Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

#41

erxmer έγραψε:26.
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=27\\ 27x^3+6y^2x=2+y^3+30x^2y\\ x,y \in \mathbb{R}\\ \end{matrix}\right.}$

Θέτω $\displaystyle{y=kx}$ και το σύστημα γίνεται ισοδύναμα :
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^3}(1 + {k^3}) = 27 \\ 27{x^3} + 6{k^2}{x^3} = 2 + {k^3}{x^3} + 30k{x^3} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3}(1 + {k^3}) = 27 \\ {x^3}(27 + 6{k^2} - {k^3} - 30k) = 2 \\ \end{array} \right.}$

Διαιρώντας κατά μέλη ( αφού $\displaystyle{{{x}^{3}}(27+6{{k}^{2}}-{{k}^{3}}-30k)=2\ne 0}$ ) , παίρνουμε την :
$\displaystyle{\frac{1+{{k}^{3}}}{27+6{{k}^{2}}-{{k}^{3}}-30k}=\frac{27}{2}\Leftrightarrow 29{{k}^{3}}-162{{k}^{2}}+810k-727=0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$

Από τη $\displaystyle{(2)}$ βρίσκουμε το $\displaystyle{k}$ ( ! … ) , από την $\displaystyle{(1)}$ το $\displaystyle{x}$ και κατόπιν το $\displaystyle{y}$

JimNt. · #42

dimplak έγραψε:22.

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \\ (x^2 + 1)(2-x) = x^2 y \end{cases}$

Μια διαφορετική προσέγγιση.
x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y

Με πρόσθεση κατα μέλη των (1)

και

λαμβάνουμε:
(x^2 + 1)(2-x)+x^2 + y^2 + xy + 1=x^2 y+4y

ή
$(x^{2}+1)(2-x)+(x^{2}+1)+y^{2}+xy-x^{2}y-4y=0$ ή
$(x^{2}+1)(3-x)+y^{2}+xy-x^{2}y-4y=0$ ή
$(x^{2}+1)(3-x)-y(x^{2}+1)+(-3y+y^{2}+xy)=0$ ή
$(x^{2}+1)(3-x-y)-y(3-x-y)=0$ ή
$(x^{2}+1-y)(3-x-y)=0$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
- $x^{2}+1-y=0 \Leftrightarrow y=x^{2}+1 (3)$ Αντικαθιστούμε στην (2)

και παίρνουμε:
$(x^2 + 1)(2-x) = x^2(x^{2}+1)$ (προφανώς αν x=0

έχουμε άτοπο) $\Leftrightarrow$ x^2+x-2=0

, που έχει τις λύσεις x_1=1

,

. Έτσι λόγω της (3)

παίρνουμε

, που αληθεύουν και για την (1)

.
-

$\Leftirghtarrow$ y=3-x

Αντικαθιστούμε στην (1)

:
$x^{2}+(3-x)^{2}+x(3-x)+1=4(3-x)$ $\Leftrightarrow$ $x^{2}+x-2=0$ , που έχει τις λύσεις που ήδη έχουμε βρεί ( x_1=1, x_2=-2

) και παίρνουμε λόγω της (4)

τα ίδια ζεύγη. Συνεπώς, είναι (x,y)=(1,2),(-2,5)

dimplak · #43

28.

$\begin{cases} 2(x^3 + y^2) + y = 0 \\ 8(y^3 + x^2) + 1 = 4x - 6y (2y + 1) \end{cases}$

dimplak · #44

29.

$\begin{cases} (x+y)^2 \sqrt{3(x+y)} = \sqrt{2(x+y+1)} + 4 \\ (x^2 + y - 2) \sqrt{2x+1} = x^3 + 2y -5 \end{cases}$

dimplak · #45

30.

$\begin{cases} x^4 - y^4 = \frac{3}{4y} - \frac{1}{2x} \\ (x^2 - y^2)^5 + 5 = 0 \end{cases}$

#46

31.

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4z = 3 \\ y^2 - 2y - 2x = - 14 \\ z^2 - 4y - 4z = - 18 \end{cases}$

#47

32.

$\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} x + y = 15 \\ y = x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{y}}}}} . \end{cases}} }$

#48

33.

$\displaystyle{\begin{cases} 2x^3_1 + 4 = x^2_1(x_2 + 3) \\ 2x^3_2 + 4 = x^2_2(x_3 + 3) \\ ... \\ 2x^3_{n - 1} + 4 = x^2_{n - 1}(x_n + 3) \\ 2x^3_n + 4 = x^2_n(x_1 + 3) \end{cases}}$

dement · #49

socrates έγραψε:32.

$\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} x + y = 15 \\ y = x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{y}}}}} . \end{cases}} }$

Μια προφανής λύση είναι η x = 6, y = 9

. Αλλιώς γράφουμε τη δεύτερη εξίσωση ως $15 = 2x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{15 - x}}}}}$ . Παρατηρούμε ότι $x \leqslant 8$ και η $x + \sqrt{15-x} = - \left( \sqrt{15-x} \right)^2 + \left (\sqrt{15-x} \right) + 15$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε όλο το δεξί μέλος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Άρα η (6,9)

είναι μοναδική λύση.

dimplak · #50

34.

$\begin{cases} c a^2 - a + 4 - 2c = 0 \\ 7 + a + b = c (2ab - 4) \\ c b^2 - b + 3 + 3c = 0 \end{cases}$

dimplak · #51

35.

$\begin{cases} x^3 + xyz = \sqrt{xyz} \\ y^3 + xyz = \sqrt{xyz} \\ z^3 + xyz = \sqrt{xyz} \end{cases}$

#52

dimplak έγραψε: 35.

$\begin{cases} x^3 + xyz = \sqrt{xyz} \\ y^3 + xyz = \sqrt{xyz} \\ z^3 + xyz = \sqrt{xyz} \end{cases}$

Προφανώς είναι x=y=z

, απ' όπου $\displaystyle{2{x^3} = \sqrt {{x^3}} \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}}$

Έχουμε λοιπόν: $\boxed{(x,y,z) = (0,0,0)}$ ή $\boxed{(x,y,z) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{4}}},\frac{1}{{\sqrt[3]{4}}},\frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}} \right)}$

dimplak · #53

36.

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 35 \\ 2x^2 + 3y^2 = 4x - 9y \end{cases}$

Υ.Γ. Διορθώθηκε!

dimplak · #54

37.

$\begin{cases} 2y(x^2 - y^2) = 3x \\ x(x^2 + y^2) = 10y \end{cases}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #55

dimplak έγραψε: 37.

$\begin{cases} 2y(x^2 - y^2) = 3x \\ x(x^2 + y^2) = 10y \end{cases}$

$\displaystyle{x = y = 0}$ προφανής λύση

Με $\displaystyle{x \ne 0,y \ne 0}$ πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε $\displaystyle{\boxed{{x^4} - {y^4} = 15}}$

$\displaystyle{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 3x \Leftrightarrow 2{y^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 3xy \Leftrightarrow 2{y^4} = 2{(xy)^2} - 3xy(1)}$

$\displaystyle{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 20xy \Leftrightarrow 2{x^4} = 20(xy) - 2{\left( {xy} \right)^2}(2)}$

$\displaystyle{(2) - (1) \Rightarrow 4{\left( {xy} \right)^2} - 23(xy) + 30 = 0 \Rightarrow \boxed{xy = \frac{9}{2}}}$ ή $\displaystyle{\boxed{xy = \frac{5}{4}}}$

Με $\displaystyle{{xy = \frac{9}{2}}}$ και την $\displaystyle{(1)}$ ή την $\displaystyle{(2)}$ εύκολα βρίσουμε τα $\displaystyle{{x,y}}$ .Ομοίως όταν $\displaystyle{{xy = \frac{5}{4}}}$

STOPJOHN · #56

dimplak έγραψε: 37.

$\begin{cases} 2y(x^2 - y^2) = 3x \\ x(x^2 + y^2) = 10y \end{cases}$

Θετουμε

Συνεπώς το σύστημα γράφεται $(k^{2}-1)y^{2}=\dfrac{3}{2}k, y^{2}(k^{2}+1)=\dfrac{10}{k}$

Διαιρώ κατά μέλη τις εξισώσεις $\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}+1}=\dfrac{3k^{2}}{20}\Rightarrow \dfrac{t-1}{t+1}=\dfrac{3t}{20},k^{2}=t$
$3t^{2}-17t+20=0\Rightarrow t=4,t=\dfrac{5}{3}, t=4\Rightarrow k=2,k=-2, k=2\Rightarrow x=2y,(x,y)=(2,1),(x,y)=(-2,-1), k=-2,3y^{2}=-3$ Αδύνατο.
Για
$t=\dfrac{5}{3}\Rightarrow k=\sqrt{\dfrac{5}{3}},k=-\sqrt{\dfrac{5}{3}}, k=\sqrt{\dfrac{5}{3}}\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{5}{3}}y, y=\dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{5}{3}},x=\dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{5^{3}}{3^{3}}}, y=-\dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{5}{3}},x=-\dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5^{3}}{3^{3}}}$
Για $k=-\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ έχουμε αδύνατο

Γιάννης

dimplak · #57

38.

$\begin{cases} \sqrt{5x^2 + 1} + \sqrt{2y^2 + 1} = x^2 - 6 \\ \sqrt{5y^2 + 1} - \sqrt{2x^2 + 1} = y^2 - 20 \end{cases}$

#58

39.

$\displaystyle{\begin{cases} x+y+z=6 \\ \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=8 \\ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{17}{10} \end{cases}}$

#59

40.

$\displaystyle{\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x(xy + 6) = y^3 } \\ {y(xy - 24) = x^3 } \\ \end{array}} \right. }}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #60

socrates έγραψε: 40.

$\displaystyle{\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x(xy + 6) = y^3 } \\ {y(xy - 24) = x^3 } \\ \end{array}} \right. }}$

$\displaystyle{\left( {x = 0,y = 0} \right)}$ προφανής λύση

Με $\displaystyle{x \ne 0,y \ne 0}$ και πολ/σμό κατά μέλη $\displaystyle{ \Rightarrow \left( {xy} \right)\left( {xy + 6} \right)\left( {xy - 24} \right) = {\left( {xy} \right)^3} \Leftrightarrow \left( {xy + 6} \right)\left( {xy - 24} \right) = {\left( {xy} \right)^2}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{xy = - 8}(1)}$

Έτσι το σύστημα γίνεται $\displaystyle{\begin{gathered} - 2x = {y^3} \hfill \\ - 32y = {x^3} \hfill \\ \end{gathered} }$

Με διαίρεση $\displaystyle{{\left( {\frac{x}{y}} \right)^4} = 16 \Rightarrow \boxed{x = \pm 2y}}$

Με $\displaystyle{{x = 2y}}$ έχουμε από την $\displaystyle{(1)}$ $\displaystyle{{2{y^2} = - 8}}$ αδύνατη.

Με $\displaystyle{{x = - 2y}}$ έχουμε από την $\displaystyle{(1)}$ $\displaystyle{{ - 2{y^2} = - 8}}$ άρα $\displaystyle{y = \pm 2 \Rightarrow \left( {x = - 4,y = 2} \right),\left( {x = 4,y = - 2} \right)}$ , $\displaystyle{(0,0)}$ οι λύσεις του συστήματος

Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση