Εύρεση τύπου

#1

Έστω $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f{'}(x)\neq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .

Αν $\displaystyle{f(lnx +x) \geq f(2x+m)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in (0,+\propto)}$ , όπου ο

είναι σταθερός πραγματικός αριθμός,

(α) Να μελετήσετε την

ως προς την μονοτονία

(β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο

(γ) Αν επί πλέον ισχύει ότι $\displaystyle{f^{' '}(x)=f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ και $\displaystyle{f(0)=2017}$ , $\displaystyle{f{'}(0)= - 2017}$ , να βρεθεί ο τύπος της

ΣΗΜ: Στο (β) ερώτημα, ζητάμε την ελάχιστη τομή για το

και όχι την μέγιστη που από παραδρομή έγραψα. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ τον Μιχάλη Λάμπρου . Και μια ακόμα προσθήκη, για το (γ) ερώτημα, ότι $\displaystyle{f{'}(0)=-2017}$ , κάνει πιο ωραία την άσκηση, όπως παρατήρησε ο Σταμάτης Γλάρος

Σταμ. Γλάρος · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f{'}(x)\neq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .

Αν $\displaystyle{f(lnx +x) \geq f(2x+m)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in (0,+\propto)}$ , όπου ο είναι σταθερός πραγματικός αριθμός,

(α) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία

(β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο

(γ) Αν επί πλέον ισχύει ότι $\displaystyle{f^{' '}(x)=f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ και $\displaystyle{f(0)=2017}$ , να βρεθεί ο τύπος της

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το (α).
Είναι $f'(x)\neq 0$ και f' :

συνεχής στο $\mathbb{R} , ως παραγωγίσιμη.$ . Συνεπώς η

διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ .
Έστω f'(x)>0 ,

$\forall x\in \mathbb{R}$ . Τότε η

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Επομένως έχουμε: $\displaystyle{f(lnx +x) \geq f(2x+m)}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $lnx \geq 2x +m$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $lnx \geq x +m$ , $\displaystyle{\forallx\in (0,+\propto)}$ .

Άτοπο, διότι $\displaystyle{\mathop{lim}\limits_{x\to 0^{+}} lnx = -\propto$ και $\displaystyle{\mathop{lim}\limits_{x\to 0^{+}} (x+m) = m .$
Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Δυστυχώς, εδώ είμαι υποχρεωμένος να σταματήσω την υπέροχη αυτή δημιουργία !
Θα συνεχίσω αργότερα!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: (β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο

Δημήτρη, μήπως εννοείς "ελάχιστη" τιμή του

;

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: (β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο
Δημήτρη, μήπως εννοείς "ελάχιστη" τιμή του ;

Καλό βράδυ Μιχάλη. Ναι, δικό μου λάθος. Την ελάχιστη τιμή του

πρέπει να ζητήσουμε.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΟΡΘΩΣΗ

#5

Δημήτρη, χαιρετίσματα σε σένα και στους εκεί φίλους.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: (β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο

Απάντηση:

.

Εφόσον, όπως έδειξε ο Σταμάτης , η

είναι γνήσια φθίνουσα, η υπόθεση

$\displaystyle{f(\ln x +x) \geq f(2x+m)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in (0,+\infty)}$

δίνει $\ln x +x \leq 2x+m$ στο εν λόγω διάστημα. Άρα $m \geq \ln x -x$ .

Παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι το δεξί μέλος έχει μέγιστο για x=1

. Ειδικά $m \geq \ln 1 - 1=-1$ , και λοιπά.

maiksoul · #6

Καλό μεσημέρι σε όλους, μία προσπάθεια μετά από καιρό για το όμορφο πρώτο ερώτημα

Η

διατηρεί πρόσημο και κατά συνέπεια η

είναι γνησίως μονότονη. Θα προσπαθήσουμε να καθορίσουμε το είδος της μονοτονίας της.

Η συνεχης και γνησίως αύξουσα συνάρτηση lnx+x

έχει σύνολο τιμών ολόκληρο τον πραγματικό άξονα, επομένως θα ισχύει για μοναδικό θετικό

ότι

Η αρχικη ανισοτική σχέση δίνει:

$x=k : f(m)\geq f(2k+m)$ ενώ είναι m< 2k+m

Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Αφού έμεινε κάνω το γ)

Εχουμε 0=f''(x)-f(x)=(f''(x)-f'(x))+(f'(x)-f(x))

Θέτουμε

Η προηγούμενη γίνεται g'(x)+g(x)=0

Δηλαδή $(g(x)e^{x})'=0$

Παίρνουμε $g(x)=c_{1}e^{-x}$

Αρα $f'(x)-f(x)=c_{1}e^{-x}$

Η τελευταία γράφεται $(f(x)e^{-x})'=(ce^{-2x})'$

Τελικά $f(x)e^{-x}=ce^{-2x}+d$

οπότε $f(x)=ce^{-x}+de^{x}$

Βάζοντας τις αρχικές συνθήκες παίρνουμε $f(x)=2017e^{-x}$

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση