Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

hlkampel · #81

dimplak έγραψε: 52.

$\begin{cases} x + y + xy = 3 \\ y^3 + 13y = 6x^2 + 8 \end{cases}$

Απάντηση:

(Ελπίζω να βρεθεί καλύτερη λύση)

$\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 3\,\,(1)\\ {y^3} + 13y = 6{x^2} + 8\,\,\,(2) \end{array} \right.$

Από την $\left( 2 \right) \Leftrightarrow y\left( {{y^2} + 13} \right) = 6{x^2} + 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{{6{x^2} + 8}}{{{y^2} + 13}} > 0$

Η y = - 1

δεν είναι ρίζα του συστήματος αφού με y = - 1

η $\left( 2 \right)$ είναι αδύνατη.

Έτσι με $y \ne - 1$ $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 - y}}{{y + 1}}\,\,\left( 3 \right)$

$\left( 2 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 3 \right)} {y^3} + 13y = 6{\left( {\dfrac{{3 - y}}{{y + 1}}} \right)^2} + 8 \Leftrightarrow \mathop {............}\limits^{\pi \rho \dot \alpha \xi \varepsilon \iota \varsigma }$

${y^5} + 2{y^4} + 14{y^3} + 12{y^2} + 33y - 62 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner}$

$\left( {y - 1} \right)\left( {{y^4} + 2{y^3} + 17{y^2} + 29y + 62} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$y = 1\,\,\dot \eta \,\,$ ${y^4} + 2{y^3} + 17{y^2} + 29y + 62 = 0$ αδύνατη γιατί y > 0

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{y = 1} x = 1$

Άρα η μοναδική λύση είναι η $\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)$ που επαληθεύει τις εξισώσεις

maiksoul · #82

dimplak έγραψε: 52.

$\begin{cases} x + y + xy = 3..(1) \\ y^3 + 13y = 6x^2 + 8 ..(2)\end{cases}$

Απάντηση:

Μια άλλη λύση είναι η εξής:

Έστω (x,y)

μιά λύση , έχουμε τότε

$(2)\Rightarrow y=\frac{6x^2+8}{y^2+13}> 0\Rightarrow y> 0...(3)$
$(1)\Leftrightarrow x+y+xy+1=3+1\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=4\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{y+1}> 0...(4)$
$(2)\Leftrightarrow y^3+13y-14=6x^2-6\Leftrightarrow (y-1)(y^2+y+14)=6(x-1)(x+1)...(5)$

Από την τελευταία προκύπτει πως οι x-1

και

είναι και οι δύο μηδέν ή ομόσημοι

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το δεύτερο , για παράδειγμα ας είναι x-1>0

και

τότε έχουμε:

$x-1> 0\Leftrightarrow x+1> 1+1\Leftrightarrow 0< \frac{1}{x+1}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{4}{x+1}< 2\Rightarrow$
$y+1< 2\Rightarrow y< 1\Rightarrow y-1< 0\Rightarrow (x-1)(y-1)< 0$ το τελευταίο είναι προφανώς άτοπο!

Άρα είναι x=1

και

, που επαληθεύουν το αρχικό σύστημα.

dimplak · #83

53.

$\begin{cases} \sqrt{x+1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{y-1} + \sqrt{y-3} \\ x + y + x^2 + y^2 = 80 \end{cases}$

Απάντηση: $( \frac{ \sqrt{145} - 5}{2} , \frac{ \sqrt{145} + 3 }{2} )$

dimplak · #84

54.

$\begin{cases} x^4 - 4x^2 + y^2 - 6y + 9 = 0 \\ x^2 y + x^2 + 2y - 22 = 0 \end{cases}$

Απάντηση: $(2,3) , (-2,3) , (\sqrt{2} , 5) , ( - \sqrt{2} , 5)$

dimplak · #85

55.

$\begin{cases} xy + x + y = 7 \\ xz + x + z = - 7 \\ yz + y + z = - 13 \end{cases}$

Απάντηση: (-3,-5,2)

ή

.

#86

dimplak έγραψε: 54.

$\begin{cases} x^4 - 4x^2 + y^2 - 6y + 9 = 0 \\ x^2 y + x^2 + 2y - 22 = 0 \end{cases}$

Απάντηση: $(2,3) , (-2,3) , (\sqrt{2} , 5) , ( - \sqrt{2} , 5)$

Από τη δεύτερη εξίσωση διαπιστώνουμε ότι $y\ne -1$ , οπότε γράφεται, $\boxed{{x^2} = \frac{{2(11 - y)}}{{y + 1}}}$ (1)

και αντικαθιστώντας στην πρώτη:

$\displaystyle{4{(11 - y)^2} - 8(11 - y)(y + 1) + {(y - 3)^2}{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow 4(11 - y)(3 - 9y) + {(y - 3)^2}{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(y - 3)(12y - 132 + {y^3} + 2{y^2} + y - 3{y^2} - 6y - 3) = 0 \Leftrightarrow (y - 3)({y^3} - {y^2} + 7y - 135) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(y - 3)(y - 5)({y^2} + 4y + 27) = 0}$ , απ' όπου παίρνουμε τις πραγματικές ρίζες $\boxed{y=3}$ ή $\boxed{y=5}$

Εύκολα τώρα από την (1)

έχουμε: Για $\boxed{y=3}$ , $\boxed{x = \pm 2}$ και για $\boxed{y=5}$ $\boxed{x = \pm \sqrt 2 }$

maiksoul · #87

dimplak έγραψε: 55.

$\begin{cases} xy + x + y = 7 \\ xz + x + z = - 7 \\ yz + y + z = - 13 \end{cases}$

Απάντηση: ή .

Μια λύση.
Το σύστημα γράφεται:
$\begin{cases}(x+1)(y+1)=8 \\ (x+1)(z+1)=-6 \\ (z+1)(y+1)=-12\end{cases}$
πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε:
$(x+1)(y+1)(z+1)=24\vee(x+1)(y+1)(z+1)=-24$
Από την πρώτη και χρησιμοποιώντας κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες ,προκύπτει:
$z+1=3\wedge y+1=-4\wedge x+1=-2\Rightarrow(x,y,z)=(-3,-5,2)$
Από την δεύτερη και χρησιμοποιώντας κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες ,προκύπτει:
$z+1=-3\wedge y+1=4\wedge x+1=2\Rightarrow(x,y,z)=(1,3,-4)$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #88

dimplak έγραψε: 48.

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ (x+y)(y+z) + (y+z)(z+x) + (z+x)(x+y) = 1 \\ x^2 (y+z) + y^2 (x+z) + z^2 (x+y) = -6 \end{cases}$

Απάντηση:

Εκτελούμε τις πράξεις στη δεύτερη εξίσωση:

(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)=3(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2

(1)

Έχουμε $x+y+z=2\Rightarrow (x+y+z)^2=4$ (2)

Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) τη σχέση (2) προκύπτει ότι xy+yz+zx=-3

(3)

Ισχύει ακόμα πως (xy+yz+zx)(x+y+z)=3xyz+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=-6

(4).

Αφαιρούμε από την σχέση (4) την τρίτη εξίσωση κατά μέλη και προκύπτει ότι $3xyz=0\Rightarrow xyz=0$

Λόγω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε πως x=0

. Τότε με αντικατάσταση στη σχέση (3) και τη σχέση (2) προκύπτει το σύστημα y+z=2

και

, όπου εύκολα προκύπτει ότι (y,z)=(-1, 3)

,

.

Συνοψίζοντας, οι λύσεις του αρχικού συστήματος είναι:

(x, y, z)=(0,-1,3), (0,3,-1), (-1,0,3), (3, 0, -1), (-1,3,0), (3,-1,0)

dimplak · #89

56.

$\begin{cases} x+y = 7 \\ xz + yw = 11 \\ xz^2 + yw^2 = 19 \\ xz^3 + yw^3 = 35 \end{cases}$

Απάντηση: (3,4,1,2)

ή

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #90

57.

$\begin{cases} x + yzw = 2 \\ y + xzw = 2 \\ z + xyw = 2 \\ w + xyz = 2 \end{cases}$

Ορέστης Λιγνός · #91

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: 57.

$\begin{cases} x + yzw = 2 \\ y + xzw = 2 \\ z + xyw = 2 \\ w + xyz = 2 \end{cases}$

Περίπτωση 1

x=y

.

Το σύστημα γράφεται $\begin{cases} x+xzw=2 \\ z+x^2w=2 \\ w +x^2z=2 \end{cases}$ .

Αφαιρούμε την δεύτερη με την τρίτη και έχουμε (z-w)(x^2-1)=0

.

Αν

, έχουμε να λύσουμε το σύστημα $\begin{cases}x+xz^2=2 \\ z+x^2z=2 \end{cases}$ .

Αφαιρούμε και παίρνουμε xz=1

ή

.

1)Αν

, τότε $\boxed{(x,y,z,w)=(1,1,1,1)}$ .

2)Αν $xz=1, \, x+z=2$ , άρα $\boxed{(x,y,z,w)=(1,1,1,1)}$ .

