Ταυτοτικός αστήρ

KARKAR · #1

: Ταυτοτικός αστήρ.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 3978 φορές

Φέραμε τις διχοτόμους

και

του ορθογωνίου τριγώνου OAB , (OA>OB)

. Οι ημιευθείες

και

τέμνονται στο

. Δείξτε ότι το

είναι σημείο της διχοτόμου του

ου τεταρτημορίου .

#2

KARKAR έγραψε:Ταυτοτικός αστήρ.pngΦέραμε τις διχοτόμους και του ορθογωνίου τριγώνου . Οι ημιευθείες

και τέμνονται στο . Δείξτε ότι το είναι σημείο της διχοτόμου του ου τεταρτημορίου .

Καλησπέρα . Το είδαμε και στην "αξιόλογη καθετότητα"

Ας είναι

η Τρίτη διχοτόμος του $\vartriangle OAB$ .

Στο $\vartriangle OAB$ με τέμνουσα την ευθεία $\overline {DCS}$ και Θ. Μενελάου έχουμε:

$\dfrac{{OD}}{{DA}} \cdot \dfrac{{AS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CO}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(1)$ . Αλλά λόγω του Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $\vartriangle OAB$ , ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{OD}}{{DA}} = \frac{{OB}}{{AB}} \hfill \\ \frac{{BC}}{{CO}} = \frac{{AB}}{{AO}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,(2)$ , οπότε η $\,\,(1)$ γίνεται:

: Ταυτοτικός αστήρ.png (22.49 KiB) Προβλήθηκε 3959 φορές

$\boxed{\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{AO}}{{OB}} = \frac{{EA}}{{EB}}}$ δηλαδή τα σημεία A,B

είναι αρμονικά συζυγή των E,S

και άρα η

είναι εξωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο $\vartriangle OAB$ .

Η πρόταση , νομίζω, επεκτείνεται σε τυχαίο τρίγωνο .

Φιλικά Νίκος

Ταυτοτικός αστήρ

Ταυτοτικός αστήρ

Re: Ταυτοτικός αστήρ

Μέλη σε σύνδεση