Χθες το πρωί στο γραφείο...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Χθες το πρωί σε ένα κενό που είχα , αφού πέρασα τις απουσίες του τμήματος για το οποίο είμαι υπεύθυνος και αφού τακτοποίησα τα δικαιολογητικά που είχα για αυτές , ασχολήθηκα με κάτι που είχα στο μυαλό κάποιες μέρες.
Το δεύτερο θέμα της ΙΜΟ 1961 ήταν η πασίγνωστη ανισότητα Weitzenböck , δηλαδή ότι σε τρίγωνο ισχύει η ανισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 4\sqrt{3}E,$ όπου το εμβαδόν του Σε παλιότερη δημοσίευση είχε αποδειχθεί ότι $ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt{3}E,$ ανισότητα ισχυρότερη από αυτήν του Weitzenböck. Μπορεί να ''σφίξει'' κι άλλο; Πιστεύω ναι...
Η απόδειξη που βρήκα καθιστά το θέμα ακατάλληλο για διαγωνισμό. Μήπως υπάρχει κάτι απλούστερο;

Σε τρίγωνο ABC

εμβαδού

ισχύει ότι
$2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant 4\sqrt{3}E$

#2

Πρόκειται για την ανισότητα Finsler-Hadwiger. Αποδείξεις της υπάρχουν πολλές, όπως και γενικεύσεις. Μια στάνταρ απόδειξη πάει ως εξής:

$\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=(b-c)^2+2bc(1-\cos A)=(b-c)^2+4bc\sin ^2\frac{A}{2}=(b-c)^2+8E\frac{\sin ^2\frac{A}{2}}{\sin A}}$ άρα

$\displaystyle{a^2=(b-c)^2+4E\tan \frac{A}{2}}$

Επομένως

$\displaystyle{\boxed{a^2+b^2+c^2=(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2+4E\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\right)}}$

Από την κυρτότητα της εφαπτομένης στο $\displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ και την ανισότητα Jensen ισχύει

$\displaystyle{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\geq \sqrt{3},}$ οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σε τρίγωνο εμβαδού ισχύει ότι
$2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant 4\sqrt{3}E$

Η ανισότητα αποδεικνύεται και με κατά μέτωπον επίθεση, αλλά αυτή η προσέγγιση δεν είναι η πλέον οικονομική (και σίγουρα ούτε η ενδεδειγμένη):

Ισχύει $\displaystyle{2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})>0}$ (γιατί;)

Ζητείται να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\left[2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\right]^2\geq 3\left[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4)\right]}$ ,

η οποία γράφεται αφού γίνουν οι πράξεις

$\displaystyle{a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)}$ .

Όμως αυτή είναι η τετάρτου βαθμού Schur!

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Όταν έγραφα το θέμα , σκεφτόμουν ότι ο Θάνος θα το έλυνε...
Πριν τέσσερα - πέντε χρόνια είχα διαβάσει για την ανισότητα Finsler-Hadwiger , αλλά μετά δεν ασχολήθηκα και έτσι δεν τη θυμήθηκα όταν μου προέκυψε...
Αν η απόδειξη που σκέφτηκα προστεθεί στις ήδη υπάρχουσες , αυτό και μόνο μου φτάνει...
Αν κάποιος , πριν από μένα , σκέφτηκε την απόδειξη που σκέφτηκα τότε και πάλι ευχαριστημένος θα είμαι...
Παρακάτω δίνω τις σκέψεις μου.

Όπως έχουμε δει , στη δημοσίευση viewtopic.php?f=112&t=55450 , αν a,b,c

πλευρές τριγώνου ABC

τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές $x=\sqrt{2s\left ( s-a \right )},y=\sqrt{2s\left ( s-b \right )},z=\sqrt{2s\left ( s-c \right )}$ όπου

η ημιπερίμετρος του τριγώνου ABC.

. Το τρίγωνο XYZ

είναι ένα τρίγωνο όμοιο με αυτό που έχει κορυφές τα σημεία επαφής των πλευρών του τριγώνου ABC

με τον εγγεγραμμένο του κύκλο. Μάλιστα στην ίδια δημοσίευση αποδείχθηκε ότι το εμβαδόν του XYZ

είναι όσο και το εμβαδόν του ABC.

Το μόνο που σκέφτηκα - διόλου εντυπωσιακό - ήταν να εφαρμόσω την ανισότητα Weitzenböck στο τρίγωνο XYZ.

Προέκυψε πολύ εύκολα η ανισότητα που ζήτησα να αποδειχθεί...
Το ωραίο είναι ότι εφαρμόζοντας την ανισότητα Weitzenböck σε ένα άλλο τρίγωνο , προκύπτει μια ''σφικτότερη'' ανισότητα της Weitzenböck στο τρίγωνο ABC.

Η Weitzenböck στο XYZ

είναι η Finsler-Hadwiger στο ABC.

Όμορφοι οι μετασχηματισμοί , πιστεύω να συμφωνείτε...

#5

Τηλέμαχε, την ίδια ιδέα συναντήσαμε πριν από μερικά χρόνια εδώ.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Τελικά το θέμα είχε διευκρινιστεί από το 2010 , αργά το ανακάλυψα...
Τόσο η τοποθέτηση της δημοσίευσης από το Θάνο όσο και η λύση του Μιχάλη Λάμπρου το ξεκαθαρίζουν πλήρως...
Δεν αισθάνομαι πάντως ότι έχασα το χρόνο μου , οι μετασχηματισμοί δίνουν κι άλλα ωραία αποτελέσματα που αξίζει τον κόπο να ασχολείσαι μαζί τους...
Ευχαριστώ το Θάνο που ασχολήθηκε με το θέμα και που έδωσε την παραπομπή.

Χθες το πρωί στο γραφείο...

Χθες το πρωί στο γραφείο...

Re: Χθες το πρωί στο γραφείο...

Re: Χθες το πρωί στο γραφείο...

Re: Χθες το πρωί στο γραφείο...

Re: Χθες το πρωί στο γραφείο...

Re: Χθες το πρωί στο γραφείο...

Μέλη σε σύνδεση