Αν x^2=1

, έχουμε

ή

.

Αν

, έχουμε

.

Αν

, έχουμε $\boxed{(x,y,z,w)=(-1,-1,-1,3)}$ , με όλες τις μεταθέσεις.

Περίπτωση 2

$x \neq y$ .

Αφαιρούμε την πρώτη με την δεύτερη και έχουμε $(x-y)(1-zw)=0 \Leftrightarrow zw=1$ .

Επομένως x+y=2

.

Αφαιρούμε τις δύο τελευταίες και έχουμε (z-w)(xy-1)=0

.

Αν $xy=1, \, \, x+y=2$ είναι x=y=1

άτοπο.

Άρα, z=w

.

Αφού

, είναι

(απορρίπτεται) ή z=w=-1

που τελικά δίνει (x,y,z,w)=(3,-1,-1,-1)

.

Λύσεις λοιπόν οι $\boxed{(x,y,z,w)=(1,1,1,1)}, \,\, \boxed{(x,y,z,w)=(3,-1,-1,-1)}$ , με όλες τις μεταθέσεις.

#92

dimplak έγραψε: 56.

$\begin{cases} x+y = 7 \\ xz + yw = 11 \\ xz^2 + yw^2 = 19 \\ xz^3 + yw^3 = 35 \end{cases}$

Απάντηση: ή

Πολλαπλασιάζουμε την 1η με την 4η εξίσωση: x^2z^3+xyw^3+xyz^3+y^2w^3=245

Πολλαπλασιάζουμε την 2η με την 3η εξίσωση: x^2z^3+xyzw^2+xyz^2w+y^2w^3=209

Αφαιρώντας xy(w^3+z^3-zw^2-z^2w)=36

ή $\boxed{xy(z-w)^2(z+w)=36}$

Πολλαπλασιάζουμε την 1η με την 3η εξίσωση: x^2z^2+xyw^2+xyz^2+y^2w^2=133

Υψώνουμε την 2η στο τετράγωνο: x^2z^2+2xyzw+y^2w^2=121

Αφαιρώντας βρίσκουμε $\boxed{xy(z-w)^2=12}$
Διαιρώντας $\boxed{z+w=3}$

Πολλαπλασιάζουμε την 2η με την 4η εξίσωση: x^2z^4+xyzw^3+xyz^3w+y^2w^4=385

Υψώνουμε την 3η στο τετράγωνο: x^2z^4+2xyz^2w^2+y^2w^4=361

Αφαιρώντας βρίσκουμε $\boxed{xyzw(z-w)^2=24}$
Διαιρώντας $\boxed{zw=2}$

Εύκολα φτάνουμε στις λύσεις (3,4,1,2)

ή

#93

dimplak έγραψε: 53.

$\begin{cases} \sqrt{x+1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{y-1} + \sqrt{y-3} \\ x + y + x^2 + y^2 = 80 \end{cases}$

Απάντηση: $( \frac{ \sqrt{145} - 5}{2} , \frac{ \sqrt{145} + 3 }{2} )$

H πρώτη εξίσωση δίνει $\sqrt{x+1} - \sqrt{y-3} + \sqrt{x+3} - \sqrt{y-1}=0$ ή $(x-y+4)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y-3}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{y-1}}\right)=0$

οπότε y=x+4

με $x\geq-3$ και $y\geq 1.$

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση και βρίσκουμε x^2+5x-30=0.

Η μόνη δεκτή λύση της είναι $x=\dfrac{\sqrt{145}-5}{2}$ οπότε $y=\dfrac{\sqrt{145}+3}{2}$

#94

dimplak έγραψε: 52.

$\begin{cases} x + y + xy = 3 \\ y^3 + 13y = 6x^2 + 8 \end{cases}$

Απάντηση:

Μια ακόμα προσέγγιση:
Έστω (x,y)

μία λύση του συστήματος.
Η δεύτερη εξίσωση συνεπάγεται y^3+13y-14=6x^2-6

οπότε αφού xy+y=3-x

οπότε

Η λύση αυτή επαληθεύει το σύστημα, άρα είναι η μόνη λύση.

#95

socrates έγραψε:31.

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4z = 3 \\ y^2 - 2y - 2x = - 14 \\ z^2 - 4y - 4z = - 18 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4z = 3 \\ y^2 - 2y - 2x = - 14 \\ z^2 - 4y - 4z = - 18 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4z = 3 \\ y^2 - 2y - 2x = - 14 \\ z^2 - 4y - 4z = - 18 \end{cases} \Rightarrow x^2 - 4x +4 + y^2 - 6y +9 + z^2 - 8z + 16 = 0 \Rightarrow x=2 \wedge y=3 \wedge z=4$
Η οποία δεν επαληθεύει το αρχικό σύστημα, άρα αδύνατο.

#96

dimplak έγραψε: 51.

$\begin{cases} x + y = 1 + \sqrt{xy} \\ \sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{y^2 + 3} = 4 \end{cases}$

Απάντηση:

Έστω

δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε $x + y = 1 + \sqrt{xy}$ και $\sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{y^2 + 3} = 4 .$
Είναι $x+y\geq 0$ και $xy\geq 0$ οπότε $x,y\geq 0.$
Υψώνουμε την πρώτη στο τετράγωνο: $x^2+y^2+xy=1+2\sqrt{xy}.$ Τότε

$(\sqrt{x^2+3}-2)^2+(\sqrt{y^2+3}-2)^2=x^2+y^2-2=2\sqrt{xy}-xy-1$ οπότε

$(\sqrt{x^2+3}-2)^2+(\sqrt{y^2+3}-2)^2+(\sqrt{xy}-1)^2=0.$ Αναγκαστικά x=y=1

που επαληθεύει το σύστημα και είναι η μόνη λύση.

dimplak · #97

58.

$\begin{cases} x^3 y + x^2 + y + xy + xy^2 = - \frac{5}{4} \\ x^4 + y^2 + 2x^2 y + xy = - \frac{5}{4} \end{cases}$

Απάντηση: $(1, - \frac{3}{2})$ ή $( \sqrt[3]{\frac{5}{4}} , \frac{\sqrt[3]{100} - 5}{2 \sqrt[3]{10} - 4})$

Διορθώθηκε! Ευχαριστώ τους συναδέλφους για τις επισημάνσεις!

#98

dimplak έγραψε: 58.

$\begin{cases} x^3 y + x^2 + y + xy + xy^2 = - \frac{5}{4} \\ x^4 + y^2 + 2x^2 y + xy = - \frac{5}{4} \end{cases}$

Το σύστημα ξαναγράφεται: $\begin{cases} xy(x^2+y)+(x^2+y) + xy = - \frac{5}{4} \\ (x^2+y)^2 + xy = - \frac{5}{4} \end{cases}$

Αφαιρούμε κατά μέλη: (x^2+y)(x^2+y-xy-1)=0

$\bullet$ Αν y=-x^2

τότε από την πρώτη εξίσωση $xy=- \dfrac{5}{4}$ και παίρνουμε τη λύση $(x,y)=(\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}},-\sqrt[3]{\dfrac{25}{16}})$

$\bullet$ Αν x^2+y=xy+1

τότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται $(xy+1)^2+(xy+1)+\dfrac{1}{4}=0$ οπότε $xy=-\dfrac{3}{2}$ και εύκολα 2x^3+x-3=0

που οδηγεί στη λύση $(x,y)=(1,-\dfrac{3}{2}).$

#99

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: 57.

$\begin{cases} x + yzw = 2 \\ y + xzw = 2 \\ z + xyw = 2 \\ w + xyz = 2 \end{cases}$

Λίγο συντομότερα:

Φανερά είναι $\displaystyle{xyzw\ne 0.}$

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\begin{cases} x^2 + xyzw = 2x \\ y^2 + xyzw = 2y \\ z^2 + xyzw = 2z \\ w^2 + xyzw = 2w \end{cases}.}$

Άρα αν $\displaystyle{(x,y,z,w)}$ είναι λύση του συστήματος, ισχύει

$\displaystyle{x^2-2x=y^2-2y=z^2-2z=w^2-2w=a,}$ όπου $\displaystyle{a=-xyzw.}$

Δηλαδή η παράσταση $\displaystyle{q^2-2q}$ λαμβάνει για τέσσερις τιμές του $\displaystyle{q}$ την ίδια τιμή. Ως εκ τούτου, τουλάχιστον τρεις από αυτές είναι ίσες (γιατί;).

Ας είναι π.χ. $\displaystyle{y=z=w,}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{x+y^3=2~\wedge y+xy^2=2.}$ Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει

$\displaystyle{(x-y)y^2=x-y,}$ άρα $\displaystyle{x=y\vee y=\pm 1.}$ Από εδώ βρίσκουμε τις λύσεις που αναφέρει ο Ορέστης παραπάνω.

dimplak · #100

59.

$\begin{cases} x^3 (3y + 1) = 8 \\ xy ( y^2 + 3y + 3) = 6 - 3x \end{cases}$

Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση