Γεωμετρικός τόπος 2

pito · #1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

του επιπέδου για τα οποία ισχύει $|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=|2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}|$ .

Ευχαριστώ

Μαρία Σαμπάνη · #2

Αν $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ ισχύει οτι $\displaystyle{\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} }$ . Αυτό προκύπτει γιατί αν $\displaystyle{K}$ μέσο του $\displaystyle{BC}$ ΄, τότε έχουμε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GK} \Rightarrow \overrightarrow {MG} - \overrightarrow {MA} = 2(\overrightarrow {MK} - \overrightarrow {MG} ) \Rightarrow \overrightarrow {MG} - \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MK} - 2\overrightarrow {MG} \\ 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MK} \Rightarrow 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \end{array}}$ , αφού η $\displaystyle{MK}$ είναι διάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{MBC}$ .
Έτσι η αρχική σχέση γίνεται : $\displaystyle{|3\overrightarrow {MG} | = |2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} |}$ ή $\displaystyle{|3\overrightarrow {MG} | = |2\overrightarrow {MA} - (\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} )|}$
$\displaystyle{|3\overrightarrow {MG} | = |2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MK} |}$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow }} $\displaystyle{|3\overrightarrow {MG} | = |2\overrightarrow {KA} |}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow }} $\displaystyle{|\overrightarrow {MG} | = \frac{2}{3}|\overrightarrow {KA} |}$ .
Από την τελευταία σχέση συμπαιρένουμε οτι ο γ.τ. είναι ο κύκλος με κέντρο $\displaystyle{G}$ και ακτίνα $\displaystyle{r = \frac{2}{3}|\overrightarrow {KA} |}$

#3

pito έγραψε:Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει $|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=|2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}|$ .

Ευχαριστώ

Θεωρούμε ότι τα σημεία A,B,C

είναι σταθερά και ορίζουν εν γένει τρίγωνο.

Για κάθε

σημείο του γ. τ. έχουμε :

$|\overrightarrow {MA} + \,\overrightarrow {MB} \, + \overrightarrow {MC} | = |2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} | \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MA} + \,\overrightarrow {AB} \, + \overrightarrow {AC} | = |2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {(MB} + \overrightarrow {MC} )|$

: Pito_GT2.png (18.37 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Με $O\,\,,G$ το σταθερό μέσο του

και το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ η προηγούμενη σχέση γράφεται διαδοχικά:

$|3\overrightarrow {MA} \, + 2\overrightarrow {AO} | = 2|\overrightarrow {MA} \, - \overrightarrow {MO} |\,\,\,\,\,\,$ ή

$|\overrightarrow {MA} \, + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AO} | = \dfrac{2}{3}|\overrightarrow {OA} | \Leftrightarrow \boxed{|\overrightarrow {MG} | = \,\frac{2}{3}|\overrightarrow {OA} |\,\,\,\,\,\,}$

Δηλαδή το

διαγράφει τον κύκλο : (G,GA)

.

Φιλικά Νίκος

pito · #4

Καλημέρα!
Ευχαριστώ και τους δύο για την ενασχόληση!

Γεωμετρικός τόπος 2

Γεωμετρικός τόπος 2

Re: Γεωμετρικός τόπος 2

Re: Γεωμετρικός τόπος 2

Re: Γεωμετρικός τόπος 2

Μέλη σε σύνδεση