Κατάλληλο ύψος

KARKAR · #1

: Κατάλληλο ύψος.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 1011 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , η

είναι η μεσοκάθετη της

, είναι

και $\widehat{BAS}=\widehat{MAC}$ . Βρείτε το ύψος

, αν

#2

Καλή άσκηση. Βρίσκω $\boxed{AD = \frac{3}{4}a}$ .

Θα απαντήσω αν δεν έχουμε λύση μέχρι μεσάνυκτα.

#3

Λύση

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = a

με

το μέσο του και

το μέσο του

.

Πάνω στη κάθετο στο

επί την

θεωρώ σημείο

με $\boxed{AD = \dfrac{3}{4}a}$ .

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ και φέρνω τις εφαπτομένες του στα

B,C

που τέμνονται στο

. Η

τέμνει τον κύκλο στο

. Η

είναι η

συμετροδιάμεσος του $\vartriangle ABC$ από το

. Προφανώς : $b > c\,\,\kappa \alpha \iota$

$AB = AM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BAE} = \widehat {MAC}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,MS \bot BC$ μένει να δείξω ότι $MS = a\,\,(1)$ .

Επειδή $\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{BE}}{{BE + EC}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow \boxed{BE = \dfrac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}}\,\,(2)$ .Επίσης

: κατάλληλο ύψος.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 944 φορές

$\dfrac{{ED}}{{EM}} = \dfrac{{BE - BD}}{{BM - BE}} = \dfrac{{4BE - 4BD}}{{4BM - 4BE}} = \dfrac{{4BE - a}}{{2a - 4BE}}$ που λόγω της (2)

δίδει

$\boxed{\dfrac{{ED}}{{EM}} = \dfrac{{3{c^2} - {b^2}}}{{2({b^2} - {c^2})}}}\,\,\,(3)$ . Τώρα από το 2ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ έχω,

$2{b^2} - 2{c^2} = {a^2}\,\,\,(4)$ και από το Π. Θ. στο $\vartriangle ABD$ έχω, $8{c^2} = 5{a^2}\,\,(4)$ .

Η (2)

λόγω των

δίδει :

$\displaystyle{\dfrac{{ED}}{{EM}} = \dfrac{{3{c^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12{c^2} - 4{b^2}}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{12{c^2} - (4{c^2} + 2{a^2})}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{8{c^2} - 2{a^2}}}{{{a^2}}}}$ άρα λόγω της (4)

,

$\dfrac{{ED}}{{EM}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{MS}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow MS = a$ . ο. ε. δ.

Παρατήρηση :

Από τα παραπάνω συνάγονται κι άλλα ενδιαφέροντα συμπεράσματα .

1. $\widehat C = 45^\circ$

2. Αν ο κύκλος κόψει την

στο

και η

την

στο

τότε το

$\vartriangle PSC \to (3k,5k,4k)\,\,\,k > 0$ .

3. $\vartriangle ABT = \vartriangle AMC$

#4

KARKAR έγραψε:Κατάλληλο ύψος.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , η είναι η μεσοκάθετη της , είναι

και $\widehat{BAS}=\widehat{MAC}$ . Βρείτε το ύψος , αν

Καλό μεσημέρι σε όλους!

: Κατάλληλο ύψος.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Από θεώρημα διαμέσων $\displaystyle{{b^2} + {c^2} = 2{c^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a^2=2(b^2-c^2)}$ (1)

και από Π. Θ στο BMS,

$\displaystyle{BS=\frac{a\sqrt 5}{2}}$

Η

είναι συμμετροδιάμεσος, οπότε η

είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου: $\displaystyle{\cos A = \cos (S\widehat BM) = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}$ ,

και από την (1)

και νόμο συνημιτόνων στο αρχικό τρίγωνο βρίσκω $\displaystyle{b = \frac{3}{{\sqrt 5 }}c\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{{c^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}}$ (2)

Από Πυθαγόρειο στο ABD,

$\displaystyle{A{D^2} = {c^2} - \frac{{{a^2}}}{{16}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} }$ $\boxed{AD=\frac{3a}{4}}$

#5

: κατάλληλο ύψος_αλλιως.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Έστω λοιπόν τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με διάμεσο

ύψος $AD = \dfrac{{3a}}{4}$ και AB = AM

.

Για το σημείο

του

ισχύει $\widehat {BAE} = \widehat {MAC}$ . Θα δείξω ότι $\dfrac{{ED}}{{EM}} = \dfrac{3}{4}$ και άρα θα

είναι $\dfrac{{AD}}{{MS}} = \dfrac{3}{4}$ και έτσι θα έχω MS = a

και το ισοδύναμο ζητούμενο θα έχει

απαντηθεί .

Είναι $\varepsilon \varphi \xi = \varepsilon \varphi (\varphi + \omega ) = \dfrac{1}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\varepsilon \varphi ((\varphi + \omega ) + \theta ) = 1$ έτσι $\boxed{\varepsilon \varphi \theta = \dfrac{1}{2}}$ άρα

$\varepsilon \varphi (\xi + \varphi ) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\varepsilon \varphi \varphi = \dfrac{1}{7}}$ Επειδή $\varepsilon \varphi \varphi = \dfrac{{DE}}{{AD}} = \dfrac{1}{7}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi (\varphi + \omega ) = \dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$

Θα είναι $\dfrac{{DE}}{{DM}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DM - DE}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{DE}}{{EM}} = \frac{3}{4}}$

KARKAR · #6

Σε κάτι τέτοιες περιπτώσεις δικαιώνεται ο Γιώργος Ρίζος , λέγοντας :

"Μην υποτιμάτε την τριγωνομετρία" !

Κατάλληλο ύψος

Κατάλληλο ύψος

Re: Κατάλληλο ύψος

Re: Κατάλληλο ύψος

Re: Κατάλληλο ύψος

Re: Κατάλληλο ύψος

Re: Κατάλληλο ύψος

Μέλη σε σύνδεση