Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

#1

Ένα τεστ προετοιμασίας. Επίπεδο Γυμνασίου - Μικροί. Διάρκεια: 3 ώρες και 30 λεπτά.

1. Αν x,y

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x+y=1,

να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{ (a+b+ 1)(a+b−1)(a−b+ 1)(−a+b+ 1),}$ όπου $a =\sqrt{1 + x^2}$ και $b =\sqrt{1 + y^2 },$ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη των x,y.

2. Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών (p,q,r)

για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{\frac{q}{p-1}+\frac{r}{p+1}=\frac{q+r+1}{p}.}$

3. Το τραπέζιο ABCD

έχει κάθετες διαγωνίους και έστω P,N,Q,M

τα μέσα των πλευρών AB,BC,CD,DA

αντίστοιχα. Στη βάση

θεωρούμε σημείο $L\ne Q$ τέτοιο ώστε $\angle MLN=90^{\circ}.$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\angle LPA.$

4. Ένα σύνολο

αποτελούμενο από 4 στοιχεία θα λέγεται καλό αν για κάθε $x\in M$ ένας, τουλάχιστον, από τους αριθμούς x-2

και

ανήκει στο

Αν

το πλήθος όλων των καλών υποσυνόλων του συνόλου $\{1,2,3,...,n\},$ να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

τέτοιος ώστε $S_n\geq 2017.$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

socrates έγραψε:
2. Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{\frac{q}{p-1}+\frac{r}{p+1}=\frac{q+r+1}{p}.}$

$\dfrac{q}{p-1}+\dfrac{r}{p+1}=\dfrac{q+r+1}{p}\Leftrightarrow$ $\dfrac{q(p+1)+r(p-1)}{(p-1)(p+1)}=\dfrac{q+r+1}{p}\Leftrightarrow$ $p(pq+pr+q-r)=(p^2-1)(q+r+1)\Leftrightarrow$ $p^2q+p^2r+pq-pr=p^2q+p^2r+p^2-q-r-1\Leftrightarrow$ $p^2-1=pq-pr+q+r\Leftrightarrow$ $(p-1)(p+1)=q(p+1)-r(p-1)\Leftrightarrow$ $p-1=q-\dfrac{r(p-1)}{p+1}$ .

Προφανώς πρέπει p+1|r(p-1)

.

Γνωρίζουμε πως $(p+1, p-1)\leq 2$

Αν (p+1, p-1)=1

, τότε

, άρα

. Οι μόνοι διαδοχικοί πρώτοι είναι το

και το

, άρα

και

. Εύκολα μετά βρίσκουμε πως q=2

, άρα έχουμε την τριάδα (p, q, r)=(2, 2, 3)

.

Αν

, τότε

και

άρτιοι, άρα μπορούμε να τους γράψουμε στην μορφή

και

αντίστοιχα.

Έχουμε πως $p+1|r(p-1)\Leftrightarrow 2x|r(2x-2)\Leftrightarrow$ x|r(x-1)

. Επειδή

, έχουμε πως x|r

, δηλαδή

και

. Αντικαθιστώντας έχουμε πως:

$p-1=q-\dfrac{r(p-1)}{p+1}\Leftrightarrow$ $p-1=q-\dfrac{p-1}{2}\Leftrightarrow 2q=3(p-1)$ . Αυτό σημαίνει ότι 3|q

, δηλαδή

και συνεπώς p=3

. Εύκολα βρίσκουμε πως r=2

και έτσι έχουμε την τριάδα (p, q, r)=(3, 3, 2

)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

socrates έγραψε:
3. Το τραπέζιο έχει κάθετες διαγωνίους και έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Στη βάση θεωρούμε σημείο $L\ne Q$ τέτοιο ώστε $\angle MLN=90^{\circ}.$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\angle LPA.$

Φέρνουμε τις: PN, PM, NM, QN, QM, LN, LM

. Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου.

Έχουμε πως το NQ//AC

, καθώς

μέσα. Παράλληλα, MQ//BD

, καθώς

μέσα. Άρα οι γωνίες $\widehat{DOC}$ και $\widehat{NQM}$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, άρα είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Επειδή $\widehat{DOC}=90^o$ , έχουμε και στις δυο περιπτώσεις πως $\widehat{NQM}=90^o$ .

Επομένως έχουμε πως το NQLM

είναι εγγράψιμο τετράπλευρο.

Ακόμη επειδή N, M

μέσα έχουμε πως NM//CD//AB

, δηλαδή

, άρα το

είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα $\widehat{QNM}=\widehat{LMN}$

Επιπλέον, επειδή τα P, N, Q, M

είναι μέσα τετραπλεύρου, έχουμε πως το PNQM

είναι παραλληλόγραμμο και επειδή $\widehat{NQM}=90^o$ , έχουμε πως και $\widehat{NPM}=90^o$ . Επομένως $\widehat{MPB}=\widehat{PMN}=\widehat{QNM}=\widehat{LMN}$ .

Επίσης το PNLM

είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{MPB}=\widehat{LMN}=\widehat{LPN}$ , άρα $\widehat{MPB}=\widehat{LPN}$ .

Όμως είπαμε πως $\widehat{NPM}=90^o$ , άρα εύκολα συμπεραίνουμε πως $\widehat{LPA}=90^o$ .

harrisp · #4

Για το 4 πολύ συντομα λόγω πίεσης του χρόνου:

Λέω τα καλα ειναι (χ,χ+2,y+y+2)

Αν

εχουμε n-3 τρόπους

(Περιπτώσεις για y= x, x+2 προφανώς απορρίπτονται)

Αν y=x+3

εχουμε n-5 τρόπους

...

Αν ... 1 τροπο οποτε προκύπτει ο τυπος

(n-4)(n-5)*1/2 +n-3

Εύκολα τώρα n=67

#5

Αλλαγή τίτλου σε "Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί"!

Promitheas · #6

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 28, 2017 3:14 pm
4. Ένα σύνολο αποτελούμενο από 4 στοιχεία θα λέγεται καλό αν για κάθε $x\in M$ ένας, τουλάχιστον, από τους αριθμούς και ανήκει στο Αν το πλήθος όλων των καλών υποσυνόλων του συνόλου $\{1,2,3,...,n\},$ να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε $S_n\geq 2017.$

Αρχικα πρέπει ν>=4, για να ορίζεται το Μ.
Μετά, το Μ μπορεί να έχει δύο μορφές:
α) {κ,κ+1,κ+2,κ+3} με κ<=ν-3
β) {κ,κ+2,λ,λ+2} με κ<=λ-3<=ν-5

Θα πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε το πλήθος των πιθανών συνόλων Μ μορφής α, και το πλήθος των μορφής β, και να τα προσθέσουμε.

Τα Μ της μορφής α, έχουν πλήθος ν-3.

Τα Μ της μορφής β, έχουν πλήθος:
$\sum_{i=1}^{n-5}i=(n-5)+(n-6)+...+2+1=\frac{(n-5)*(n-4)}{2}$

Άρα, συνολικά υπάρχουν Χ= $\frac{(n-5)*(n-4)}{2}+n-3$ "καλά" υποσύνολα Μ.

Έτσι, υπολογίζουμε την ελάχιστη τιμή του ν, για την οποία Χ>=2017, η οποία είναι το ν=67 και Χ=2017

Fotis34 · #7

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 28, 2017 3:14 pm

2. Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{\frac{q}{p-1}+\frac{r}{p+1}=\frac{q+r+1}{p}.}$

Με απαλλαγή των παρονομαστών, και αφού τα φέρουμε όλα στο πρώτο μέλος, η εξίσωση είναι ισοδύναμη:

$\displaystyle{p²-(q-r)p-(q+r+1)=0.}$

Έστω προς άτοπο ότι οι πρώτοι $\displaystyle{p,q,r}$ είναι $\displaystyle{p,q,r≠3.}$ θα δουλέψουμε την εξίσωση $\displaystyle{(mod 3).}$

Είναι $\displaystyle{p,q,r\equiv1,2 (mod 3)}$ και $\displaystyle{p²\equiv1 (mod 3).}$

Η εξίσωση $\displaystyle{(mod 3)}$ γίνεται:

$\displaystyle{p²-(q-r)p-(q+r+1)\equiv0 (mod 3) \Leftrightarrow p(r-q)\equiv q+r (mod 3).}$

Έχουμε δύο περιπτώσεις:

(i) Για $\displaystyle{p\equiv 1(mod 3):}$

Τότε $\displaystyle{ r-q\equiv q+r (mod 3) \Leftrightarrow 2q\equiv 0 (mod 3) \Leftrightarrow q \equiv 0(mod 3),}$ πράγμα άτοπο, αφού $\displaystyle{q}$ πρώτος και $\displaystyle{q≠3.}$

(ii) Για $\displaystyle{p\equiv 2(mod 3):}$

Τότε $\displaystyle{ 2(r-q)\equiv q+r (mod 3) \Leftrightarrow r-3q\equiv0 (mod 3) \Leftrightarrow r \equiv0 (mod 3),}$ πράγμα άτοπο, αφού $\displaystyle{r}$ πρώτος και $\displaystyle{r≠3.}$

Άρα πρέπει τουλάχιστον ένας εκ των $\displaystyle{p,q,r}$ να είναι ίσος με $\displaystyle{3.}$ Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

(i) Για $\displaystyle{p=3:}$

$\displaystyle{3²-(q-r)3-(q+r+1)=0 \Leftrightarrow r=2(q-2),}$ δηλαδή, αφού, το δεξί μέλος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2}$ έπεται ότι και το αριστερό, ο $\displaystyle{r}$ , είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2.}$ Είναι $\displaystyle{r=2}$ αφού είναι ο μόνος άρτιος πρώτος. Για $\displaystyle{r=2}$ πολύ εύκολα προκύπτει $\displaystyle{q=3.}$

Επομένως, έχουμε την λύση $\displaystyle{(p,q,r)=(3,3,2).}$

(ii) Για $\displaystyle{q=3:}$

$\displaystyle{p²-(r-3)p-r-4=0.}$ (1) Θεωρούμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια στο $\displaystyle{p.}$ Πρέπει η διακρίνουσά της να είναι τέλειο τετράγωνο, για να έχει θετικές λύσεις.

Είναι $\displaystyle{\Delta=r²-2r+25}$ έστω $\displaystyle{k}$ ένα θετικός ακέραιος.
Είναι $\displaystyle{r²-2r+25=k² \Leftrightarrow (r²-2r+1)+24=k² \Leftrightarrow (r-1)²+24=k² \Leftrightarrow k²-(r-1)²=24 \Leftrightarrow (k-(r-1))(k+(r-1))=24.}$

Ελέγχοντας όλα τα συστήματα που προκύπτουν, από τους διαιρέτες του $\displaystyle{24}$ , έχουμε ως δεκτή λύση την $\displaystyle{r=2.}$ Εύκολα με αντικατάσταση στην (1) προκύπτει ότι $\displaystyle{p=3}$ .

Επομένως, έχουμε ξανά την ίδια λύση $\displaystyle{(p,q,r)=(3,3,2).}$

(iii) Για $\displaystyle{r=3:}$

$\displaystyle{p²-(q-3)p-(q+4)=0.}$ (2) Θεωρούμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια στο $\displaystyle{p.}$ Πρέπει η διακρίνουσά της να είναι τέλειο τετράγωνο, για να έχει θετικές λύσεις.

Είναι $\displaystyle{\Delta=q²-2q+25}$ έστω $\displaystyle{l}$ ένα θετικός ακέραιος.
Είναι $\displaystyle{q²-2q+25=l² \Leftrightarrow (q²-2q+1)+24=k² \Leftrightarrow (q-1)²+24=k² \Leftrightarrow k²-(q-1)²=24 \Leftrightarrow (k-(q-1)(k+(q-1)=24.}$

Ελέγχοντας όλα τα συστήματα που προκύπτουν, από τους διαιρέτες του $\displaystyle{24}$ , έχουμε ως δεκτές λύσεις τις $\displaystyle{q=6}$ , η οποία απορρίπτεται αφού $\displaystyle{q}$ πρώτος, και $\displaystyle{q=2}$ . Με $\displaystyle{q=2}$ με αντικατάσταση στην (2) έχουμε πώς $\displaystyle{p=2}$ .

Επομένως, έχουμε την λύση $\displaystyle{(p,q,r)=(2,2,3).}$

Άρα, οι μοναδικές λύσεις είναι:

$\displaystyle \boxed{(p,q,r)=(3,3,2),(2,2,3)}$ .

Υγ. Εδώ και καιρό ήθελα να την αρχίσω, αλλά δεν έβρισκα χρόνο. Ελπίζω να είναι σωστή.

Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

Re: Προετοιμασία για Αρχιμήδη - Μικροί

Re: Προετοιμασία για Αρχιμήδη - Μικροί

Re: Προετοιμασία για Αρχιμήδη - Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση