Ορίζουσα - Επαγωγή

Mathletic · #1

Γειά σας!

Έχουμε τον πίνακα $A_n=(A_{ij})\in \mathbb{C}^{n\times n}$ με $a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1 , & i=j\\ -1 , & i=j-1\\ j^2, & i=j+1\\ 0 , & \text{ otherwise} \end{matrix}\right.$ για $1\leq i,j\leq n$ .

Θέλω να βρω την ορίζουσα με επαγωγή.

Έχω κάνει τα εξής:

Για να βρω την ορίζουσα έκανα κάποια παραδείγματα:

Για n=2

έχουμε τονπίνακα $A_2=\begin{pmatrix}1& -1 \\ 1& 1\end{pmatrix}$ . Η ορίζουσα είναι $|A_2|=\begin{vmatrix}1& -1 \\ 1& 1\end{vmatrix}=2=n(n-1)$ .

Για n=3

έχουμε τον πίνακα $A_3=\begin{pmatrix}1& -1& 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix}$ . Η ορίζουσα είναι
$\\ |A_3|=\begin{vmatrix}1& -1& 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 1\end{vmatrix} \ \ \overset{R_2=R_2-R_1}{ = } \ \ \begin{vmatrix}1& -1& 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 4 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1\end{vmatrix}=2-(-4)=6=n(n-1)$ .

Οπότε θέλουμε να δείξουμε ότι η ορίζουσα είναι |A_n|=n(n-1)

, για $n\geq 2$ , σωστά;

Επαγωγή στο

.

Βάση επαγωγής: Για n=2

ισχύει.

Επαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι ισχύει για n=k

, δηλαδή ότι |A_k|=k(k-1)

.

Επαγωγικό βήμα: Θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1

, δηλαδή ότι $|A_{k+1}|=(k+1)k$ .

Μπορείτε να μου δώσετε μια ιδέα για το πως μπορούμε να συνεχίσουμε στο επαγωγικό βήμα; Πώς σχετίζεται η ορίζουσα του A_k

με την ορίζουσα του $A_{k+1}$ ;

dement · #2

Τι εννοείς "να συνεχίσουμε"; Δεν έχεις αρχίσει κάποιο συλλογισμό. Απλώς μάντεψες (εσφαλμένα) το αποτέλεσμα και είπες τα προκαταρκτικά της επαγωγής. Ούτε ιδιότητες οριζουσών ούτε τίποτε άλλο. Δούλεψε λίγο περισσότερο.

Αν μη τι άλλο κάνε μια ακόμα περίπτωση που θα σου δώσει τη σωστή ιδέα.

Καλή δουλειά.

#3

Mathletic έγραψε: Μπορείτε να μου δώσετε μια ιδέα για το πως μπορούμε να συνεχίσουμε στο επαγωγικό βήμα; Πώς σχετίζεται η ορίζουσα του με την ορίζουσα του $A_{k+1}$ ;

Ως συνήθως παραδίνεσαι χωρίς να έχεις εξαντλήσει την προεργασία. Δεν είναι δυνατόν με

περιπτώσεις του

να διατυπώσεις εικασία! Πέρα από αυτό, δεν είναι δυνατόν να έχεις έναν πίνακα που σχεδόν όλοι οι όροι της πρώτης γραμμής είναι

και να μην μπορείς να διαχειριστείς την ορίζουσα.

Προσπάθησε τέλος πάντων να κατανοήσεις το καλοπροαίρετο μήνυμα που σου δίνουμε, ξανά και ξανά. Για όφελός σου είναι, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς.

Edit: Με πρόλαβε ο Δημήτρης. Το στέλνω έτσι και αλλιώς γιατί παιδεύομαι κάμποση ώρα με την απίστευτα αργή σύνδεση σήμερα, και ας μην πάει χαμένο το κείμενο γι' αυτό και μόνο τον λόγο!

Mathletic · #4

Έκανα περισσότερα παραδείγματα και πιστεύω ότι η ορίζουσα του A_n

είναι

.

Υποθέτουμε ότι ισχύει για n=k-1

.

Ο πίνακας είναι της μορφής
$A_k=\begin{pmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2& 1 & -1\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& k^2 & 1\end{pmatrix}$

Αφού όλα τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής είναι μηδέν, εκτός από δύο, έχουμε ότι:
$\\ |A_k|=\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2& 1 & -1\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& k^2 & 1\end{vmatrix} \\ =(-1)^{k+k-1}k^2\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2 & -1\end{vmatrix} \\ +(-1)^{k+k}\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2& 1 \end{vmatrix}$

Στον πρώτο από τους δύο πίνακες πίνακας, η τελευταία γραμμή είναι πολλαπλασιασμένη με (-1)

, άρα
$\\ |A_k|=(-1)^{2k-1}k^2(-1)\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2 & 1\end{vmatrix} \\ +(-1)^{k+k}\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-1)^2& 1 \end{vmatrix} \\ =k^2|A_{k-1}|+|A_{k-1}|=k^2(k-1)!+(k-1)!=kk!+(k-1)!$

Είναι σωστά μέχρι εδώ;

dement · #5

Βάλε

και θα δεις μόνος σου ότι δεν είναι σωστά.

Σταμάτα να ζητάς βοήθεια σε πράγματα που μπορείς μόνος σου να ελέγξεις, γίνε όσο το δυνατόν πιο αυτόνομος.

#6

Mathletic: Επαναφορά του ερωτήματος για να δούμε την πρόοδο και για χαρούμε να διαπιστώσουμε αν ότι οι υποδείξεις μας πιάνουν τόπο.

Mathletic · #7

Στο επαγωγικό βήμα έχουμε τονπίνακα:
$|A_{k+1}|=\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 &0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& 0 & k^2 & 1 \end{vmatrix}$

Αναπτύσσοντας ως προς την τελευταία γραμμή παίρνουμε:
$|A_{k+1}|=&(-1)^{k+1+k}k^2\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & -1 \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{k+1+k+1}\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & 1 \end{vmatrix} \\ = & -k^2\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & -1 \end{vmatrix} \\ & +\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & 1 \end{vmatrix}$

Ο δεύτερος όρος του αθροίσματος είναι η ορίζουσα του πίνακα A_k

, σωστά;

Για να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο του αθροίσματος, αναπτύσσουμε ως προς την τελευταία στήλη:
$\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots& \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & 0& (k-1)^2 & -1 \end{vmatrix} \\ =(-1)^{k+k}\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 \end{vmatrix} \\ =- \begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 \end{vmatrix}$

Η ορίζουσα $\displaystyle{\begin{vmatrix}1& -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & \ldots & (k-2)^2& 1 \end{vmatrix}}$ είναι η ορίζουσα του πίνακα $A_{k-1}$ , σωστά;

Οπότε έχουμε:
$\\ |A_{k+1}|=-k^2\cdot (-|A_{k-1}|)+|A_k|=k^2|A_{k-1}|+|A_k|=k^2(k-1)!+k! \\ =k\cdot k(k-1)!+k! =k\cdot k!+k!=k!\cdot (k+1) =(k+1)!$

#8

Σωστό φαίνεται αλλά ομολογώ ότι με δυσκολία σε παρακολουθώ γιατί πλατειάζεις πέραν του δέοντος. Τα μισά από αυτά που γράφεις είναι περιττά. Όπως και να είναι, δεν βλέπω σφάλμα.

Mathletic · #9

Ωραία! Ευχαριστώ!!

Ορίζουσα - Επαγωγή

Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Re: Ορίζουσα - Επαγωγή

Μέλη σε σύνδεση