Διοφαντική Εξίσωση

JimNt. · #1

Να βρείτε τις τριάδες (x,y,p)

όπου

θετικοί ακέραιοι και

πρώτος, για τις οποίες ισχύει:
$x^{4}+4y^{4}=p$

Έως 30 Νοεμβρίου - Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών Juniors

Ορέστης Λιγνός · #2

Από την ταυτότητα Sophie-Germain έχουμε

p=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)

.

Αφού

πρώτος, πρέπει x^2-2xy+2y^2=1

ή

.

Το δεύτερο δεν μπορεί να ισχύει, καθώς $x^2+2xy+2y^2 \geq 1+2+1=5$ .

Άρα, $x^2-2xy+2y^2=1 \Leftrightarrow x^2-2yx+2y^2-1=0$ , με διακρίνουσα $D=4-4y^2 \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 1$ , άρα y=1

και

.

Τελικά, (x,y,p)=(1,1,5)

.

harrisp · #3

Επειδη με πρόλαβε ο Ορεστης ας θέσω ενα ωραίο θεμα πανω στην ταυτότητα Sophie Germain.

Να λυθεί στους ακεραίους η εξισωση:

$x^8+2^{2^x+2}=p$

με

πρωτο.

Ορέστης Λιγνός · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επειδη με πρόλαβε ο Ορεστης ας θέσω ενα ωραίο θεμα πανω στην ταυτότητα Sophie Germain.

Να λυθεί στους ακεραίους η εξισωση:

$x^8+2^{2^x+2}=p$

με πρωτο.

Γεια σου Χάρη!

Δεν ξέρω τι έγινε πιο πολύ : αυτή με βασάνισε ή εγώ τη βασάνισα!
Μάλλον και τα δύο

Προφανώς,

.

Έστω πρώτα x=1

.

Τότε, p=17

.

Έστω $x \geq 2$ . Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε 2^x=4y

.

Τότε, $2^{2^{x}+2}=2^{4y+2}=4 \cdot (2^y)^4$ .

Άρα,

$p=x^8+4 \cdot (2^y)^4= (x^2)^4+4 \cdot (2^y)^4=(x^4+2x^2 \cdot (2^y)^2+(2^y)^2)(x^4-2x^2 \cdot 2^y+(2^y)^2)$ .

Όπως πριν, $x^4-2x^2 \cdot 2^y+(2^y)^2-1=0$ , με Διακρίνουσα $D=4-2^{y+1} \geq 0 \Leftrightarrow y=1 \Leftrightarrow 2^x=4 \Leftrightarrow x=2$ .

Όμως, για x=2

, το αριστερό μέλος της αρχικής είναι άρτιος, άρα p=2

.

Ακόμη, $p>x^8=2^8 \Leftrightarrow 2>2^8$ , άτοπο.

Μοναδική λύση λοιπόν η (x,p)=(1,17)

.

harrisp · #5

#6

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επειδη με πρόλαβε ο Ορεστης ας θέσω ενα ωραίο θεμα πανω στην ταυτότητα Sophie Germain.

Να λυθεί στους ακεραίους η εξισωση:

$x^8+2^{2^x+2}=p$

με πρωτο.

Πρόκειται για το 2ο πρόβλημα στον Αρχιμήδη των Μεγάλων το σχολικό έτος 2007 - 2008. Δείτε κι εδώ.

Αλέξανδρος

Διοφαντική Εξίσωση

Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφανιτκή Εξίσωση

Re: Διοφανιτκή Εξίσωση

Re: Διοφανιτκή Εξίσωση

Re: Διοφανιτκή Εξίσωση

Re: Διοφανιτκή Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση