Συνέχεια αύξουσας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
γνησίως αύξουσες και συνεχείς.

1)Δείξτε ότι για $x\in \mathbb{R}$ η εξίσωση g(t)+t=h(x)

έχει μοναδική λύση
(το

είναι το άγνωστο και το

σταθερό)

2)Δείξτε ότι υπάρχει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση ώστε

g(f(x))+f(x)=h(x)

για $x\in \mathbb{R}$

3)Δείξτε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα

4) )Δείξτε ότι η

είναι συνεχής

Συμπλήρωμα.Εγινε διόρθωση τυπογραφικού στο 2.Ευχαριστώ τον Μπάμπη Στεργίου για την επισήμανση

BAGGP93 · #2

1. Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ . Η συνάρτηση $\displaystyle{t\mapsto \Phi(t):=g(t)+t\,,t\in\mathbb{R}}$ είναι συνεχής και

γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Συνεπώς, αν η εξίσωση $\displaystyle{g(t)+t=h(x)\,,t\in\mathbb{R}}$ έχει λύση, τότε

αυτή θα είναι μοναδική. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{g(t)+t\neq h(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ και λόγω συνέχειας,

έστω $\displaystyle{g(t)+t>h(x)\,,\forall\,t\in\mathbb{R}}$ . Τότε,

$\displaystyle{g(t)>h(x)-t\,,\forall\,t\in\mathbb{R}}$ και εφ'όσον $\displaystyle{\lim_{t\to -\infty}(h(x)-t)=+\infty}}$ , έπεται ότι

$\displaystyle{\lim_{t\to -\infty}g(t)=+\infty}$ , κάτι που αντιβαίνει στο γεγονός ότι η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Άρα, υπάρχει $\displaystyle{t\in\mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{g(t)+t=h(x)}$ .

Αυτό το σκεπτικό μας δίνει επίσης ότι $\displaystyle{\Phi(\mathbb{R})=\mathbb{R}}$ , άρα υπάρχει $\displaystyle{\Phi^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$

2. Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ . Απεικονίζουμε το $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ στο μοναδικό $\displaystyle{t\in\mathbb{R}}$ για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{g(t)+t=h(x)}$ .

Έτσι, ορίζεται καλώς μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{g(f(x))+f(x)=h(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ .

Ας είναι $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x<y}$ αλλά $\displaystyle{f(x)\geq f(y)}$ .

Επειδή η $\displaystyle{t\mapsto g(t)+t\,,t\in\mathbb{R}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και

$\displaystyle{t=f(x)\geq f(y)=s}$ , προκύπτει ότι $\displaystyle{g(t)\geq g(s)\implies g(f(x))+f(x)\geq g(f(y))+f(y)\implies h(x)\geq h(y)}$ ,

άτοπο διότι $\displaystyle{x<y}$ και η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{\left(\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\right)\,\left[x<y\implies f(x)<f(y)\right]}$ , δηλαδή η

$\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

4. Ισχύει ότι $\displaystyle{\Phi(f(x))=h(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ , οπότε,

$\displaystyle{f(x)=\Phi^{-1}(h(x))\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Δεν μπόρεσα να το συνεχίσω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Πολύ ωραία Ευάγγελε.
Μένει το 4.
Υπάρχει απόδειξη με καθαρά σχολική ύλη.
Οταν λυθεί θα αναφέρω πού την είδα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Αφού έμεινε ας γράψω την λύση του 4.
Την ιδέα την πήρα από τον Αντρέα Πάτση στό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Επειδή έχουμε αύξουσα θα πάρουμε πλευρικά όρια.

Εστω $x_{0}\in \mathbb{R}$

Εχουμε $g(f(x_{0}))+f(x_{0})=h(x_{0})$

και g(f(x))+f(x)=h(x)

Αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

$g(f(x))-g(f(x_{0}))+f(x)-f(x_{0})=h(x)-h(x_{0})$ (1)

α)Εστω $x> x_{0}$

Επειδή έχουμε γνησίως αύξουσες η (1) δίνει

$0< f(x)-f(x_{0})< h(x)-h(x_{0})$ (2)

Αφου η

είναι συνεχής εφαρμόζοντας στην (2)το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}(f(x)-f(x_{0}))=0$ (3)

β)Εστω $x<x_{0}$

Επειδή έχουμε γνησίως αύξουσες η (1) δίνει

$0> f(x)-f(x_{0})> h(x)-h(x_{0})$

εφαρμόζοντας πάλι το κριτήριο παρεμβολής στην τελευταία παίρνουμε

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}(f(x)-f(x_{0}))=0$ (4)

Οι 3,4 μας δίνουν ότι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Συνέχεια αύξουσας

Συνέχεια αύξουσας

Re: Συνέχεια αύξουσας

Re: Συνέχεια αύξουσας

Re: Συνέχεια αύξουσας

Μέλη σε σύνδεση