Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους .
Νυχτερινή σύνθεση. Η αφορμή - ως συνήθως - δόθηκε από άλλο θέμα.

: Ατίθασο (;) εμβαδόν τριγώνου.PNG (11.35 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Θεωρούμε το τετράγωνο ABCD

με

τ.μ .

Αν

είναι το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου BAD

, για το οποίο είναι EB=5

και

ενώ

είναι η τομή της

με την πλευρά

τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου DAH

.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλή Κυριακή σε όλους .
Νυχτερινή σύνθεση. Η αφορμή - ως συνήθως - δόθηκε από άλλο θέμα.

Θεωρούμε το τετράγωνο με τ.μ .

Αν είναι το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου , για το οποίο είναι και

ενώ είναι η τομή της με την πλευρά τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γιώργο καλημέρα. Σκιαγραφώ μια λύση παρακάμπτοντας τις “ατίθασες” πράξεις…

: Εμβαδόν-τριγώνου-μέρος-τετραγώνου.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

Η πλευρά του ABCD

είναι γνωστή, άρα και η διαγώνιός του, οπότε από νόμο συνημιτόνων στο $\triangleleft BED$ υπολογίζουμε το $\sigma \upsilon \nu \widehat \omega$

Από τον τύπο του Ήρωνα υπολογίζουμε το (EBD)

, επομένως υπολογίζεται και το $\eta \mu \widehat \omega$

Από νόμο συνημιτόνων στο $\triangleleft BEA$ και με τη βοήθεια του τύπου $\sigma \upsilon \nu ({45^ \circ } - \omega ) = \sigma \upsilon \nu {45^ \circ } \cdot \sigma \upsilon \nu \omega + \eta \mu {45^ \circ } \cdot \eta \mu \omega$ υπολογίζεται η πλευρά AE = 4

Τώρα αρχίζουν τα εύκολα γιατί από αντίστροφο Πυθαγορείου το $\triangleleft AED$ είναι ορθογώνιο στο

Έτσι, από $\triangleleft AED \sim \triangleleft HAD \Rightarrow HA = \dfrac{{4\sqrt {65} }}{7}$ , οπότε $(DAH) = \dfrac{{130}}{7}\,\tau .\mu .$

Υ.Γ. Εικάζω πως αυτό είναι το θέμα έμπνευσης και πιστεύω πως θα υπάρχει απλούστερη λύση.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλή Κυριακή σε όλους .
Νυχτερινή σύνθεση. Η αφορμή - ως συνήθως - δόθηκε από άλλο θέμα.
Ατίθασο (;) εμβαδόν τριγώνου.PNG

Θεωρούμε το τετράγωνο με τ.μ .

Αν είναι το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου , για το οποίο είναι και

ενώ είναι η τομή της με την πλευρά τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γιώργο και Μιχάλη, Καλημέρα!

: Εμβαδόν τριγώνου- μέρος τετραγώνου.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Η πλευρά του τετραγώνου είναι $a=\sqrt{65}$ και x^2+y^2=7^2+5^2=74

. Αλλά από νόμο συνημιτόνων και επειδή $\displaystyle{cos\varphi = \sin \omega }$ , είναι:

$\boxed{{y^2} = 49 + 65 - 14\sqrt {65} \cos \omega }$ και $\boxed{{x^2} = 49 + 65 - 14\sqrt {65} \sin \omega }$ και με πρόσθεση κατά μέλη καταλήγουμε στην εξίσωση:

$\displaystyle{\cos \omega + \sin \omega = \frac{{11}}{{\sqrt {65} }}}$ . Αλλά $sin^2\omega+cos^2\omega=1$ και $\displaystyle{{45^0} < \omega < {90^0} \Leftrightarrow \sin \omega > \cos \omega }$ , απ' όπου τελικά βρίσκουμε:

$\displaystyle{\sin \omega = \frac{7}{{\sqrt {65} }},\cos \omega = \frac{4}{{\sqrt {65} }} \Rightarrow \tan \omega = \frac{7}{4} = \frac{{AD}}{{AH}} \Leftrightarrow AH = \frac{4}{7}AD}$

$\displaystyle{(DAH) = \frac{1}{2}AH \cdot AD = \frac{{2A{D^2}}}{7} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(DAH) = \frac{{130}}{7}\tau .\mu }$

Ιστοσελίδα · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλή Κυριακή σε όλους .
Νυχτερινή σύνθεση. Η αφορμή - ως συνήθως - δόθηκε από άλλο θέμα.

Θεωρούμε το τετράγωνο με τ.μ .

Αν είναι το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου , για το οποίο είναι και

ενώ είναι η τομή της με την πλευρά τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Τελικά δεν ήταν τόσο ατίθασο...Γεια σου Γιώργο (Βισβίκη)

: Εμβαδόν-τριγώνου-μέρος-τετραγώνου_2.png (30.49 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Αν

είναι το κέντρο του τετραγώνου, τότε από πρώτο θεώρημα διαμέσων στο $\triangleleft EDB:EO = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$ και από νόμο συνημιτόνων στο $\triangleleft EOD:\sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \varphi = {45^ \circ }$

Έτσι, το AEOD

είναι εγγράψιμο, συνεπώς $A\widehat ED = {90^ \circ }$ και μετά όπως το τελείωμα της πρώτης μου ανάρτησης…

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ σε όλους. Να ευχαριστήσω βεβαίως το Μιχάλη και τον Γιώργο.

Αξίζει νομίζω να κάνουμε μια προσπάθεια για να ..διαβάσουμε τον αναλυτικό τρόπο σκέψης του Μιχάλη
προκειμένου να φτάσει στην εξαιρετική τελευταία λύση του.

<< .. Αρκεί $\widehat{AED}=90^{0}$ , δηλ. το

σημείο του κύκλου διαμέτρου

..όπου βεβαίως ανήκει το

( τομή των AC,BD

) ..
αρκεί η

να φαίνεται υπό ίσες γωνίες . Έχουμε $\widehat{DAO}=45^{0}$ ,άρα να δείξουμε ότι και $\widehat{DEO}=45^{0}$ .
Στο τρίγωνο DEO

μας λείπει το μήκος της

..
Ναι !..

.. Αυτό υπολογίζεται με το Θ. διαμέσου στο BED

όπου οι πλευρές του BE,DE

δίνονται και η

ήδη βρέθηκε ! >>

Και επειδή ο Μιχάλης εικάζει σε αυτό..ευκρινώς και επιτυχώς ..
υποβάλλω την παρακάτω προσέγγιση με την βοήθεια και του σχήματος

: Όχι και τόσο ατίθασο..PNG (11.57 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Κατασκευάζω το τρίγωνο BAZ

ίσο με το

. Η

τέμνει την

στο

. Έχουμε $BD^{2}=2\left ( ABCD \right )=130$ .
Το BEK

είναι ορθογώνιο αφού $\widehat{BKE}=\widehat{DAH}=90^{0}$ .. Με τον Ν. συνημιτόνων στο BED

βρίσκουμε $\sigma \upsilon \nu \widehat{BED}=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \dfrac{KE}{BE}=\sigma \upsilon \nu \widehat{KEB}=\dfrac{3}{5}$ .
Τότε είναι KE=4..KB=3

και $KZ=7-3=4...ZE^{2}=32$ άρα AE=AZ=4

.

Οπότε $AD^{2}=65=DE^{2}+AE^{2}$ $\Rightarrow \widehat{AED}=90^{0}$ συνεπώς κατά τα γνωστά $\left ( DAH \right )=\dfrac{2}{7}\left ( ABCD \right )=\dfrac{130}{7}$ τ.μ

Φιλικά , Γιώργος.

Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου-μέρος τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση