Putnam 2016/B4

#1

Έστω ένας $2n \times 2n$ πίνακας

. Τα στοιχεία του

επιλέγονται ανεξάρτητα στην τύχη με κάθε στοιχείο να ισούται είτε με

είτε με

κάθε ένα με πιθανότητα 1/2

.

Να υπολογιστεί η προσδοκόμενη τιμή του $\det(A-A^t)$ .

dement · #2

Για τον πίνακα $D \equiv A - A^t$ ισχύει $D_{mm} = 0$ και, για $m \neq k$ , $(D_{mk}, D_{km}) = (0, 0)$ με πιθανότητα 1/2

, $(D_{mk}, D_{km}) = (1, -1)$ με πιθανότητα 1/4

και $(D_{mk}, D_{km}) = (-1, 1)$ με πιθανότητα 1/4

.

Θυμίζω ότι $\displaystyle \det D = \sum_{p \in S_{2n}} (-1)^{k(p)} \prod_{i=1}^{2n} D_{i,p(i)}$ όπου k(p) = 0

για άρτια και k(p) = 1

για περιττή μετάθεση.

Έστω $p \in S_{2n}$ . Θεωρούμε την προσδοκώμενη τιμή E(p)

του όρου $\displaystyle t = (-1)^{k(p)} \prod_{i=1}^n D_{i,p(i)}$ . Ισχύει $\displaystyle \overline{D_{ab}} = 0, \overline{D_{ab} D_{ba}} = - 1/2$ για $a \neq b$ .

Αν η

έχει σταθερό σημείο

τότε $\displaystyle t = (-1)^{k(p)} D_{kk} \cdot \prod_{i \neq k} D_{i,p(i)} = 0$ .

Επίσης, αν ισχύει p(k) = m

και $p(m) \neq k$ για κάποια m, k

, τότε $\displaystyle E(p) = (-1)^{k(p)} \overline{D_{km}} \cdot \overline{\prod_{i \neq k} D_{i,p(i)}} = 0$ .

Έτσι, περιοριζόμαστε στις μεταθέσεις που αποτελούνται από

εναλλαγές (το πλήθος τους είναι (2n-1)!!

). Ισχύει $\displaystyle E(p) = (-1)^n \overline{D_{m,p(m)} D_{p(m),m}} \cdot \overline{\prod_{i \neq m,p(m)} D_{i,p(i)}} = \frac{1}{2^n}$ .

Οπότε $\displaystyle \overline{\det D} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}$ .

(Παρεμπιπτόντως, για πίνακα περιττής διάστασης δεν υπάρχει κατάλληλη μετάθεση και η αντίστοιχη τιμή είναι

).

Putnam 2016/B4

Putnam 2016/B4

Re: Putnam 2016/B4

Μέλη σε σύνδεση