Ομορφούλα

erxmer · #1

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to (0,+\infty)$ με $f'(x)f(-x)=3x^2, x \in \mathbb{R}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\left (\int_{0}^{2}f(x)dx \right )^2 \geq 36}$

3) Aν

μία αρχική της

να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\left ( F(e^x)-F(ex) \right )^4=0}$

4) Nα βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται απο την γ.π. της συνάρτησης g(x)=x^2f(x)

, την ασύμπτωτη στο $-\infty$ και τον άξονα yy'

5) Αποδείξτε οτι $\displaystyle{\exists x_0 \in (0,1):e^{{x_0}^3}=2\int_{0}^{1}xe^{x^3}dx}$

Ratio · #2

Για το (1)

Η δοθείσα σχέση $f'(x)f(-x)=3x^{_2}$
ισχύει και για x=-x

οπότε προκύπτει η σχέση $f'(-x)f(x)=3x^{_2}$
όπου f'(-x) =-f'(-x)

επομενως η παραπανω σχεση γινεται: $-f'(-x)f(x)=3x^{_2}$
'Εχουμε λοιπόν
$f'(x)f(-x)=3x^{_2}\newline -f'(-x)f(x)=3x^{_2}\left \Leftrightarrow f'(x)f(-x)-f'(-x)f(x)=6x^{_2}\newline \Leftrightarrow (f(x)f(-x))'=(2x^{_3})'\Leftrightarrow f(x)f(-x)=2x^{_3}+c$ (1)
Η παραπάνω σχέση ισχύει και για x=-x

άρε προκύπτει: $f(-x)f(x)=-2x^{_3}+c$ (2)
Προσθέτοντας κατά μελη τις (1) και (2)
$\\2f(x)f(-x)=2c \leftrightarrow f(x)f(-x)=c \leftrightarrow f(-x)=\frac{c}{f(x)}$

Αντικαθιστώντας στην αρχική θα έχουμε: $f'(x)\frac{c}{f(x)}=3x^{_2}\ (f(x)>0)\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3x^{_2}}{c}\Leftrightarrow (ln(f(x))'=(\frac{x^{_3}}{c})'\Leftrightarrow ln(f(x))=x^{_3}+c{_1}\Leftrightarrow \f(x)=e^{x^{_3}+c{_1}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Προφανώς ο Ratio στην τέταρτη σχέση ήθελε να γράψει (f(-x))'=-f'(-x)

Στο τέλος έχει χαθεί σταθερά.
Εχουμε $(lnf(x))'=(\dfrac{x^{3}}{c})'$

προκύπτει $lnf(x)=\dfrac{x^{3}}{c}+a$

δηλαδή $f(x)=rexp(\dfrac{x^{3}}{c}),r> 0$

Αντικαθιστώντας στην αρχική βρίσκουμε ότι $c=r^{2}$

Τελικά $f(x)=rexp(\dfrac{x^{3}}{r^{2}}),r> 0$

Σημειώνω ότι $exp(x)\equiv e^{x}$

Σε λίγο το 2),

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για το 2)

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι $exp(x)> 1+x+\frac{x^{2}}{2}$ για x> 0

Εχουμε $\int_{0}^{2}f(x)dx> r\int_{0}^{2}(1+\frac{x^{3}}{r^{2}}+\frac{x^{6}}{2r^{4}})dx=2r+\frac{4}{r}+\frac{2^{6}}{7r^{3}}$

Η $g(r)=2r+\frac{4}{r}$ παίρνει ελάχιστη τιμή στο $\sqrt{2}$

Εύκολα βλέπουμε ότι $g(r)\geq 6$ για
$r\leq 1$ η $r\geq 2$

Για 1< r< 2

έχουμε

$2r+\frac{4}{r}+\frac{2^{6}}{7r^{3}}\geq 2\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{2^{3}}{7}> 6$

και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Ας κάνουμε το 5)
Αυτό είναι ένα θεώρημα που βάζουμε τις συναρτήσεις συγκεκριμένες και το παρουσιάζουμε σαν άσκηση.
(Για να μην παρεξηγηθώ τέτοιες τακτικές ακολουθούμε σχεδόν όλοι μας)
Για να μην κοροιδευόμαστε θα διατυπώσω και θα αποδείξω το θεώρημα.

Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς με $g(x)\geq 0$

Υπάρχει $c\epsilon (a,b)$ ώστε $f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$
Απόδειξη.
Λόγω συνέχειας υπάρχουν $k,l\epsilon [a,b]$ ώστε $f(k)\leq f(x)\leq f(l)$ για $x\epsilon [a,b]$

πολλαπλασιάζοντας με $g(x)\geq 0$ και ολοκληρώνοντας παίρνουμε

$f(k)\int_{a}^{b}g(x)dx\leq \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq f(l)\int_{a}^{b}g(x)dx$ (1)

Αν $\int_{a}^{b}g(x)dx=0$ παίρνουμε $c\epsilon (a,b)$ οποιοδήποτε.

Παρατηρούμε ότι αν στην (1) έχουμε κάπου ισότητα τότε

σταθερή οπότε παίρνουμε $c\epsilon (a,b)$ οποιοδήποτε.

Διαφορετικά $f(k)< \dfrac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int_{a}^{b}g(x)dx}< f(l)$
Το Θ.Ε.Τ ολοκληρώνει την απόδειξη.

Στην συγκεκριμένη άσκηση $a=0,b=1,g(x)=2x,f(x)=exp(x^{3})$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Ας τελειώνουμε με την ομορφούλα
3) F'(x)=f(x)> 0

Αρα είναι 1-1.Δηλαδή πρέπει να λύσουμε την exp(x)=xexp(1)

Εύκολα βλέπουμε ότι η μοναδική ρίζα είναι το x=1

4)Επειδή $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=0$ ασύμπτωτη είναι η ευθεία y=0

Ετσι το ζητούμενο εμβαδό είναι

$\int_{-\infty }^{0}x^{2}f(x)dx=\int_{-\infty }^{0}x^{2}rexp(\frac{x^{3}}{r^{2}})dx=\int_{-\infty }^{0}(\dfrac{r^{3}}{3}exp(\dfrac{x^{3}}{r^{2}}))'dx=\dfrac{r^{3}}{3}$

Ομορφούλα

Ομορφούλα

Re: Ομορφούλα

Re: Ομορφούλα

Re: Ομορφούλα

Re: Ομορφούλα

Re: Ομορφούλα

Μέλη σε σύνδεση