Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη

1. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμητής αυξάνεται κατά 1 και ο παρονομαστής κατά 10. Μπορεί με αυτή την διαδικασία το κλάσμα να γίνει μεγαλύτερο; Αν ναι, τότε πόσα ανάγωγα τέτοια κλάσματα υπάρχουν με παρονομαστή ίσο με 2016;

2. Βυτίο με λεμονάδα διέρχεται με την σειρά από τις πόλεις Ν,M και Τ της Λεμονοχώρας. Οι «νάνοι» κάτοικοι της πόλη Ν παράνομα παρακρατούν το 10% της λεμονάδας, οι «μικρούτσικοι» κάτοικοι της πόλης Μ το 20% και οι «τσεμπουρασκoi» 30% της λεμονάδας αντίστοιχα. Σε τι ποσοστό πρέπει να αυξηθεί η παραγωγή της λεμονάδας ώστε να μην εμφανιστεί έλλειψη στη Λεμονοχώρα (η παραγωγή προορίζεται μόνο για εξαγωγές στην Λεμονοχώρα);

3. Το ρολόι χτύπησε μεσάνυχτα. Τι γωνία σχηματίζουν οι ωροδείκτες με τους λεπτοδείκτες μετά από 2016 λεπτά;

4. Για ποια

υπάρχουν ακριβώς 2016 διαστήματα, τα άκρα των οποίων βρίσκονται στα σημεία που αντιστοιχούν σε φυσικούς του διαστήματος [0,n]

του άξονα των αριθμών;

5. Η αγελάδα και το άλογο τρώνε μια μπάλα άχυρο σε δυο μέρες. Το άλογο και το πρόβατο τρώνε την ίδια μπάλα άχυρο σε τρεις μέρες. Η αγελάδα και το πρόβατο σε 4 μέρες. Πόσες μπάλες άχυρο χρειάζονται την μέρα για ένα στάβλο με 20 αγελάδες, 16 πρόβατα και 4 άλογα;

6. Ο σταυρός του σχήματος αποτελείται από πέντε ίσα τετράγωνα. Να τον κόψετε σέ τέτοια κομμάτια ώστε να μπορούμε από αυτά να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο (τα κομμάτια δεν πρέπει να αφήνουν κενά και να μην επικαλύπτονται).

: samara_2016_6class_p6.png (3.26 KiB) Προβλήθηκε 3145 φορές

7. Να αποκρυπτογραφήσετε την εξίσωση

$\epsilon \phi \times \epsilon \phi = \sigma \epsilon \phi$

τα γράμματα αντιστοιχούν σε ψηφία.

8. Σε διαγωνισμό γνώσεων τέθηκαν μερικές εύκολες, μεσαίες και δύσκολες ερωτήσεις. Για την σωστή απάντηση σε εύκολη ερώτηση ο διαγωνιζόμενος παίρνει 4 βαθμούς, για μεσαίας δυσκολίας 5 βαθμούς και για δύσκολη 6 βαθμούς. Για λανθασμένη απάντηση σε εύκολη ερώτηση του αφαιρούνται 2 βαθμοί, σε μεσαίας δυσκολίας ερώτηση 1 βαθμός και για λανθασμένη απάντηση σε δύσκολη ερώτηση δεν αφαιρούνται βαθμοί. Ο Πέτρος απάντησε σωστά σε 10 ερωτήσεις στο διαγωνισμό και πήρε 30 βαθμούς λιγότερους από το μέγιστο αριθμό βαθμών που μπορούσε να πάρει. Πόσες ερωτήσεις τέθηκαν στο διαγωνισμό;

9. Μπορούμε στον αριθμό 999 να κολλήσουμε από δεξιά τέσσερα ψηφία ώστε ο εφταψήφιος αριθμός που θα προκύψει να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού;

10. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κομματιών που μπορούμε να κόψουμε μια κυκλική τούρτα ώστε να μπορούμε να την μοιράσουμε εξ ίσου στα τρία , στα τέσσερα και στα πέντε;

Υγ1. Διάρκεια διαγωνισμού 240 λεπτά.
Υγ2. Τα ονόματα σε εισαγωγικά στο δεύτερο πρόβλημα αντιστοιχούν σε χαρακτήρες βιβλίων, κινουμένων σχεδίων (π.χ.τσεμπουράσκα)

Ορέστης Λιγνός · #2

Ή το 10 ήταν πολύ εύκολο, ή εγώ χρειάζομαι καινούρια γυαλιά

...

Προφανώς πρόκειται για το Ε.Κ.Π των 3,4

και

δηλαδή το

.

vasisot · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη

3. Το ρολόι χτύπησε μεσάνυχτα. Τι γωνία σχηματίζουν οι ωροδείκτες με τους λεπτοδείκτες μετά από 2016 λεπτά;

Καλημέρα !

Ο λεπτοδείκτης σε

λεπτά διαγράφει γωνία 360^0

, οπότε σε 2016

λεπτά θα διαγράψει $\dfrac{360^0}{60}\cdot 2016 =12096^0 =33\cdot 360^0 +216^0$ ( τριγωνομετρική γωνία ).

Ο ωροδείκτης σε

ώρες, δηλαδή σε $12\cdot 60 =720$ λεπτά διαγράφει γωνία 360^0

, οπότε σε 2016

λεπτά θα διαγράψει $\dfrac{360^0}{720}\cdot 2016 =1008^0 =2\cdot 360^0 +288^0$ .

Επομένως ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης 2016

λεπτά μετά τα μεσάνυχτα, θα σχηματίζουν ( γεωμετρική) γωνία 288^0-216^0=72^0

.

Λάμπρος Μπαλός · #4

Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Να αποκρυπτογραφήσετε την εξίσωση

$\epsilon \phi \times \epsilon \phi = \sigma \epsilon \phi$

τα γράμματα αντιστοιχούν σε ψηφία.

$25 \cdot 25 = 625$

vasisot · #5

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη

5. Η αγελάδα και το άλογο τρώνε μια μπάλα άχυρο σε δυο μέρες. Το άλογο και το πρόβατο τρώνε την ίδια μπάλα άχυρο σε τρεις μέρες. Η αγελάδα και το πρόβατο σε 4 μέρες. Πόσες μπάλες άχυρο χρειάζονται την μέρα για ένα στάβλο με 20 αγελάδες, 16 πρόβατα και 4 άλογα;

Σε μία μέρα :

αγελάδα και άλογο τρώνε το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ της μπάλας,

άλογο και πρόβατο τρώνε το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ της μπάλας,

αγελάδα και πρόβατο τρώνε το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ της μπάλας,

επομένως $\displaystyle{2}$ αγελάδες και $\displaystyle{2}$ άλογα και $\displaystyle{2}$ πρόβατα τρώνε το $\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{13}{12}}$ της μπάλας,

άρα $\displaystyle{1}$ αγελάδα και $\displaystyle{1}$ άλογο και $\displaystyle{1}$ πρόβατο τρώνε το $\displaystyle{\frac{13}{12}: 2= \frac{13}{24}}$ της μπάλας.

Τελικά σε μία μέρα

το πρόβατο τρώει $\displaystyle{ \frac{13}{24}- \frac{1}{2}=\frac{1}{24}}$ της μπάλας,

η αγελάδα τρώει $\displaystyle{ \frac{13}{24}- \frac{1}{3}=\frac{5}{24}}$ της μπάλας,

το άλογο τρώει $\displaystyle{ \frac{13}{24}- \frac{1}{4}= \frac{7}{24}}$ της μπάλας,

άρα για $\displaystyle{20}$ αγελάδες, $\displaystyle{16}$ πρόβατα και $\displaystyle{4}$ άλογα, χρειάζονται την μέρα

$\displaystyle{20\cdot\frac{5}{24}+16\cdot\frac{1}{24}+4\cdot\frac{7}{24}= (100+16+28)\cdot\frac{1}{24}=6}$ μπάλες άχυρο.

#6

vasisot έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη

5. Η αγελάδα και το άλογο τρώνε μια μπάλα άχυρο σε δυο μέρες. Το άλογο και το πρόβατο τρώνε την ίδια μπάλα άχυρο σε τρεις μέρες. Η αγελάδα και το πρόβατο σε 4 μέρες. Πόσες μπάλες άχυρο χρειάζονται την μέρα για ένα στάβλο με 20 αγελάδες, 16 πρόβατα και 4 άλογα;
Από τα δεδομένα έχουμε :

$\displaystyle{2}$ αγελάδες, $\displaystyle{2}$ άλογα και $\displaystyle{2}$ πρόβατα τρώνε μια μπάλα άχυρο σε $\displaystyle{2+3+4=9}$ μέρες

Ήδη ξεκινάς λάθος. Όλα αυτά τα ζώα σε

μέρες θα φάνε πολύ περισσότερες μπάλες. Ήδη μόνο η αγελάδα με το άλογο (λιγότερα ζώα) την μια μπάλα θα την φάνε σε

μέρες. Πόσω μάλλον σε

μέρες και με περισσότερα ζώα.

#7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Να αποκρυπτογραφήσετε την εξίσωση

$\epsilon \phi \times \epsilon \phi = \sigma \epsilon \phi$

τα γράμματα αντιστοιχούν σε ψηφία.

$25 \cdot 25 = 625$

Είναι όμως μοναδική λύση; [Ναι αλλά θέλει απόδειξη.]

nikkru · #8

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη
6. Ο σταυρός του σχήματος αποτελείται από πέντε ίσα τετράγωνα. Να τον κόψετε σέ τέτοια κομμάτια ώστε να μπορούμε από αυτά να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο (τα κομμάτια δεν πρέπει να αφήνουν κενά και να μην επικαλύπτονται).

: MOS2016_6.png (4.32 KiB) Προβλήθηκε 2902 φορές

Λάμπρος Μπαλός · #9

Demetres έγραψε:
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Να αποκρυπτογραφήσετε την εξίσωση

$\epsilon \phi \times \epsilon \phi = \sigma \epsilon \phi$

τα γράμματα αντιστοιχούν σε ψηφία.

$25 \cdot 25 = 625$
Είναι όμως μοναδική λύση; [Ναι αλλά θέλει απόδειξη.]

Ναι πράγματι και δεν είναι δύσκολο.
Το τελευταίο ψηφίο παραμένει αναλλοίωτο, επομένως θα είναι

ή

Από το πλήθος

των ψηφίων του αποτελέσματος συμπεραίνω ότι οι πιθανοί αριθμοί είναι

10,20,30,11,21,31,16,26,15,25

εκ των οποίων μόνο ο

ταιριάζει στην κρυπτο-εξίσωση.

nikkru · #10

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη
9. Μπορούμε στον αριθμό 999 να κολλήσουμε από δεξιά τέσσερα ψηφία ώστε ο εφταψήφιος αριθμός που θα προκύψει να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού;

Ζητάμε φυσικό

με $9990000<n<10000000=10 \cdot 10^6$ ώστε ο

να είναι τετράγωνο φυσικού.
Αφού $\sqrt{10}\approx 3,1623$ , θα είναι $\sqrt{n}<3162,3$ .
Δοκιμάζοντας φυσικούς μικρότερους, δεκτοί είναι μόνο οι 3162

και

.
Οπότε οι τετραψήφιοι που ζητάμε είναι οι 8244

και

αφού:

και

.

Al.Koutsouridis · #11

orestis26 έγραψε:Ή το 10 ήταν πολύ εύκολο, ή εγώ χρειάζομαι καινούρια γυαλιά ...

Προφανώς πρόκειται για το Ε.Κ.Π των και δηλαδή το .

Ύπουλο πρόβλημα, υπάρχει τρόπος και με λιγότερα κομμάτια.

nikkru · #12

Al.Koutsouridis έγραψε:
orestis26 έγραψε:Ή το 10 ήταν πολύ εύκολο, ή εγώ χρειάζομαι καινούρια γυαλιά ...

Προφανώς πρόκειται για το Ε.Κ.Π των και δηλαδή το .
Ύπουλο πρόβλημα, υπάρχει τρόπος και με λιγότερα κομμάτια.

Μια λύση με

κομμάτια. ( Δεν ξέρω αν είναι η βέλτιστη ή η μοναδική)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

vasisot · #13

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 για την 6η τάξη

1. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμητής αυξάνεται κατά 1 και ο παρονομαστής κατά 10. Μπορεί με αυτή την διαδικασία το κλάσμα να γίνει μεγαλύτερο; Αν ναι, τότε πόσα ανάγωγα τέτοια κλάσματα υπάρχουν με παρονομαστή ίσο με 2016;

Έστω $\displaystyle{\frac{a}{b} }$ ένα κλάσμα με $\displaystyle{a,b \in \{1,2,3,\cdots\} }$ ( το $\displaystyle{0}$ δεν θεωρείται φυσικός). Τότε $\displaystyle{\frac{a+1}{b+10} >\frac{a}{b} \Leftrightarrow \frac{a}{b} <\frac{1}{10}}$ .

Για την περίπτωση $\displaystyle{b=2016}$ θα πρέπει $\displaystyle{ \frac{a}{2016} <\frac{1}{10} \Leftrightarrow a\leq201 \Leftrightarrow a \in {\{1, 2 , \cdots, 201\} }$ .

Από αυτούς τους $\displaystyle{201}$ φυσικούς πρέπει να εξαιρεθούν όσοι έχουν κοινό παράγοντα με το $\displaystyle{2016=2^5\cdot 3^2\cdot7 }$ , δηλαδή

τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{2}$ , $\displaystyle{ \{2, 4 , \cdots , 200\}}$ τα οποία είναι $\displaystyle{100}$ ,

τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ , $\displaystyle{\{3, 6 , \cdots , 201\}}$ , εκτός των πολλαπλασίων του $\displaystyle{6}$ , $\displaystyle{ \{6, 12 , .. , 198\} }$ τα οποία είναι $\displaystyle{67-33=34}$ και

τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{7}$ , $\displaystyle{ \{7, 14 , \cdots , 196\}}$ , εκτός των πολλαπλασίων του $\displaystyle{2}$ και του $\displaystyle{3}$ αλλά συν τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{6}$ τα οποία είναι $\displaystyle{28-14-9+4=9}$ .

Άρα τα ζητούμενα κλάσματα είναι $\displaystyle{201- 100-34-9 = 58 }$ .

Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Σαμάρας 2016 (6η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση