ΗΛΘΕ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΑΛΛΗ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Τις παρακάτω ανισότητες τις σκέφτηκα επειδή ασχολήθηκα με το θέμα Ο 402 του Mathematical Reflections 1 του 2017.
Με χαρά σας τις προτείνω...

1.Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι
$sin2Asin2B+sin2Bsin2C+sin2Csin2A\geq 2\sqrt{3}sin2Asin2Bsin2C$

2.Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ABC

, με $\hat{A}$ αμβλεία , αποδείξτε ότι
$-sin2Asin2B+sin2Bsin2C-sin2Csin2A\geq -2\sqrt{3}sin2Asin2Bsin2C$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Έπειτα από τόσες μέρες , νομίζω ότι οφείλω να γράψω λύση...

Θα αποδειχθεί μια ανισότητα πιο σφικτή από την πασίγνωστη ανισότητα $Weitzenb\ddot{o}ck$ , συγκεκριμένα θα αποδειχθεί ότι σε τρίγωνο ABC

ισχύει $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E$ , όπου

το εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

$\left (ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c \right )=3\cdot 4ER2s\geq3 \cdot 4E2r2s=3\cdot 16E^{2}$

Αν γίνει αποτετραγωνισμός προκύπτει η $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E$ .

Το θέμα που προτείνω δεν είναι παρά η εφαρμογή της ανισότητας αυτής στο ορθικό τρίγωνο.

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση που το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνιο.
Αν $a_{1},b_{1},c_{1}$ τα μήκη των πλευρών του ορθικού τριγώνου του ABC

, ισχύει ότι
$a_{1}=a\cdot cosA,b_{1}=b\cdot cosB,c_{1}=c\cdot cosC$ όπως είδαμε στην δημοσίευση
viewtopic.php?f=58&t=38659

Ασφαλώς όλοι καταλαβαίνουν ότι
$a_{1}=a\cdot cosA=2RsinAcosA=Rsin2A$ και φυσικά $b_{1}=Rsin2B,c_{1}=Rsin2C$

O περιγεγραμμένος κύκλος του ορθικού τριγώνου του ABC

είναι ίσος με $\displaystyle\frac{R}{2}$ , είτε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο είτε αμβλυγώνιο.

Έστω $E_{1}$ το εμβαδόν του ορθικού τριγώνου του ABC

.

Όμως $\displaystyle E_{1}=\frac{a_{1}b_{1}c_{1}}{4\frac{R}{2}}=\frac{a_{1}b_{1}c_{1}}{2R}$

Αν εφαρμοστεί η ανισότητα που αποδείχθηκε παραπάνω προκύπτει

$\displaystyle R^{2}\left ( sin2Asin2B+sin2Bsin2C+sin2Csin2A \right )\geq 4\sqrt{3}\frac{Rsin2A \cdot Rsin2B \cdot Rsin2C}{2R}$

και μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει η προς απόδειξη ανισότητα.

Αν δούμε την ανισότητα για την περίπτωση όπου το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο με $\hat{A}$ αμβλεία .Από την ίδια δημοσίευση

προκύπτει ότι $a_{1}=-a\cdot cosA=-2RsinAcosA=-Rsin2A$ και $b_{1}=Rsin2B,c_{1}=Rsin2C$

Για να μη σας κουράζω με πολλά διαδικαστικά , αν εφαρμοστεί ίδια ανισότητα στο ορθικό τρίγωνο του αμβλυγωνίου τριγώνου
ABC

προκύπτει η ανισότητα που προτείνεται.

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
1.Σε οξυγώνιο τρίγωνο αποδείξτε ότι
$sin2Asin2B+sin2Bsin2C+sin2Csin2A\geq 2\sqrt{3}sin2Asin2Bsin2C$

Για ευκολία $X=\sin{2A}, Y=\sin{2B} ,Z=\sin{2C}$ ,θα δείξουμε ότι $XY+YZ+ZX\geq 2\sqrt{3}XYZ$

Εφαρμόζοντας την $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$ έχουμε

$(XY+YZ+ZX)^2\geq 3XYZ(X+Y+Z)\Rightarrow XY+YZ+ZX\geq \sqrt{3}\sqrt{XYZ}\sqrt{X+Y+Z}$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\sqrt{X+Y+Z}\geq 2\sqrt{XYZ}\Leftrightarrow X+Y+Z\geq 4XYZ\Leftrightarrow$

$\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\geq 4\sin{2A}\sin{2B}\sin{2C}$

όμως (εύκολα αποδεικνύεται) $\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=4 \sin {A} \sin {B} \sin {C}$

συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι $4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\geq 4\sin2A\sin2B\sin2C\Leftrightarrow \cos{A}\cos{B}\cos {C}\leq \dfrac{1}{8}$

το οποίο ισχύει. (το έχουμε αποδείξει και εδώ στο

)

ΗΛΘΕ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΑΛΛΗ...

ΗΛΘΕ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΑΛΛΗ...

Re: ΗΛΘΕ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΑΛΛΗ...

Re: ΗΛΘΕ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΜΙΑ ΑΛΛΗ...

Μέλη σε σύνδεση