Καθημερινή

erxmer · #1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) $ef(x)+x-2e \geq 0, x>1$

3) $\displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}$

4) $\displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}$

5) H εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x^3+e^x}$ έχει μοναδική ρίζα στο (1,2)

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln^2|f(x)| \right )=;}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left (- lnf(x) \cdot sinx \right )=;}$ αφου προτείνεται άλλωστε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) $ef(x)+x-2e \geq 0, x>1$

3) $\displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}$

4) $\displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}$

5) H εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x^3+e^x}$ έχει μοναδική ρίζα στο

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( lnf(x) \cdot sinx \right )=;}$

Το 6) θέλει διόρθωση.Δεν γράφω τον λόγο γιατί θα είναι λύση στο 1)

Σταμ. Γλάρος · #3

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) $ef(x)+x-2e \geq 0, x>1$

3) $\displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}$

4) $\displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}$

5) H εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x^3+e^x}$ έχει μοναδική ρίζα στο

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( lnf(x) \cdot sinx \right )=;}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στην Καθημερινή ...
1) Είναι: xf'(x)=-f^2(x)

$\Leftrightarrow$ $-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}=\dfrac{1}{x}$ $\Leftrightarrow$ $\left ( \dfrac{1}{f(x)} \right )' = \left ( lnx \right )'$ .

Για 0<x<1

έχουμε, από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, $\dfrac{1}{f(x)}=ln x +c_{1}$ .
Θέτοντας όπου $x=\dfrac{1}{e}$ προκύπτει $c_{1}=0.$ Άρα $f(x)= \dfrac{1}{ln x} .$

Ομοίως για x>1

έχουμε, από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, $\dfrac{1}{f(x)}=ln x +c_{2}$ .
Θέτοντας όπου χ=e

προκύπτει $c_{2}=0.$ Άρα $f(x)= \dfrac{1}{ln x} .$

2) Θεωρώ $g(x)= e f(x) +x -2e = \dfrac{e}{ln x} +x -2e$ με $g'(x)= \dfrac{x ln^2 x -e }{xln^2 x} =\dfrac{h(x) }{xln^2 x} ,$
όπου h(x)= x ln^2 x -e

, με

Εύκολα προκύπτει $h'(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(1, +\infty )$ $\Rightarrow$

γνησίως αύξουσα στο $(1, +\infty ) .$
Όμως h(e)=0.

Άρα $h(x)<0 \,\,\,\ \forall x\in(1, e )$ και $h(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(e, +\infty ) .$
Οπότε $g'(x)<0 \,\,\,\ \forall x\in(1, e )$ και $g'(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(e, +\infty ) .$
Συνεπώς η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , το g(e)=0

. Επομένως $g(x)\geq 0.$

3) Από το προηγούμενο έχουμε $ef(x)+x-2e \geq 0, x>1$ και η

δεν είναι παντού μηδέν στο [e,2e] .

Άρα $\displaystyle{\int_{e}^{2e} \left ( ef(x)+x-2e \right )dx >0$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle{ e\int_{e}^{2e} f(x)dx >- \int_{e}^{2e}xdx+ 2e \int_{e}^{2e}dx$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle{ e\int_{e}^{2e} f(x)dx > \dfrac{e^2}{2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle{ \int_{e}^{2e} f(x)dx > \dfrac{e}{2} .$

4) Τώρα έχουμε $\displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $e \cdot \dfrac{ln b - ln a }{b-a} < ln a\cdot lnb$ (1)

Θεωρώ p(x) = ln x

. Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την

στο

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f' (\xi) = \dfrac{ln b - ln a }{b-a}$ .

Αντικαθιστώντας την τελευταία σχέση στην (1) αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{e }{\xi} < ln a\cdot lnb$ .

Όμως $\xi>a>e$ , οπότε $\dfrac{e }{\xi} <1$ και $\left.\begin{matrix}e<a \Rightarrow 1<ln a & \\ e<b \Rightarrow 1<lnb \end{matrix}\right\}\Rightarrow 1<lna \cdot ln b$

Άρα ισχύει $\dfrac{e }{\xi} <1<lna \cdot ln b$ .

5) Θεωρώ την q(x)= f(x)- x^3 - e^x

. Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}}q(x)= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \left ( f(x)-x^3-e^x \right ) = + \infty$ ,
διότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \dfrac{1}{ln x} = + \infty$ , αφού $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}} ln x = 0$ και ln x>0

για

Άρα υπάρχει k>1

κοντά στο

ώστε

Επίσης

Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο

.
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της

στο $(k,2)\subseteq (1,2).$

Επειδή q'(x)= f' (x) - 3x^2-e^x < 0

η

είναι γνησίως φθίνουσα , άρα η ρίζα μοναδική.

Θα επανέλθω για το 6.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #4

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αλλη λύση για το 3)

$\int_{e}^{2e}\frac{1}{lnx}dx\geq (2e-e)\frac{1}{ln2e}=\frac{e}{ln2e}> \frac{e}{2}$

γιατί $e^{2}> 2e$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Christos.N έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}$

Νομίζω ότι αυτό το όριο είναι το κατάλληλο για το 6)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Christos.N έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με $x>0, x \neq 1$ ώστε να ισχύει οτι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(e)=1\\ f(\frac{1}{e})=-1\\ f(x) \neq 0\\ xf'(x)=-f^2(x)\\ x>0, x \neq 1\\ \end{matrix}\right.}$

6) $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}$
Νομίζω ότι αυτό το όριο είναι το κατάλληλο για το 6)

Το κάνω για να κλείσει το θέμα.

Εχουμε ότι $ln(-\frac{1}{lnx})\sin x=(\dfrac{\sin x}{x})(xlnx)(ln(-\frac{1}{lnx})\frac{1}{lnx})$

Το πρώτο για $x\rightarrow 0^{+}$ πάει στο

ενω το δεύτερο στο

Το τρίτο έχει ενδιαφέρον.

Θέτουμε $t=-\frac{1}{lnx}$

$x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow t\rightarrow 0^{+}$

έτσι το τελευταίο είναι $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}-tlnt=0$

Τελικά το όριο είναι

Η απόδειξη του $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}tlnt=0$ γίνετε εύκολα με D H L

Το αλλο όριο είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ln\left | \frac{1}{lnx} \right |)^{2}=\infty$

γιατί θέτοντας $t=\left | \frac{1}{lnx} \right |$

έχουμε $x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow t\rightarrow 0^{+}$

και $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}lnt=-\infty$

Καθημερινή

Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Re: Καθημερινή

Μέλη σε σύνδεση