Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

dement · #1

Καλημέρα, ένα θέμα από τις περσινές εισαγωγικές μας.

Η εσωτερική επιφάνεια ενός δωματίου αποτελείται από

τοίχους, ένα ταβάνι και ένα πάτωμα. Μία μύγα μέσα στο δωμάτιο ακολουθεί τους εξής κανόνες:

1. Αν απογειωθεί από το ταβάνι ή το πάτωμα, έχει πιθανότητα 1/5

να επιστρέψει στην επιφάνεια από όπου απογειώθηκε και 1/5

να προσγειωθεί σε κάθε έναν από τους

τοίχους.
2. Αν απογειωθεί από έναν τοίχο, έχει 1/5

πιθανότητα να προσγειωθεί στο ταβάνι, στο πάτωμα και σε κάθε έναν από τους υπόλοιπους

τοίχους.

Αρχικά η μύγα είναι στο ταβάνι. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρίσκεται στο πάτωμα μετά από

κινήσεις.

#2

Καλησπέρα Δημήτρη.

Αν είναι δώσε μας και λίγες περισσότερες πληροφορίες για τις εξετάσεις. (Ποιος τις διοργανώνει, ποιοι παρακάθονται κ.τ.λ.)

Για την άσκηση τώρα ορίζω a_n,b_n,c_n

τις πιθανότητες μετά από

κινήσεις η μύγα να βρίσκεται στο ταβάνι, σε κάποιο από τους τοίχους, στο πάτωμα αντίστοιχα.

Έχουμε τις εξής εξισώσεις:

$\displaystyle{a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{5}}$
$\displaystyle{b_{n+1} = \frac{4a_n+3b_n+4c_n}{5}}$
$\displaystyle{c_{n+1} = \frac{b_n+c_n}{5}}$

Από την συμμετρία του προβλήματος βολεύει να ορίσουμε

x_n = 5^n(a_n - c_n)

και

Είναι $x_{n+1} = x_n$ και επειδή x_0 = 1

παίρνουμε

για κάθε

.

Επίσης είναι

$\displaystyle{ y_{n+1} = y_n + 2b_n$ και $\displaystyle{ b_{n+1} = 4y_n + 3b_n}$

Άρα

$\displaystyle{ y_{n+2} = y_{n+1} + 2b_{n+1} = y_{n+1} + 8y_n + 6b_n = y_{n+1} + 8y_n + 3(y_{n+1} - y_n) = 4y_{n+1} + 5y_n}$

Από γνωστή θεωρία έχουμε $\displaystyle{ y_n = A\cdot 5^n + B(-1)^n }$ για κάποιες σταθερές A,B

.

Επειδή y_0 = y_1 = 1

(απλός έλεγχος) παίρνουμε A+B= 5A-B = 1

και λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε στο

$\displaystyle{ y_n = \frac{5^n + 2(-1)^n}{3}}$

Επειδή $\displaystyle{ c_n = \frac{y_n - x_n}{2 \cdot 5^n}}$ καταλήγουμε στο

$\displaystyle{ c_n = \frac{5^n + 2(-1)^n - 3}{6 \cdot 5^n}}$

dement · #3

Πολύ ωραία, Δημήτρη. Η δική μου λύση προβλέπει εύρεση ιδιοτιμών $1, \pm 1/5$ στον πίνακα $3 \times 3$ και στη συνέχεια υπολογισμό των σταθερών στην παράσταση P(k) = A + B (1/5)^k + C (-1/5)^k

.

Οι εξετάσεις αυτές είναι για την εισαγωγή στην Scuola Normale Superiore της Πίζας μαθητών που μόλις τελείωσαν το σχολείο. Η SNS είναι ένα από τα πιο απαιτητικά πανεπιστήμια της Ιταλίας και μαθητές από όλη την Ιταλία διαγωνίζονται. Οι φοιτητές είναι αυστηρά περιορισμένοι στον αριθμό (φέτος, π.χ., προκηρύχθηκαν 62 θέσεις για πρώτο έτος, θετικές και ανθρωπιστικές επιστήμες). Το ισχυρό σημείο της είναι αναμφισβήτητα τα μαθηματικά, με γνωστούς "normalisti" τους Dini και Tonelli.

#4

Άλλη μια απορία.

Αυτά διδάσκονται στα σχολεία, ή οι υποψήφιοι πρέπει να είναι ψαγμένοι από μόνοι τους

nickthegreek · #5

H δική μου άποψη είναι πως είναι λίγο τσιμπημένο σαν θέμα για εισαγωγικές σε πανεπιστήμιο. Αυτό που έχουμε στα χέρια μας είναι μια αλυσίδα Markov, για τις οποίες γίνεται μάθημα μετά το πρώτο έτος στα περισσότερα πανεπιστήμια που γνωρίζω.

Παρ' όλο βέβαια που όντως το θεωρώ δύσκολο σαν θέμα, είναι απόλυτα δίκαιο να τεθεί αν έχουν συζητηθεί οι σχετικές τεχνικές επίλυσης στα σχολεία από πριν. Ενδιαφέρον θα ήταν να έχουμε ένα σύνδεσμο με παλιά θέματα των εξετάσεων αυτών!

Φιλικά,
Νίκος

dement · #6

Η συγκεκριμένη άσκηση είχε δοθεί με υπόδειξη (ότι από τον αναδρομικό τύπο μπορούμε να πάμε σε εκθετικό) την οποία σκοπίμως παρέλειψα. Πάντως σίγουρα οι μαθητές δεν μπορούν να βασίζονται μόνο στις σχολικές γνώσεις (συνήθως πρόκειται για "βετεράνους" των ολυμπιάδων).

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

Μέλη σε σύνδεση