Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

KARKAR · #1

: Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 2326 φορές

Το θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) ,

λέει το εξής : Αν

το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ και η κάθετη της

στο

τέμνει την ευθεία

στο

, και όμοια ορίσουμε τα σημεία S , Q

, τότε τα σημεία S,P,Q

είναι συνευθειακά .

Εδώ ας κάνουμε μια αξιοποίηση του θεωρήματος για κορυφές A(0,3) , B(0,0) , C(4,0)

.

Δείξτε επίσης στο παράδειγμα ότι $SPQ\parallel AE$ . Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !

#2

KARKAR έγραψε:Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.pngΤο θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) ,

λέει το εξής : Αν το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ και η κάθετη της στο τέμνει την ευθεία

στο , και όμοια ορίσουμε τα σημεία , τότε τα σημεία είναι συνευθειακά .

Εδώ ας κάνουμε μια αξιοποίηση του θεωρήματος για κορυφές .

Δείξτε επίσης στο παράδειγμα ότι $SPQ\parallel AE$ . Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !

Είναι προφανές Θανάση ότι η πρόταση ισχύει για κάθε σημείο του επιπέδου του τριγώνου

(εννοείται τυχαίου τριγώνου και όχι ορθογώνιου όπως έχει κατασκευαστεί στο σχχήμα) εσωτερικό ή εξωτερικό και όχι κατ' ανάγκη για το έγγκεντρό του.

Ενδιαφέρουσα πρόταση

Στάθης

KARKAR · #3

Πρότεινα τη διατύπωση Τσίντσιφα . Στη λύση που δόθηκε ( δεν αναφέρω ακόμη το που δημοσιεύθηκε ) ,

η απόδειξη έγινε όντως , για

τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου , όπως παρατήρησε ο Στάθης ...

#4

KARKAR έγραψε:Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.pngΤο θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) , λέει το εξής : Αν το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ και η κάθετη της στο τέμνει την ευθεία στο , και όμοια ορίσουμε τα σημεία , τότε τα σημεία είναι συνευθειακά .
Εδώ ας κάνουμε μια αξιοποίηση του θεωρήματος για κορυφές .Δείξτε επίσης στο παράδειγμα ότι $SPQ\parallel AE$ . Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !

.

Ας δούμε την απόδειξη της πρότασης όπως έντεχνα έχει κατασκευαστεί από τον αγαπητό Θανάση (για να αποφύγουμε τους μεγάλους λογαριασμούς)

(ομολογουμένως όμορφη πρόταση για αναλυτική γεωμετρία) στο φάκελο που έχει τοποθετηθεί. Στο σχήμα του Θανάση πιο πάνω...

Έστω $E\left( x,y \right)$ ως προς το ορθοκανονικό σύστημα κέντρου με θετικούς ημιάξονες τις ημιευθείες .

Τότε $y = - \dfrac{3}{4}\left( {x - 4} \right) \Rightarrow \ldots AC:3x + 4y - 12 = 0$ .

Με $E\left( {x,y} \right)$ το έκκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < x < 4 \\ 0 < y < 3 \\ d\left( {E,BC} \right) = d\left( {E,BA} \right) \\ d\left( {E,AC} \right) = d\left( {E,BA} \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < x < 4 \\ 0 < y < 3 \\ x = y \\ \dfrac{{\left| {3x + 4y - 12} \right|}}{5} = x \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < x < 4 \\ 0 < y < 3 \\ x = y \\ \left| {7x - 12} \right| = 5x \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < x < 4 \\ 0 < y < 3 \\ x = y \\ 7x - 12 = 5x \\ \vee \\ 7x - 12 = - 5x \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < x < 4 \\ 0 < y < 3 \\ x = y \\ x = 6 \\ \vee \\ x = 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots x = y = 1 \Leftrightarrow \boxed{E\left( {1,1} \right)}:\left( 1 \right)$ .

Είναι ${\lambda _{AE}} = \dfrac{{3 - 1}}{{0 - 1}} = - 2\mathop \Rightarrow \limits^{EP \bot AE} {\lambda _{EP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow$ $\boxed{EP:y - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {x - 1} \right)}:\left( 2 \right)$ ,

${\lambda _{EC}} = \dfrac{{0 - 1}}{{4 - 1}} = - \dfrac{1}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{EQ \bot EC} {\lambda _{EQ}} = 3 \Rightarrow$ $\boxed{EQ:y - 1 = 3\left( {x - 1} \right)}:\left( 3 \right)$

και ${\lambda _{EB}} = \dfrac{{1 - 0}}{{1 - 0}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{ES \bot EB} {\lambda _{ES}} = - 1$ $\Rightarrow \boxed{ES:y - 1 = - \left( {x - 1} \right)}:\left( 4 \right)$ .

Είναι $P\equiv EP\cap BC$ , οπότε οι συντεταγμένες του θα προκύψει από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών

$EP,BC \Rightarrow P:\left\{ \begin{gathered} y - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {x - 1} \right) \\ y = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{P\left( { - 1,0} \right)}$ , με $Q\equiv EQ\cap AB$ , οπότε οι συντεταγμένες του θα προκύψει

από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών $EQ,AB \Rightarrow Q:\left\{ \begin{gathered} y - 1 = 3\left( {x - 1} \right) \\ x = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{Q\left( {0, - 2} \right)}$

και τέλος με $S\equiv ES\cap AC$ , οπότε οι συντεταγμένες του θα προκύψει από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών

$ES,AC \Rightarrow S:\left\{ \begin{gathered} y - 1 = - \left( {x - 1} \right) \\ 3x + 4y - 12 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} y = 2 - x \\ 3x + 8 - 4x - 12 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} y = 6 \\ x = - 4 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{S\left( { - 4,6} \right)}$ .

Είναι $\overrightarrow {PQ} = \left( {0 - \left( { - 1} \right), - 2 - 0} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {PQ} = \left( {1, - 2} \right)}$ και $\overrightarrow {SQ} = \left( {0 - \left( { - 4} \right), - 2 - 6} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {SQ} = \left( {4, - 8} \right)}$ .

Ετσι $\det \left( {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {SQ} } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 4&{ - 8} \end{array}} \right| = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {PQ} \parallel \overrightarrow {SQ} \Leftrightarrow S,P,Q$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Εναλλακτικά από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ${\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {SQ} }$ μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι

$\overrightarrow{SQ}=4\cdot \overrightarrow{PQ}\Leftrightarrow \overrightarrow{PQ}\parallel \overrightarrow{SQ}\Leftrightarrow S,P,Q$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#5

KARKAR έγραψε:Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.pngΤο θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) ,

Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !

Η απόδειξη που έχει ο συγγραφέας (Από τους κορυφαίους ) είναι με πολικές και αρκετά κομψή .

Φιλικά, Νίκος

#6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
KARKAR έγραψε:Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.pngΤο θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) ,

λέει το εξής : Αν το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ και η κάθετη της στο τέμνει την ευθεία

στο , και όμοια ορίσουμε τα σημεία , τότε τα σημεία είναι συνευθειακά .

Εδώ ας κάνουμε μια αξιοποίηση του θεωρήματος για κορυφές .

Δείξτε επίσης στο παράδειγμα ότι $SPQ\parallel AE$ . Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !
Είναι προφανές Θανάση ότι η πρόταση ισχύει για κάθε σημείο του επιπέδου του τριγώνου

(εννοείται τυχαίου τριγώνου και όχι ορθογώνιου όπως έχει κατασκευαστεί στο σχχήμα) εσωτερικό ή εξωτερικό και όχι κατ' ανάγκη για το έγγκεντρό του.

Ενδιαφέρουσα πρόταση

Στάθης

...με την παρατήρηση ότι στην περίπτωση του έκκεντρου η ευθεία που ανήκουν τα σημεία, είναι παράλληλη στον άξονα του Απολλώνιου (απλό).

Ποιος να ξέρει, γιατί επέλεξε το έκκεντρο ο Τσίντσιφας...

#7

KARKAR έγραψε:Θεώρημα Γεωργίου Τσίντσιφα.pngΤο θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα ( ας μου επιτραπεί ο όρος - ο ίδιος το δημοσίευσε σαν άσκηση ) ,

λέει το εξής : Αν το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ και η κάθετη της στο τέμνει την ευθεία

στο , και όμοια ορίσουμε τα σημεία , τότε τα σημεία είναι συνευθειακά .

Εδώ ας κάνουμε μια αξιοποίηση του θεωρήματος για κορυφές .

Δείξτε επίσης στο παράδειγμα ότι $SPQ\parallel AE$ . Απόδειξη του θεωρήματος επιθυμητή !

Καλό μεσημέρι σε όλους!

