Αρχιμήδης 2016-2017

JimNt. · #21

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 8 Juniors
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση:

H αρχική γίνεται: 2a^2+ab+3a-b^2-12=0

, που έχει $\Delta=9b^2+6b+105$ . Για $b\ge17$ είναι $(3b+2)^2>\Delta>(3b+1)^2$ , άτοπο. Συνεπώς, b<17

. Ελέγχοντας μια μία τις περιπτώσεις παίρνουμε b=8

, που δίνει a=4

. Συνεπώς, $\boxed{(a,b)=(4,8)}$ .

JimNt. · #22

mikemoke έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)

Αυτό μπορεί να λυθεί με γνώσεις Φυσικής Γυμνασίου;

Chagi · #23

Για το ερώτημα (2) της άσκησης 7 αρκεί να αντικαταστήσουμε το χ στην εξίσωση με τον αριθμό 10
'Ετσι θα παρουμε οτι το 9909991081= 991 * 9999991

harrisp · #24

Chagi έγραψε:Για το ερώτημα (2) της άσκησης 7 αρκεί να αντικαταστήσουμε το χ στην εξίσωση με τον αριθμό 10
'Ετσι θα παρουμε οτι το 9909991081= 991 * 9999991

Πράγματι!

Αλλά πώς το βρήκες;

JimNt. · #25

Μου φαίνεται ότι προυποθέτει την χρήση υπολογιστικού συστήματος.

harrisp · #26

JimNt. έγραψε:Μου φαίνεται ότι προυποθέτει την χρήση υπολογιστικού συστήματος.

Δεν νομίζω ο θεματοδότης να είχε αυτό στο μυαλό του.

JimNt. · #27

Μάλλον όχι. Αλλά όταν φτιάχνουμε μια άσκηση αρκετές φορές δεν υπολογίζουμε τον τρόπο που θα λυθεί από έναν μέσο λύτη. π.χ Στην συγκεκριμένη περίπτωση η επίλυση μια

βαθμιας εξίσωσης δεν είναι και η καλύτερη επιλογή.

mikemoke · #28

JimNt. έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)
Αυτό μπορεί να λυθεί με γνώσεις Φυσικής Γυμνασίου;

Οντωσ τετοιεσ συνδεσμολογιεσ διδασκονται στην 3η γυμνασιου και 2α Λυκειου αλλα γινεται αρκετα περιπλοκο μετα απο 4 5 αντιστατεσ .Εχεισ βρει καποιον τυπο?

Chagi · #29

Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.

harrisp · #30

Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.

JimNt. · #31

Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.

Τι σε έκανε να επιλέξεις το

και όχι το

; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)

Chagi · #32

JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το και όχι το ; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)

Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.

JimNt. · #33

Chagi έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το και όχι το ; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)
Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.

Σωστά. Οπότε ξεκίνησες από τον μικρότερο δυνατό. (Συγνώμη για την παρεξήγηση)

ZOIDAKI MARY · #34

Καλησπέρα!!!
ένας μαθητής Β΄γυμνασίου που προετοιμάζεται για τον διαγωνισμό του ΑΡΧΙΜΗΔΗ , θα πρέπει να ανατρέξει και στην αδίδακτη ύλη για αυτόν Γ΄Γυμνασίου ???
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τις συμβουλές!

Γιάννης Μπόρμπας · #35

Chagi έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Chagi έγραψε:Νομίζω λύνεται αν κάνουμε το εξής:
9909991081=10^10-90008919
Τώρα στον αριθμό πο προέκυψε ( εννοώ το 90008919) κανουμε το ίδιο θα πάρουμε ότι 90008919=10^9-909991081
Εκτελώντας την ίδια διαδικασία και κάνοντας τις μεταξύ τους αφαιρέσεις δλδ: 9909991081=10^10-[10^9-....] θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση σαν την αρχική όπου χ θα ειναι το 10.
Τι σε έκανε να επιλέξεις το και όχι το ; (Πάλι προϋποθέτει έναν προενδοιασμό)
Το 9^10-9909991081 ισούται με αρνητικό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει για κάθε αριθμό μικρότερο του 10.

Αυτή ήταν η ιδέα του προβλήματος! Πολύ ωραία!

Γιάννης Μπόρμπας · #36

Άσκηση 10 Seniors
Σε έναν πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί:

και

όπου

θετικός ακέραιος.
Μπορούμε να επιλέξουμε μερικές φορές τον αριθμό

και μερικές φορές τον αριθμό

χρησιμοποιώντας στο σύνολο το πολύ

αριθμούς και το λιγότερο

(Δηλαδή μπορούμε να επιλέξουμε

φορές τον αριθμό

και

φορές τον αριθμό

για $n\ge 8$ ).
Στην συνέχεια εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που επιλέξαμε και όλων των δυνατών συνδυασμών τους
και γράφουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα (Αν ένας αριθμός προκύπτει με παραπάνω από έναν τρόπο τον γράφουμε και αυτόν

φορά). Τέλος εκτελούμε το άθροισμα όλων των δυνατών και διαφορετικών αποτελεσμάτων
που προέκυψαν το οποίο και θα ονομάζουμε S(n)

.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 6S(n)

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Παράδειγμα για n=2

Μπορούμε να κατασκευάσουμε τους αριθμούς 0,1,2,3,4

ως εξής:

,

χρησιμοποιώντας το πολύ 2 όρους στην πρόσθεση.
Άρα S(2)=0+1+2+3+4=10

Σημείωση: Στην παραπάνω περίπτωση που n=2

τον αριθμό

μπορούμε να τον κατασκευάσουμε και ως 2=1+1

. Όμως στο
S(2)

τον μετράμε μία φορά.

manousos · #37

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία $a_{n}$ , $n\ge 1$ ορίζεται από την σχέση:
$na_{n}+3=3n+a_{n+1}$ με $a_{1}=4$ .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν $p\in\mathbb{P}$ και τότε $p|a_{c}$

Καλησπέρα, ωραία ασκησούλα!

$\displaystyle{a_{n+1}-3=n(a_{n}-3)=n(n-1)(a_{n-1}-3)=...=n!(a_{1}-3)=n!\Rightarrow a_{c} = (c-1)! + 3}$

Αν $\displaystyle{c\in \mathbb{P}}$ πρέπει $\displaystyle{c\mid (c-1)! + 3}$ . Όμως από $\displaystyle{Wilson:}$ $\displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv -1 + 3\equiv 2 (mod\: c) \Rightarrow c=2}$

Αν $\displaystyle{c\notin \mathbb{P}}$ και $\displaystyle{p}$ πρώτος διαιρέτης του $\displaystyle{c}$ πρέπει $\displaystyle{p\mid (c-1)! + 3}$ . Όμως: $\displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv 0 + 3\equiv 3 (mod\: p) \Rightarrow p=3}$

Τελικά $\displaystyle{c=2}$ ή $\displaystyle{c=3^n , n\geq 2}$

Γιάννης Μπόρμπας · #38

manousos έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία $a_{n}$ , $n\ge 1$ ορίζεται από την σχέση:
$na_{n}+3=3n+a_{n+1}$ με $a_{1}=4$ .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν $p\in\mathbb{P}$ και τότε $p|a_{c}$
Καλησπέρα, ωραία ασκησούλα!

$\displaystyle{a_{n+1}-3=n(a_{n}-3)=n(n-1)(a_{n-1}-3)=...=n!(a_{1}-3)=n!\Rightarrow a_{c} = (c-1)! + 3}$

Αν $\displaystyle{c\in \mathbb{P}}$ πρέπει $\displaystyle{c\mid (c-1)! + 3}$ . Όμως από $\displaystyle{Wilson:}$ $\displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv -1 + 3\equiv 2 (mod\: c) \Rightarrow c=2}$

Αν $\displaystyle{c\notin \mathbb{P}}$ και $\displaystyle{p}$ πρώτος διαιρέτης του $\displaystyle{c}$ πρέπει $\displaystyle{p\mid (c-1)! + 3}$ . Όμως: $\displaystyle{(c-1)! + 3 \equiv 0 + 3\equiv 3 (mod\: p) \Rightarrow p=3}$

Τελικά $\displaystyle{c=2}$ ή $\displaystyle{c=3^n , n\geq 2}$

Σωστή η λύση, ίσως θεωρηθεί αρκετά εύκολη για Seniors, βέβαια λόγω του όρου "ακολουθία" δεν μπορεί να καταταχθεί σε Juniors. Έτσι, επέλεξα να την τοποθετήσω στην παραπάνω κατηγορία.

Γιάννης Μπόρμπας · #39

Άσκηση 11 Juniors
Θεωρούμε τις εξισώσεις:
(1)

:

Με μεταβλητή το

και

μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί.
Αν οι εξισώσεις (1),(2)

έχουν τουλάχιστον μία κοινή πραγματική λύση
να αποδείξετε ότι a+b+c+d+e=0

Γιάννης Μπόρμπας · #40

Άσκηση 12 Juniors
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
x^4+8x^3+23x^2+34x+15=0

Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Μέλη σε σύνδεση