Putnam 2016/B2

#1

Λέμε ότι ένας θετικός ακέραιος

είναι τετραγωνοειδής αν είναι τέλειο τετράγωνο ή αν η διαφορά του από το κοντινότερό του τέλειο τετράγωνο είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. ο 2016

είναι τετραγωνοειδής επειδή το κοντινότερο τέλειο τετράγωνο του 2016

είναι το

και επιπλέον το 2025-2016 = 9

είναι τέλειο τετράγωνο. (Από τους θετικούς ακεραίους από το

ως το

, μόνο οι

και

δεν είναι τετραγωνοειδείς)

Για έναν θετικό ακέραιο

έστω

το άθροισμα των τετραγωνοειδών ακεραίων από το

ως το

συμπεριλαμβανομένων. Να βρεθούν θετικές σταθερές $\alpha$ και $\beta$ ώστε

$\displaystyle{\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{\alpha}}=\beta,}$

ή να δειχθεί πως τέτοιες σταθερές δεν υπάρχουν.

#2

Ας το δούμε και αυτό.

Σε κάθε τετραγωνοειδή αριθμό αντιστοιχούμε το πλησιέστερό του τέλειο τετράγωνο. Ας δούμε πόσοι τετραγωνοειδείς αριθμοί αντιστοιχούν σε ένα τέλειο τετράγωνο:

Στο τέλειο τετράγωνο m^2

αντιστοιχούν μόνο τετραγωνοειδείς αριθμοί που ανήκουν στο σύνολο $\{m^2-m+1,\ldots,m^2+m\}$ αφού ο m^2-m+1

είναι ο μικρότερος αριθμό που είναι πλησιέστερα στο m^2

παρά στο

και επίσης ο m^2+m

είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι πλησιέστερα στο m^2

παρά στο

.

Άρα στον m^2

αντιστοιχούν ακριβώς $\displaystyle{a(m) = \lfloor \sqrt{m-1} \rfloor + 1 + \lfloor \sqrt{m} \rfloor }$ τετραγωνοειδείς αριθμοί. Οπότε

$2\sqrt{m}-2 \leqslant a(m) \leqslant 2\sqrt{m}+1$

Αν $k^2 \leqslant N < (k+1)^2$ τότε

$\displaystyle{ a(1) + \cdots + a(k-1) \leqslant S(N) \leqslant a(1) + \cdots + a(k+1)}$

Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες

$\displaystyle{ \sqrt{1} + \cdots + \sqrt{k} \leqslant \int_1^{k+1} x^{1/2}\, \mathrm{d}x = \frac{2}{3}\left((k+1)^{3/2}-1\right) }$

και

$\displaystyle{ \sqrt{1} + \cdots + \sqrt{k} \geqslant \int_1^{k} x^{1/2}\, \mathrm{d}x = \frac{2}{3}\left(k^{3/2}-1\right) }$

καταλήγουμε στα

$\displaystyle{ S(N) \leqslant \frac{4}{3}\left((k+2)^{3/2}-1\right) -2k-2 \leqslant \frac{4}{3}(\sqrt{N}+2)^{3/2}}$

και

$\displaystyle{ S(N) \geqslant \frac{4}{3}\left((k-1)^{3/2}-1\right) + k+1 \geqslant \frac{4}{3}(\sqrt{N}-2)^{3/2}}$

Άρα

$\displaystyle{ \frac{S(N)}{N^{3/4}} = \frac{4}{3}}$

δηλαδή τα $\alpha,\beta$ υπάρχουν και ισούνται με $\frac{3}{4}$ και $\frac{4}{3}$ αντίστοιχα.

Putnam 2016/B2

Putnam 2016/B2

Re: Putnam 2016/B2

Μέλη σε σύνδεση