Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

harrisp · #1

Να βρείτε όλους τους πρώτους

και τους ακεραίους

που είναι λύσεις της εξίωσης:

$n^{3}=p^{2}-p-1$

Κάντε το ίδιο για την:

$n^{3}=p^{2}-p+1$

big-pitsirikos · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Να βρείτε όλους τους πρώτους και τους ακεραίους που είναι λύσεις της εξίσωσης:

$n^{3}=p^{2}-p-1$

Γεια σου Χάρη!

Η εξίσωση γράφεται (n+1)(n^2-n+1)=p(p-1)

.

Άρα,

, και αφού πρώτος p/n+1

ή

.

1η Περίπτωση

p/n+1

.

Αν λοιπόν n+1=ap

, τότε

.

Προσθέτουμε και έχουμε n+p=a(n^2-n+p+1)

.

Άρα, $n+p \geq n^2-n+p+1 \Leftrightarrow (n-1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow n=1, p=2$ .

Λύση λοιπόν σε αυτή την περίπτωση είναι η (n,p)=(1,2)

.

2η Περίπτωση

p/n^2-n+1

.

Αν λοιπόν n^2-n+1=bp

(1) και

(2).

Από την (2), p=bn+b+1

.

Με αντικατάσταση στην (1) και πράξεις θα πάρουμε την δευτεροβάθμια n^2-(b^2+1)n-(b^2+b-1)=0

.
Η διακρίνουσα είναι ίση με D=b^4+6b^2+4b-3

, και παρατηρούμε ότι για b > 3

, ισχύει ότι

(b^2+3)^2<D<(b^2+4)^2

, που δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα $b \leq 3$ .

Με δοκιμές, λύση είναι η b=3

, και δίνει την λύση (n,p)=(11,37)

.

Άρα, λύσεις (n,p)=(1,2), (n,p)=(11,37)

.

* Συμπλήρωση αυτού με τα κόκκινα γράμματα.

#3

Ας δούμε πρώτα την εξίσωση $\displaystyle{\boxed{{n^3} = {p^2} - p - 1}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Αυτή γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{{n^3} + 1 = {p^2} - p \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right) = p\left( {p - 1} \right)}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ .

Επειδή $\displaystyle{p \ge 2,}$ από την $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ προκύπτει ότι $\displaystyle{{n \ge 1}.}$ Επίσης, έχουμε ότι $\displaystyle{p|\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right).}$ Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{p|n + 1,}$ τότε $\displaystyle{p \le n + 1,}$ οπότε:

$\displaystyle{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right) = p\left( {p - 1} \right) \le \left( {n + 1} \right)n \Rightarrow {n^2} - n + 1 \le n \Rightarrow {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow n = 1}$

και προκύπτει το ζεύγος $\displaystyle{\boxed{\left( {n,p} \right) = \left( {1,2} \right)}}$ , το οποίο επαληθεύει τη δοσμένη εξίσωση.

$\bullet$ Αν ο

δεν διαιρεί τον $\displaystyle{n + 1,}$ τότε $\displaystyle{{p|{n^2} - n + 1},}$ οπότε υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος, ώστε $\displaystyle{{{n^2} - n + 1 = kp}.}$ Αλλά τότε, η σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ δίνει ότι

$\displaystyle{\left( {n + 1} \right)kp = p\left( {p - 1} \right) \Rightarrow p = kn + k + 1}$

και άρα

$\displaystyle{{n^2} - n + 1 = k\left( {kn + k + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - \left( {{k^2} + 1} \right)n - \left( {{k^2} + k - 1} \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ .

Θεωρώντας τη $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ ως δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο τον

, έχουμε ότι η διακρίνουσά της

$\displaystyle{\Delta = {\left( {{k^2} + 1} \right)^2} + 4\left( {{k^2} + k - 1} \right) = {k^4} + 6{k^2} + 4k - 3}$

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Αλλά είναι:

$\displaystyle{\Delta - {\left( {{k^2} + 2} \right)^2} = 2{k^2} + 4k - 7 = 2k\left( {k + 2} \right) - 7 > 0}$ για $\displaystyle{k \ge 2}$ και

$\displaystyle{{\left( {{k^2} + 4} \right)^2} - \Delta = 2{k^2} - 4k + 19 = 2{\left( {k - 1} \right)^2} + 17 > 0}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}.$

Αν $\displaystyle{k = 1,}$ τότε έχουμε ότι $\displaystyle{{n^2} - n + 1 = p = n + 2 \Rightarrow {n^2} - 2n - 1 = 0,}$ πράγμα άτοπο. Άρα, είναι

$\displaystyle{{\left( {{k^2} + 2} \right)^2} < \Delta < {\left( {{k^2} + 4} \right)^2},}$

οπότε

$\displaystyle{ \Delta = {\left( {{k^2} + 3} \right)^2} \Rightarrow {k^4} + 6{k^2} + 4k - 3 = {k^4} + 6{k^2} + 9 \Rightarrow k = 3.}$

Έτσι, έχουμε ότι $\displaystyle{{n^2} - n + 1 = 3p,}$ οπότε η σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ δίνει ότι $\displaystyle{3\left( {n + 1} \right) = p - 1 \Rightarrow p = 3n + 4}$ και άρα

$\displaystyle{{n^2} - n + 1 = 3\left( {3n + 4} \right) \Rightarrow {n^2} - 10n - 11 = 0 \Rightarrow n = 11.}$

Συνεπώς, προκύπτει το ζεύγος $\displaystyle{\boxed{\left( {n,p} \right) = \left( {11,37} \right)}}$ , το οποίο επίσης επαληθεύει τη δοσμένη εξίσωση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Η εξίσωση $\displaystyle{\boxed{{n^3} = {p^2} - p + 1}}$ $\bf \color{red} \left( \clubsuit \right)$ αντιμετωπίζεται όμοια. Ισοδύναμα, γράφεται

$\displaystyle{{n^3} - 1 = {p^2} - p \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) = p\left( {p - 1} \right)}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ .

Επειδή $\displaystyle{p \ge 2,}$ από την $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ προκύπτει ότι $\displaystyle{{n \ge 2}.}$ Επίσης, έχουμε ότι $\displaystyle{p|\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).}$

Αν $\displaystyle{p|n - 1,}$ τότε $\displaystyle{p \le n - 1 < n < {n^2} + n + 1}$ και $\displaystyle{p - 1 < n - 1,}$ οπότε $\displaystyle{p\left( {p - 1} \right) < \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right),}$ που αντιβαίνει στην $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ .

Επομένως, $\displaystyle{{p|{n^2} + n + 1},}$ οπότε υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος, ώστε $\displaystyle{{{n^2} + n + 1 = kp}.}$ Αλλά τότε, η σχέση $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ δίνει ότι

$\displaystyle{\left( {n - 1} \right)kp = p\left( {p - 1} \right) \Rightarrow p = kn - k + 1}$

και άρα

$\displaystyle{{n^2} + n + 1 = k\left( {kn - k + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - \left( {{k^2} - 1} \right)n - \left( {{k^2} - k + 1} \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ .

Θεωρώντας τη $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ ως δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο τον

, έχουμε ότι η διακρίνουσά της

$\displaystyle{\Delta = {\left( {{k^2} - 1} \right)^2} - 4\left( {{k^2} - k + 1} \right) = {k^4} - 6{k^2} + 4k - 3}$

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Αλλά είναι:

$\displaystyle{\Delta - {\left( {{k^2} - 3} \right)^2} = 4k - 12 > 0}$ για $\displaystyle{k \ge 4}$ και

$\displaystyle{{\left( {{k^2} -2} \right)^2} - \Delta = 2{k^2} - 4k + 7 = 2{\left( {k - 1} \right)^2} + 5 > 0}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}.$

Αν $\displaystyle{k = 1,}$ τότε $\displaystyle{{n^2} + n + 1 = p = n,}$ άτοπο.

Αν $\displaystyle{k = 2,}$ τότε $\displaystyle{{n^2} + n + 1 = 2p}$ και $\displaystyle{p = 2n - 1,}$ οπότε $\displaystyle{{n^2} - 3n + 3 = 0,}$ άτοπο.

Αν $\displaystyle{k = 3,}$ τότε $\displaystyle{{n^2} + n + 1 = 3p}$ και $\displaystyle{p = 3n - 2,}$ οπότε $\displaystyle{{n^2} - 8n + 7 = 0 \Rightarrow \left( {n = 1 \vee n = 7} \right).}$

Για $\displaystyle{{n = 1}}$ προκύπτει $\displaystyle{{p = 1},}$ που είναι αδύνατο. Άρα, η εξίσωση $\bf \color{red} \left( \clubsuit \right)$ έχει τη μοναδική λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {n,p} \right) = \left( {7,19} \right)}}.$

harrisp · #4

Σας ευχαριστώ και τους δυο για τις όμορφες λυσεις σας!

#5

Δείτε και
http://artofproblemsolving.com/communit ... 13p2835257
http://artofproblemsolving.com/communit ... 08p2732198

Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Re: Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Re: Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Re: Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Re: Ιταλοβαλκανική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση