Μακριά απ' το νότιο πόλο

KARKAR · #1

: Μακριά από το Νότιο πόλο.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά σε κύκλο (O,R)

και στην οριζόντια διάμετρό του

.

Αν

ο νότιος πόλος του (O, R)

, υπολογίστε το εφαπτόμενο προς τον (K)

, τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε:Μακριά από το Νότιο πόλο.pngΚύκλος εφάπτεται εσωτερικά σε κύκλο και στην οριζόντια διάμετρό του .

Αν ο νότιος πόλος του , υπολογίστε το εφαπτόμενο προς τον , τμήμα .

Καλησπέρα.

Την είδα προ λίγου. Απ αυτές που μ αρέσουν.

: μακριά απο το Νότιο πόλο.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Ας είναι : T,D

τα σημεία επαφής του κύκλου κέντρου

με το κύκλου κέντρου

και τη διάμετρό του

. Αν η

κόψει το μεγάλο κύκλο στο

επειδή τα τρίγωνα

$\vartriangle KDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OST$ είναι ισοσκελή αναγκαστικά KD//OS

και άρα το

είναι ο

νότιος πόλος του μεγάλου κύκλου . Το τετράπλευρο NODT

έχει τις γωνίες του

στα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ ορθές οπότε είναι εγγράψιμο . Έχουμε έτσι με

το βόριο πόλο :

$S{P^2} = SD \cdot ST = SO \cdot SN = A{S^2} = 2{R^2}$ και άρα $\boxed{SP = R\sqrt 2 }$ .

Έχει κι άλλα ωραία η άσκηση ...

Φιλικά

Νίκος

#3

KARKAR έγραψε:Μακριά από το Νότιο πόλο.pngΚύκλος εφάπτεται εσωτερικά σε κύκλο και στην οριζόντια διάμετρό του .

Αν ο νότιος πόλος του , υπολογίστε το εφαπτόμενο προς τον , τμήμα .

Καλημέρα στους φίλτατους Θανάση και Νίκο!

: Μακριά από το νότιο πόλο.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

Κάπου υπάρχει στο

αλλά δεν μπορώ να βρω πού, ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων (K)

είναι η παραβολή $\boxed{y = - \frac{{{x^2}}}{{2R}} + \frac{R}{2}}$ (1).

$\displaystyle{P{S^2} = S{K^2} - {y^2} = {x^2} + {(y + R)^2} - {y^2}\mathop = \limits^{(1)} 2{R^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{PS=R\sqrt 2}}$

#4

Τώρα μόλις είδα ότι υπάρχει και εδώ, από τον ίδιο θεματοδότη.

george visvikis έγραψε: Κάπου υπάρχει στο αλλά δεν μπορώ να βρω πού, ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων

είναι η παραβολή $\boxed{y = - \frac{{{x^2}}}{{2R}} + \frac{R}{2}}$

Το βρήκα εδώ (όχι στη γενική μορφή, αλλά σε εφαρμογή. Η απόδειξη πάντως είναι η ίδια).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:Μακριά από το Νότιο πόλο.pngΚύκλος εφάπτεται εσωτερικά σε κύκλο και στην οριζόντια διάμετρό του .

Αν ο νότιος πόλος του , υπολογίστε το εφαπτόμενο προς τον , τμήμα .

Καλησπέρα...

Με $\displaystyle{\left( K \right) \cap AC = E,\left( K \right) \cap BC = Q \Rightarrow EQ}$ διάμετρος του $\displaystyle{\left( K \right)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \angle BAC = \angle ACO = \angle QEC \Rightarrow EQ//AB}$

Έτσι , $\displaystyle{\theta = \angle ETO = \angle TEQ = \angle TCQ}$ και συνεπώς $\displaystyle{\boxed{\theta = {{45}^0}} \Rightarrow CT}$ περνά από το $\displaystyle{S}$

Τώρα η $\displaystyle{AS}$ είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle ATC \Rightarrow A{S^2} = ST \cdot SC = P{S^2} \Rightarrow \boxed{PS = AS = R\sqrt 2 }}$

: NP.png (31.72 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Μακριά απ' το νότιο πόλο

Μακριά απ' το νότιο πόλο

Re: Μακριά απ' το νότιο πόλο

Re: Μακριά απ' το νότιο πόλο

Re: Μακριά απ' το νότιο πόλο

Re: Μακριά απ' το νότιο πόλο

Μέλη σε σύνδεση