: Θεώρημα Γ.Τσίντσιφα.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 2096 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#8

Θα δείξω ότι η γενική πρόταση που ανέφερε ο Στάθης είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Desarques. Περιγράφω το πώς παρακάτω.

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

τυχόν σημείο

στο εσωτερικό του. Στις

,

θεωρούμε τα σημεία

,

ώστε
το

να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου DFH

. Τότε τα

και

είναι προοπτικά, άρα οι απέναντι πλευρές τους τέμνονται σε συνευθειακά σημεία (θεώρημα Desarques).

Εκφυλίζοντας το τρίγωνο DFH

στο σημείο

(δηλαδή το μικραίνω μέχρι να συμπέσουν οι τρεις κορυφές του με το

), το θεώρημα έπεται.

taratoris · #9

silouan έγραψε:Θα δείξω ότι η γενική πρόταση που ανέφερε ο Στάθης είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Desarques. Περιγράφω το πώς παρακάτω.

Θεωρούμε τρίγωνο τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Στις , , θεωρούμε τα σημεία , , ώστε
το να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα και είναι προοπτικά, άρα οι απέναντι πλευρές τους τέμνονται σε συνευθειακά σημεία (θεώρημα Desarques).

Εκφυλίζοντας το τρίγωνο στο σημείο (δηλαδή το μικραίνω μέχρι να συμπέσουν οι τρεις κορυφές του με το ), το θεώρημα έπεται.

Σιλουανέ πανέμορφη λύση. Ίσως ήρθε η ώρα να παραδεχτείς οτι κατα βάθος είσαι γεωμέτρης

KARKAR · #10

: θ . Τσίντσιφα.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 1940 φορές

Έστω

τυχαίο σημείο στο επίπεδο του τριγώνου και A',B',C'

σημεία των ευθειών BC,CA,AB

αντίστοιχα , ώστε : $SA'\perp SA ,SB'\perp SB ,SC'\perp SC$ . Θα δείξουμε ότι ισχύει το αντίστροφο

του Θ. Μενελάου , δηλαδή : $\dfrac{z}{c-z}\dfrac{a+x}{x}\dfrac{y}{b-y}=1\Leftrightarrow (a+x)yz=x(b-y)(c-z)$

Για ευκολία στα διανύσματα δεν βάζω βελάκι

. Είναι : $SC=SA'+A'C\Rightarrow aSC=aSA'+aA'C$

και $SC=SB+BC\Rightarrow xSC=xSB+xBC$ και επειδή : aA'C+xBC=0

με πρόσθεση , παίρνουμε : aSA'=(a+x)SC-xSB

. Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε :

bSB'=ySA+(b-y)SC

και

. Αξιοποιούμε την καθετότητα

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση , επί το

τη δεύτερη επί

κ.ο.κ , οπότε :

$aSA\cdot SA'=(a+x)SA\cdot SC-xSA\cdot SB\Rightarrow (a+x)SA\cdot SC=xSA\cdot SB$ (1)

και όμοια $y\cdot SB\cdot SA=-(b-y)SB\cdot SC$ (2) και $z\cdot SC\cdot SB=-(c-z)SC\cdot SA$ (3)

Με πολλαπλασιασμό των τριών σχέσεων κατά μέλη , προκύπτει το ποθούμενο .

#11

silouan έγραψε:Θα δείξω ότι η γενική πρόταση που ανέφερε ο Στάθης είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Desarques. Περιγράφω το πώς παρακάτω.

Θεωρούμε τρίγωνο τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Στις , , θεωρούμε τα σημεία , , ώστε
το να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα και είναι προοπτικά, άρα οι απέναντι πλευρές τους τέμνονται σε συνευθειακά σημεία (θεώρημα Desarques).

Εκφυλίζοντας το τρίγωνο στο σημείο (δηλαδή το μικραίνω μέχρι να συμπέσουν οι τρεις κορυφές του με το ), το θεώρημα έπεται.

Σιλουανέ, τέλειο.

Είναι αυτό που λέει, "Μεγαλώνοντας μαθαίνουμε" και όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, μαθαίνουμε κυρίως από τους άλλους ( αυτούς που προηγήθηκαν, αυτούς με τους οποίους μαζί πορευτήκαμε, αλλά κυρίως από τους νεότερους που ορμητικά μας προσπερνάνε ).

Ήταν τότε που πρωτογνώρισα την παρέα nick, sil, mim, και κάποιος είχε την ιδέα "Καταστροφής της Γεωμετρίας", επικαλούμενος δυνατά λογισμικά.

