα κάναμε όμως αν μας λέγανε να το αποδείξουμε; Προσπάθησα να βρω, ξεφυλλίζοντας γρήγορα το σχολικό βιβλίο, αν αναφέρεται κάπου το γεγονός ότι μια ευθεία δεν μπορεί να τμήσει εσωτερικά και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου και δεν βρήκα κάτι (μπορεί να αναφέρεται όποιος θυμάται το σημείο ας το κοινοποιήσει). Σιγά, σιγά κατέληξα στο παράρτημα και στα αξιώματα του Hilbert. (βλέπε εδώ). Εκεί ένα από τα αξιώματα της διάταξης , το αξίωμα (Πας ή Pasch) , λέει

«Έστω  τρία σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έστω ε ευθεία στο επίπεδο των που δε διέρχεται από κανένα από τα σημεία . Αν η ευθεία ε διέρχεται από ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος , τότε πρέπει να διέρχεται κι από ένα σημείο του τμήματος  ή από ένα σημείο του τμήματος  (αξίωμα του Πας).» 

Με την βοήθεια του οποίου μπορεί να αποδειχθεί ότι «Μία ευθεία δεν μπορεί να τμήσει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου» , λήμμα Bernays π.χ. εδώ 3.2, σελίδα 104.

Όχι και τόσο εύκολες σκέψεις…

[Demetres]

αφού καμία ευθεία που δεν διέρχεται από τις κορυφές ενός τριγώνου δεν μπορεί να τμήσει και τις τρεις πλευρές του.

<...>

Τι θα κάναμε όμως αν μας λέγανε να το αποδείξουμε;

Έστω οποιαδήποτε ευθεία η οποία δεν διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. Από τις τρεις κορυφές του τριγώνου θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο, έστω οι , οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο από τα δύο ημιεπίπεδα που δημιουργεί η . Τότε όμως η δεν τέμνει την πλευρά .

Είναι βέβαια άλλη κουβέντα αν χρειαστεί να πάμε αξιωματικά.