Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Mathletic · #1

Γειά σας!

Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και $A,B\subseteq \mathbb{R}$ . Αποδείξτε ή απορρίψτε τους παρακάτω ισχυρισμούς:

κλειστό $\Rightarrow$ κλειστό
κλειστό $\Rightarrow$ $f^{-1}(B)$ κλειστό
φραγμένο $\Rightarrow$ φραγμένο
φραγμένο $\Rightarrow$ $f^{-1}(B)$ φραγμένο

Έχω κάνει τα εξής:

Έχουμε ότι το

είναι κλειστό $\iff$ για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (x_n)

του

ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} x_n\in D}$ .

Έχουμε επίσης ότι $f: D\rightarrow \mathbb{R}$ είναι φραγμένο $\iff$ f(D)

είναι φραγμένο. Αυτό είναι ισοδύναμο με $\exists c\geq 0 \ \ \forall x\in D : |f(x)|\leq c$ .

Τι μπορούμε να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση;
Έστω μια συγκίνουσα ακολουθία του $f^{-1}(B)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n\in f^{-1}(B)}$ .
Αφού η είναι συνεχής, έχουμε ότι $\displaystyle{f\left (\lim_{n\rightarrow \infty} x_n\right )=\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)}$ .
Εφόσον $(x_n)\in f^{-1}(B)$ και η είναι συνεχής έχουμε ότι $f(x_n)\in B$ . Είναι σωστό αυτό;
Αφού το είναι κλειστό έχουμε ότι $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)\in B}$ .
Επομένως, έχουμε ότι $\displaystyle{f\left (\lim_{n\rightarrow \infty}x_n\right )\in B}$ . Οπότε έπεται ότι $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n\in f^{-1}(B)}$ . Αυτό σημαίνει ότι το $f^{-1}(B)$ είναι κλειστό.
Είναι σωστό αυτό;
Αφού το είναι φραγμένο , έχουμε ότι είναι άνω και κάτω φραγμένο. Άρα, υπάρχουν τέτοια ώστε $x\leq a \leq y , \ \ \text{ for all } a\in A$ . Αφού η είναι συνεχής έχουμε ότι $f(x)\leq f(a) \leq f(y) , \ \ \forall a\in A$ .
Αυτό σημαίνει ότι στο η συνάρτηση είναι φραγμένη.
Οπότε, το είναι φραγμένο.
Είναι σωστό αυτό;
Τι μπορούμε να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση;

#2

Βλέπε πρώτα το τελευταίο σχόλιο εδώ και εδώ

Κάνω άλλη μία προσπάθεια να σε παροτρύνω να σκέφτεσαι περισσότερο τις ερωτήσεις σου πριν αποταθείς στο φόρουμ.

Για παράδειγμα δεν είναι δυνατόν να έδωσες την δέουσα προσοχή στο

Mathletic έγραψε: [*] τέτοια ώστε $x\leq a \leq y , \ \ \text{ for all } a\in A$ . Αφού η είναι συνεχής έχουμε ότι $f(x)\leq f(a) \leq f(y) , \ \ \forall a\in A$ .

Ελπίζω να αντιληφθείς, έστω και τώρα, την παιδαγωγική και ουσιαστική αξία αυτού που γράφω.

Ως υπόδειξη θα δώσω: Τα αποδεικτέα στα 1,4

δεν αληθεύουν (άρα ψάξε αντιπαράδειγμα). Το

αληθεύει αλλά όχι για τον λόγο που έγραψες.

#3

Mathletic έγραψε:
Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και $A,B\subseteq \mathbb{R}$ . Αποδείξτε ή απορρίψτε τους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. κλειστό $\Rightarrow$ κλειστό .

Υπόδειξη: Δεν ισχύει! Επομένως αναζήτησε συνεχή συνάρτηση για την οποία η εικόνα κλειστού συνόλου είναι ανοικτό σύνολο.

Υ.Γ. Η αιτιολόγηση του 2 -εκτός ενός σημείου-

Mathletic έγραψε:...Εφόσον $(x_n)\in f^{-1}(B)$ και η είναι συνεχής έχουμε ότι $f(x_n)\in B$ ...

(δεν χρειάζεται σε αυτό το σημείο η συνέχεια) είναι σωστή, αν και είναι εκφρασμένη κάπως περίπλοκα χωρίς λόγο. Πιο απλά:

Έστω $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ συγκλίνουσα ακολουθία του $f^{-1}(B)$ με $\lim {x_n}=x_0$ . Τότε $\{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty}\subset B$ και επειδή η

είναι συνεχής, έπεται ότι $\lim f({x_n})=f(x_0)$ . Αλλά επειδή το

είναι κλειστό, έπεται ότι $f(x_0)\in B$ . Επομένως $x_0\in f^{-1}(B)$ και το

είναι κλειστό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το 4) είναι λάθος(φτιάξε αντιπαράδειγμα είναι πανεύκολο)
Κάτι που θα σε βοηθήσει για το 3) είναι το εξής
Συνεχής συνάρτηση πάει κλειστά διαστήματα σε κλειστά διαστήματα.

Mathletic · #5

grigkost έγραψε: Υ.Γ. Η αιτιολόγηση του 2 -εκτός ενός σημείου-
Mathletic έγραψε:...Εφόσον $(x_n)\in f^{-1}(B)$ και η είναι συνεχής έχουμε ότι $f(x_n)\in B$ ...
(δεν χρειάζεται σε αυτό το σημείο η συνέχεια) είναι σωστή, αν και είναι εκφρασμένη κάπως περίπλοκα χωρίς λόγο. Πιο απλά:

Έστω $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ συγκλίνουσα ακολουθία του $f^{-1}(B)$ με $\lim {x_n}=x_0$ . Τότε $\{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty}\subset B$ και επειδή η είναι συνεχής, έπεται ότι $\lim f({x_n})=f(x_0)$ . Αλλά επειδή το είναι κλειστό, έπεται ότι $f(x_0)\in B$ . Επομένως $x_0\in f^{-1}(B)$ και το είναι κλειστό.

Κατάλαβα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Το 4) είναι λάθος(φτιάξε αντιπαράδειγμα είναι πανεύκολο)

Θεωρούμε το φραγμένο σύνολο [0,1]

και την συνάρτηση f(x)=e^x

. Τότε $f^{-1}(x)=\ln (x)$ .
Έχουμε ότι $f^{-1}([0,1])=\left ( \lim_{x\rightarrow 0} f^{-1}(x), f^{-1}(1)]=(-\infty, 0]$ , που δεν είναι φραγμένο.

Είναι σωστό αυτό;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Συνεχής συνάρτηση πάει κλειστά διαστήματα σε κλειστά διαστήματα.

Πώς μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;

Χρησιμοποιώντας αυτή την πρόταση έχουμε τα εξής;

Αφού το

είναι φραγμένο, έχουμε ότι υπάρχουν $b=\sup A$ και $a=\inf A$ . Άρα, $A\subseteq [a,b]$ .
Άρα έχουμε ότι $f(A)\subseteq f([a,b])$ .
Το [a,b]

είναι κλειστό και η

είναι συνεχής, οπότε το f([a,b])

είναι κλειστό.
Έχουμε ότι το f(A)

είναι φραγμένο επειδή είναι υποσύνολο ενός κλειστού διαστήματος;

#6

Mathletic έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Το 4) είναι λάθος(φτιάξε αντιπαράδειγμα είναι πανεύκολο)
Θεωρούμε το φραγμένο σύνολο και την συνάρτηση . Τότε $f^{-1}(x)=\ln (x)$ .
Έχουμε ότι $f^{-1}([0,1])=\left ( \lim_{x\rightarrow 0} f^{-1}(x), f^{-1}(1)]=(-\infty, 0]$ , που δεν είναι φραγμένο.

Είναι σωστό αυτό;

Σωστό είναι αν και το προτελευταίο ίσον θέλει κάποια αιτιολόγιση.

Ποιο απλό παράδειγμα η $f(x)=\sin x$ και $B = [-1,\, 1]$

Mathletic έγραψε: Πώς μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;

Ως θεώρημα το έχεις διδαχθεί ήδη από το Σχολείο. Αν θέλεις απόδειξη άνοιξε ΟΠΟΙΔΗΠΟΤΕ βιβλίο Απειροστικού Λογισμού στο κεφάλαιο των συνεχών συναρτήσεων $f: [a,b] \rightarrow \mathbb R$ ΚΑΙ ΘΑ ΤΟ ΔΕΙΣ ΕΚΕΙ.

Mathletic έγραψε:Το είναι κλειστό και η είναι συνεχής, οπότε το είναι κλειστό.

Ακριβέστερα πρέπει να πεις ότι είναι κλειστό (ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟ) ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Αλλιώς το επόμενο βήμα που γράφεις έχει πρόβλημα.

Mathletic · #7

Κατάλαβα!!

Μήπως μπορούμε να αποδείξουμε το 3. και ως εξής;

Έστω ότι το f(A)

δεν είναι φραγμένο.
Τότε υπάρχει ακολουθία $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ στο f(A)

με $\lim x_n=\infty$ , ή όχι;
Αφού $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \in f(A)$ έχουμε ότι $\{f^{-1}(x_n)\}_{n=1}^{\infty} \in A$ .
Άρα η $\{f^{-1}(x_n)\}_{n=1}^{\infty}$ είναι φραγμένη. Από το Bolzano-Weierstrass υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω $\{f^{-1}(x_{n_k})\}_{k=1}^{\infty}$ με $f^{-1}(x_{n_k})\rightarrow y\in \mathbb{R}$ .
Εφόσον η

είναι συνεχής, έχουμε ότι $f\left (f^{-1}(x_{n_k})\right )\rightarrow f(y)\in \mathbb{R}$ .
Οπότε $x_{n_k}\rightarrow f(y)$ .
Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ; Πώς καταλήγουμε σε άτοπο;

#8

Υπόδειξη 1η.

Σύγκρινε τα σημεία

Mathletic έγραψε:
Τότε υπάρχει ακολουθία $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ στο με $\lim x_n=\infty$
...

Οπότε $x_{n_k}\rightarrow f(y)$

Με λίγη επεξεργασία θα καταλήξεις στο ζητούμενο άτοπο. Όμως

Υπόδειξη 2η.

Δεν υπάρχει λόγος να κάνεις έναν τόσο μεγάλο κύκλο δείχνοντας εκ νέου τα
θεωρήματα που επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις. Είναι καλύτερο να πας μέσω της
υπόδειξης που σου έδωσε ο Σταύρος:

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Συνεχής συνάρτηση πάει κλειστά διαστήματα σε κλειστά διαστήματα.

Συγκεκριμένα, αφού το

είναι φραγμένο, υπάρχει κλειστό διάστημα [a,b]

που το περιέχει. Συνέχισε.

Mathletic · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:Υπόδειξη 1η.

Σύγκρινε τα σημεία
Mathletic έγραψε:
Τότε υπάρχει ακολουθία $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ στο με $\lim x_n=\infty$
...

Οπότε $x_{n_k}\rightarrow f(y)$
Με λίγη επεξεργασία θα καταλήξεις στο ζητούμενο άτοπο.

Έστω ότι το f(A)

δεν είναι φραγμένο.
Άρα υπάρχει ακολουθία $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ στο f(A)

με $\lim x_n=\pm\infty$ , δηλαδή για κάθε $n\in \mathbb{N}$ ισχύει x_n>n

.
Αφού $x_n\in f(A)$ , υπαρχει ακολουθία στο

, έστω

, τέτοια ωστε x_n=f(y_n)

.
Εφόσον το

είναι φραγμένο, έχουμε ότι το y_n

είναι φραγμένο. Από το Bolzano-Weierstrass υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία,έστω $y_{n_k}$ με $y_{n_k}\rightarrow y\in \mathbb{R}$ .
Αφού η

είναι συνεχής έχουμε ότι $f(y_{n_k})\rightarrow f(y)\in \mathbb{R}$ .
Άρα έχουμε ότι:
$\infty=\lim_{k\rightarrow \infty}n_k<\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}=\lim_{k\rightarrow \infty} f(y_{n_k})=f(y)\in \mathbb{R}$

Εϊναι σωστό αυτό;

Mihalis_Lambrou έγραψε:Δεν υπάρχει λόγος να κάνεις έναν τόσο μεγάλο κύκλο δείχνοντας εκ νέου τα
θεωρήματα που επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις. Είναι καλύτερο να πας μέσω της
υπόδειξης που σου έδωσε ο Σταύρος:

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Συνεχής συνάρτηση πάει κλειστά διαστήματα σε κλειστά διαστήματα.
Συγκεκριμένα, αφού το είναι φραγμένο, υπάρχει κλειστό διάστημα που το περιέχει. Συνέχισε.

Το έχω αποδείξει με τον τρόπο αυτό. Απλά σκέφτηκα και τον άλλο τρόπο και ήθελα να μάθω αν θα μπορούσαμε να το αποδείξουμε και έτσι.

#10

Σωστή η απόδειξη με μόνη μικρή επισήμανση στο σημείο

Mathletic έγραψε: $\infty=\lim_{k\rightarrow \infty}n_k {\color {red} <}\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}$

Το σωστό είναι $\le$ γιατί αν έχουμε δύο ακολουθίες a_k, b_k

με $a_k {\color {red} <}b_k$ τότε παίρνοντας όριο προκύπτει $\lim a_k {\color {red} \le } \lim b_k$

Mathletic · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστή η απόδειξη με μόνη μικρή επισήμανση στο σημείο

Mathletic έγραψε: $\infty=\lim_{k\rightarrow \infty}n_k {\color {red} <}\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}$
Το σωστό είναι $\le$ γιατί αν έχουμε δύο ακολουθίες με $a_k {\color {red} <}b_k$ τότε παίρνοντας όριο προκύπτει $\lim a_k {\color {red} \le } \lim b_k$

Κατάλαβα. Ευχαριστώ πολύ!

Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Re: Κλειστά/Φραγμένα σύνολα

Μέλη σε σύνδεση