Mix 15

erxmer · #1

Δίνεται η παραβολή y^2=12x

και τυχαίο σημείο της $A=(3t^2,6t^2)\,\,,t \in \mathbb{R}$ διαφορετικό της αρχής των αξόνων.Η εφαπτομένη της παραβολής στο

τέμνει τον άξονα yy'

στο

.Αν

η εστία της παραβολής να δείξετε οτι η

είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
Αν η

τέμνει την διευθετούσα της παραβολής στο σημείο $\Gamma$ τότε $EB=B\Gamma$ και το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές.

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραβολή και τυχαίο σημείο της $A=(3t^2,6t)\,\,,t \in \mathbb{R}$ διαφορετικό της αρχής των αξόνων.Η εφαπτομένη της παραβολής στο τέμνει τον άξονα στο .Αν η εστία της παραβολής να δείξετε οτι η είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
Αν η τέμνει την διευθετούσα της παραβολής στο σημείο $\Gamma$ τότε $EB=B\Gamma$ και το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές.

: Mix 15.png (17.34 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Η εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle{6ty = 6(x + 3{t^2}) \Leftrightarrow y = \frac{1}{t}x + 3t,t \ne 0}$ και τέμνει τον άξονα y'y

στο σημείο B(0,3t)

$\displaystyle{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BE} = (3{t^2},3t) \cdot (3, - 3t) = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{BA \bot BE}$

Η

έχει εξίσωση $\displaystyle{y = - tx + 3t}$ και τέμνει την διευθετούσα στο σημείο $\displaystyle{C( - 3,6t)}$ , απ' όπου εύκολα βρίσκουμε ότι το

είναι μέσο του EC.

sotiriszogos · #3

Αρχικά να επισημάνω ότι μάλλον έχει γίνει τυπογραφικό λάθος στην εκφώνηση και οτι το σωστό είναι να αποδείξουμε ότι $EB=B\Gamma$ .

Έχουμε την παραβολή $y^2=12\cdot x \Rightarrow y^2=2\cdot 6\cdot x \Rightarrow p=6$ .
Η εστία

έχει συντεταγμένες $E=(\frac{p}{2},0) \Rightarrow E=(3,0)$ .
Το τυχαίο σημείο $A(3\cdot t^2,6\cdot t^2)$ πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση της παραβολής οπότε $(6\cdot t^2)^2=12\cdot 3\cdot t^2 \Rightarrow 36\cdot t^4=36\cdot t^2 \Rightarrow t^2=1$ .
Οπότε A=(3,6)

.
Η εξίσωση εφαπτομένης της παραβολής είναι $yy_1=p(x-x_1) \Rightarrow 6y=6(x+3) \Rightarrow y=x+3$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_1=1$ .
Για $x=0 \Rightarrow y=0+3 \Rightarrow y=3$ .
Η εφαπτομένη της παραβολής τέμνει τον yy'

στο σημείο B=(0,3)

.
Η ευθεία που περιέχει τα σημεία

και

θα έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_2=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1} \Rightarrow \lambda_2=\frac{3-0}{0-3} \Rightarrow \lambda_2=-1$ .
Επειδή $\lambda_1\lambda_2=-1$ τότε η ευθεία που περιέχει το ευθύγραμμο τμήμα

είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
Επειδή η ευθεία που ενώνει τα E,B

πρέπει να επαλληθεύεται και απ τα δύο σημεία τότε έχουμε $y-y_0=\lambda_2(x-x_0) \Rightarrow y-0=-1(x-3) \Rightarrow (\varepsilon): y=-x+3$ .
Η διευθετούσα της παραβολής έχει εξίσωση $x=-\frac{p}{2} \Rightarrow x=-3$ .
Η ευθεία $(\varepsilon)$ τέμνει την διευθετούσα στο σημείο $x=-3 \Rightarrow y=-x+3 \Rightarrow y=6 \Rightarrow \Gamma=(-3,6)$
$EB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(0-3)^2+(3-0)^2} \Rightarrow EB=3\sqrt{2}$ .
$B\Gamma=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}=\sqrt{(-3-0)^2+(6-3)^2} \Rightarrow B\Gamma=3\sqrt{2}$ .
Άρα $EB=B\Gamma$ .
Και έχουμε $AB=\sqrt{(x_4-x_2)^2+(y_4-y_2)^2}=\sqrt{(0-3)^2+(3-6)^2} \Rightarrow B\Gamma=3\sqrt{2}$ .
Άρα $B\Gamma=AB$ οπότε $AB\Gamma$ ισοσκελές τρίγωνο.

#4

Για το τελευταίο ερώτημα που μου διέφυγε.
Τα δύο πρώτα ερωτήματα αληθεύουν για οποιοδήποτε σημείο A(3t^2, 6t)

. Αν τώρα έχουμε A(3t^2, 6t^2)

, τότε προφανώς t=1

και

. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\hat{EAC}=90^0$ κι επειδή η

είναι διάμεσος του τριγώνου AEC

, το

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.

Mix 15

Mix 15

Re: Mix 15

Re: Mix 15

Re: Mix 15

Μέλη σε σύνδεση