Ο Σιλουανός μας έδωσε ένα ωραίο θεώρημα σήμερα.

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Οι δια του κέντρου προοπτικότητας παράλληλες ευθείες, προς τις ευθείες των πλευρών του ενός εκ των δύο δοσμένων προοπτικών τριγώνων, τέμνουν τις ευθείες των ομόλογων πλευρών του άλλου τριγώνου, σε τρία σημεία κείμενα επί ευθείας παράλληλης προς τον άξονα προοπτικότητας των δοσμένων τριγώνων.

Σ' ευχαριστώ θερμά, Κώστας Βήττας.

#12

vittasko έγραψε:
silouan έγραψε:Θα δείξω ότι η γενική πρόταση που ανέφερε ο Στάθης είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Desarques. Περιγράφω το πώς παρακάτω.

Θεωρούμε τρίγωνο τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Στις , , θεωρούμε τα σημεία , , ώστε
το να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα και είναι προοπτικά, άρα οι απέναντι πλευρές τους τέμνονται σε συνευθειακά σημεία (θεώρημα Desarques).

Εκφυλίζοντας το τρίγωνο στο σημείο (δηλαδή το μικραίνω μέχρι να συμπέσουν οι τρεις κορυφές του με το ), το θεώρημα έπεται.
Σιλουανέ, τέλειο.

Είναι αυτό που λέει, "Μεγαλώνοντας μαθαίνουμε" και όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, μαθαίνουμε κυρίως από τους άλλους ( αυτούς που προηγήθηκαν, αυτούς με τους οποίους μαζί πορευτήκαμε, αλλά κυρίως από τους νεότερους που ορμητικά μας προσπερνάνε ).

Ήταν τότε που πρωτογνώρισα την παρέα nick, sil, mim, και κάποιος είχε την ιδέα "Καταστροφής της Γεωμετρίας", επικαλούμενος δυνατά λογισμικά.

Ο Σιλουανός μας έδωσε ένα ωραίο θεώρημα σήμερα.

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Οι δια του κέντρου προοπτικότητας παράλληλες ευθείες, προς τις ευθείες των πλευρών του ενός εκ των δύο δοσμένων προοπτικών τριγώνων, τέμνουν τις ευθείες των ομόλογων πλευρών του άλλου τριγώνου, σε τρία σημεία κείμενα επί ευθείας παράλληλης προς τον άξονα προοπτικότητας των δοσμένων τριγώνων.

Σ' ευχαριστώ θερμά, Κώστας Βήττας.

Πράγματι Κώστα

Ο Σιλουανός έχει αποδείξει διαχρονικά ότι είναι ένα ΤΕΡΑΣΤΙO ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΑΛΕΝΤΟ !!!

Ο εκφυλισμός σχημάτων (τριγώνου, κύκλου κ.λ.π ) σε σημείο δίνει ενίοτε όμορφες και απλές αποδείξεις και νέα θεωρήματα.

Μήπως κοιτώντας ένα σημείο (μια θέση) πρέπει να το "βλέπουμε" όπως μας βολεύει;

Η όλη διαδικασία μου θυμίζει το Big Bang

: Big Bang.png (89.91 KiB) Προβλήθηκε 1877 φορές

Να δεις ότι στο τέλος ο ΣΙλουανός θα μας κάνει να αντιληφθούμε και την τέταρτη διάσταση!!!

Υποκλίνομαι

εντυπωσιασμένος

Με όλη μου την εκτίμηση
Ταπεινά
Στάθης

#13

Βαγγέλη, Κώστα, Στάθη, σας ευχαριστώ θερμά για τα καλά σας λόγια (υπερβολικά βέβαια)!
Χάρηκα πιο πολύ που σας άρεσε η απόδειξη, παρά από τη στιγμή που τη σκέφτηκα.

Με εκτίμηση

#14

Πράγματι εντυπωσιακή ή λύση του Συλουανού

Τέτοιες λύσεις δίνει συνήθως ο φίλος Κώστας Βήττας.

Εδώ όμως Κώστα επαληθεύτηκε το Σπαρτιατικό ρητό: άμες δε γεσόμεθα πολλώ κάρρονες.

Από την άλλη μεριά δεν μπορούμε παρά να

και την στοιχειώδη λύση του Θανάση KARKAR

πιο πάνω .

Νίκος

KARKAR · #15

Doloros έγραψε:Από την άλλη μεριά δεν μπορούμε παρά να και την στοιχειώδη

λύση του Θανάση πιο πάνω

Νίκο , ανέφερα πριν την αναφερθείσα δημοσίευση , ότι γνωρίζω λύση , η οποία έχει

δημοσιευθεί και είναι παρόμοια με αυτή που ανήρτησα , βλέπε εδώ , σελίδα 240

.

Αλλά κι εσύ έγραψες ότι έχεις δει τη λύση του συνθέτη , μήπως πρέπει να τη γράψεις ;

#16

KARKAR έγραψε:
Doloros έγραψε:Από την άλλη μεριά δεν μπορούμε παρά να και την στοιχειώδη

λύση του Θανάση πιο πάνω

Νίκο , ανέφερα πριν την αναφερθείσα δημοσίευση , ότι γνωρίζω λύση , η οποία έχει

δημοσιευθεί και είναι παρόμοια με αυτή που ανήρτησα , βλέπε εδώ , σελίδα .

Αλλά κι εσύ έγραψες ότι έχεις δει τη λύση του συνθέτη , μήπως πρέπει να τη γράψεις ;

.

Θανάση θα την αναρτήσω με την πρώτη ευκαιρία. Η δική σου είναι καλλίτερη, από την δημοσιευθείσα της παραπομπή σου .

Νίκος

#17

: Θεώρημα Tsintsifa_1.png (29.3 KiB) Προβλήθηκε 1666 φορές

Θεωρούμε τυχαίο κύκλο $\Omega$ με κέντρο το τυχαίο σημείο

του επιπέδου του $\vartriangle ABC$ .

Η πολική του

ως προς τον $\Omega$ είναι η $bc \bot AS \Rightarrow \boxed{bc//SA'}$ ομοίως ορίζονται οι

πολικές των $B\,\,,\,\,C$ ως προς τον $\Omega$ ,έτσι ορίζεται το συζυγές $\vartriangle abc$ του $\vartriangle ABC$ ως

προς τον $\Omega$ θα είναι δε : $\boxed{ab//SC'}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{\,ac//SB'}$ .

Τώρα οι πολικές των $A'\,,\,\,B'\,,\,\,C'$ ως προς τον $\Omega$ θα είναι τα ύψη του $\vartriangle abc$ .

Έτσι τα $A'\,,\,\,B'\,,\,\,C'$ θα ανήκουν στην πολική του ορθοκέντρου

του $\vartriangle abc$ ως προς

τον κύκλο $\Omega$ , άρα θα είναι συνευθειακά .

Γ. Τσιντσιφας (για την αντιγραφή Νίκος)

#18

Νίκο, προχωρημέμη τεκμηρίωση με Πολικές. Δεν θα μου πέρναγε ποτέ από τον νού.

Ας δούμε μερικές λεπτομέρειες, για όσους δεν είναι εξοικειωμένοι με αυτό το τμήμα του Συμπληρώματος της Γεωμετρίας, όπως το μαθαίναμε τότε, πενήντα χρόνια πίσω.

$\bullet$ Επειδή οι ευθείες $ac\perp BS$ και $ab\perp CS$ είναι οι Πολικές των σημείων $B,\ C$ αντιστοίχως, ως προς τον κύκλο $(\Omega)$ , έχουμε ότι η ευθεία

ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου $a\equiv ac\cap ab$ .

Για το σημείο $A'\in BC$ τώρα, έχουμε ότι η Πολική του ευθεία ως προς τον κύκλο $(\Omega)$ , περνάει από το σημείο

και είναι κάθετη επί την ευθεία που συνδέει το

με το

= το κέντρο του κύκλου $(\Omega)$

.

Όμως, η ευθεία αυτή

η Πολική του

ως προς τον $(\Omega)$

, ταυτίζεται με το ύψος του τριγώνου $\vartriangle abc$ εκ της κορυφής

, γιατί ισχύει $ah\perp bc$ και $bc\perp SA$ και $SA'\perp SA$ , οπότε έχουμε $ah\perp SA'$ και ομοίως για τα άλλα δύο ύψη του $\vartriangle abc$ .

Τα σημεία $A',\ B',\ C'$ είναι συνευθειακά, γιατί ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου

ως προ τον κύκλο $(\Omega)$ , αφού οι Πολικές τους ευθείες ως προς τον ίδιο κύκλο περνάνε από το σημείο

.

Κώστας Βήττας.

Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Re: Θεώρημα Γιώργου Τσίντσιφα

Μέλη σε σύνδεση