Καθετότητα από επαφή

[george visvikis]

Καθετότητα από επαφή.png (14.51 KiB) Προβλήθηκε 4666 φορές

Από σημείο εκτός κύκλου κέντρου , φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και από τυχαίο σημείο του τόξου μία τρίτη

εφαπτομένη που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Αν είναι το μέσο της και η τέμνει την στο , να

δείξετε ότι η είναι κάθετη στην

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Καθετότητα από επαφή.png
Από σημείο εκτός κύκλου κέντρου , φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και από τυχαίο σημείο του τόξου μία τρίτη

εφαπτομένη που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Αν είναι το μέσο της και η τέμνει την στο , να

δείξετε ότι η είναι κάθετη στην

Πολύ όμορφο Γιώργο . Θα το αφήσω δύο μέρες ακόμη να το δοκιμάσουν και άλλοι (νομίζω έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον!) και θα επανέλθω το Σαββατοκύριακο

Στάθης

[simantiris j.]

Καλησπέρα κύριε Στάθη και κύριε Γιώργο!Μια προσέγγιση για αυτό το ωραίο πρόβλημα.
Για λόγους που θα γίνουν αντιληπτοί παρακάτω αλλάζω κάπως το σχήμα.

mathematica.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 4508 φορές

Προφανώς ο είναι ο -παρεγγεγραμμένος κύκλος του και το αντίστοιχο παράκεντρο.Όπως στο σχήμα θεωρούμε τον έγκυκλο του που εφάπτεται των στα αντίστοιχα.Ορίζουμε επίσης το ως την τομή των και θα δείξουμε ότι συνευθειακά.
Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου που στέλνει τον παρεγγεγραμμένο στον έγκυκλο.Έστω το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής του έγκυκλου με τη .Τότε η εφαπτομένη του έγκυκλου στο είναι παράλληλη στη οπότε θα πηγαίνει στη
άρα η ομοιοθεσία που είπαμε στέλνει τελικά το στο άρα συνευθειακά.
Άρα η πάει (μέσω της ομοιοθεσίας) στην και επειδή (προφανώς) η πάει στην το όπως το ορίσαμε θα πηγαίνει στην τομή της με την ,έστω .
Από γνωστό λήμμα όμως τα είναι συνευθειακά οπότε λόγω και της ομοιοθεσίας τα ανήκουν στην ίδια ευθεία,το ζητούμενο.

[vittasko]

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι η ευθεία , όπου με και , περνάει από το μέσον του τμήματος .

Στο αμέσως προηγούμενο σχήμα του Γιάννη, έστω , τα σημεία τομής των ευθειών αντιστοίχως, από την δια του σημείου , εφαπτομένη του κύκλου , όπου είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του .

Στο περιγεγραμμένο τετράπλευρο τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton (a) , έχουμε ότι οι διαγώνιές του περνάνε από το σημείο .

Έτσι, στο ως τραπέζιο, η ευθεία που συνδέει το σημείο ( = τομής των μη παραλλήλων πλευρών του ), με το σημείο ( = τομής των διαγωνίων του ), περνάει από τα μέσα των βάσεών του αντιστοίχως και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[Doloros]

Πολύ ωραίες και οι δύο πιο πάνω λύσεις . Του νεαρού και φέρελπι Γιάννη και του αγαπητού φίλου μου Κώστα .

Φιλικά Νίκος