Short ακριβείς ακολουθίες

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Έδειξα ότι αν $0\rightarrow A\rightarrow B\overset{f}{\rightarrow} C\rightarrow 0$ και $0\rightarrow C\overset{g}{\rightarrow} D\rightarrow E\rightarrow 0$ είναι ακριβείς ακολουθίες από

-modules τότε και η $0\rightarrow A\rightarrow B\overset{gf}{\rightarrow}D\rightarrow E\rightarrow 0$ είναι ακριβής.

Θέλω να δείξω ότι κάθε ακριβής ακολουθία μπορεί να προκύψει από short ακριβείς ακολουθίες όπως παραπάνω.

Μπορείτε να μου δώσετε μία ιδέα πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό;

#2

Έχεις ως δεδομένη την ακριβή ακολουθία $0\rightarrow A\overset{\alpha}{\rightarrow} B\overset{k}{\rightarrow}D\overset{\delta}{\rightarrow} E\rightarrow 0$ .

Ψάχνεις να βρεις

και συναρτήσεις $f:B \to C$ και $g:C \to D$ ώστε

- Η

είναι επί.
- Η

είναι 1-1
- $g \circ f = k$

Γνωρίζεις επίσης ότι οι $k\circ \alpha (a) = 0_D$ για κάθε $a\in A$ και $\delta \circ k(b) = 0_E$ για κάθε $b \in B$ .

Ουσιαστικά μια επιλογή έχεις για το

.

Επεξεργασία: Διόρθωση σφάλματος. (Δείτε τις επόμενες δύο αναρτήσεις.)

Ειρήνη 33 · #3

Demetres έγραψε:Γνωρίζεις επίσης ότι $k\circ \alpha = \mathrm{id}_A$ και $\delta \circ k = \mathrm{id}_B$ .

Γιατί ισχύουν αυτές οι δύο σχέσεις;

#4

Ειρήνη 33 έγραψε:
Demetres έγραψε:Γνωρίζεις επίσης ότι $k\circ \alpha = \mathrm{id}_A$ και $\delta \circ k = \mathrm{id}_B$ .

Γιατί ισχύουν αυτές οι δύο σχέσεις;

Συγνώμη. Από τον ορισμό των short exact sequences οι δυο συναρτήσεις είναι μηδενικές. Κατά λάθος έγραψα ταυτοτικές.

Ειρήνη 33 · #5

Demetres έγραψε:
Ειρήνη 33 έγραψε:
Demetres έγραψε:Γνωρίζεις επίσης ότι $k\circ \alpha = \mathrm{id}_A$ και $\delta \circ k = \mathrm{id}_B$ .

Γιατί ισχύουν αυτές οι δύο σχέσεις;
Συγνώμη. Από τον ορισμό των short exact sequences οι δυο συναρτήσεις είναι μηδενικές. Κατά λάθος έγραψα ταυτοτικές.

Έχουμε την ακριβή ακολουθία $0\rightarrow A\overset{\alpha}{\rightarrow} B\overset{k}{\rightarrow}D\overset{\delta}{\rightarrow} E\rightarrow 0$ .
Από τον ορισμό έχουμε ότι
$\text{Im}(0\rightarrow A)= \ker \alpha \Rightarrow \alpha$ 1-1
$\text{Im}\alpha=\ker k$
$\text{Im}k= \ker \delta$
$\text{Im}\delta =\ker (E\rightarrow 0)\Rightarrow \delta$ επί

σωστά;

Πώς προκύπτει ότι $k\circ \alpha (a) = 0_D$ για κάθε $a\in A$ και $\delta \circ k(b) = 0_E$ για κάθε $b \in B$ ;

#6

Ειρήνη 33 έγραψε: Πώς προκύπτει ότι $k\circ \alpha (a) = 0_D$ για κάθε $a\in A$ και $\delta \circ k(b) = 0_E$ για κάθε $b \in B$ ;

Είναι άμεσο από δεδομένα που έχεις ήδη γράψει στην ίδια ανάρτηση.

Ειρήνη 33 · #7

Demetres έγραψε:
Ειρήνη 33 έγραψε: Πώς προκύπτει ότι $k\circ \alpha (a) = 0_D$ για κάθε $a\in A$ και $\delta \circ k(b) = 0_E$ για κάθε $b \in B$ ;
Είναι άμεσο από δεδομένα που έχεις ήδη γράψει στην ίδια ανάρτηση.

Έχουμε ότι $\alpha (a)\in \text{Im}\alpha=\ker k\Rightarrow k(\alpha (a))=0_D$ και ανάλογα για την δεύτερη σχέση, σωστά;

#8

Ασφαλώς. Πρέπει να αρχίσεις να νιώθεις πιο σίγουρη με τον εαυτό σου για τέτοιου είδους απαντήσεις.

Ειρήνη 33 · #9

Πώς βρίσκουμε το

; Δεν έχω κάποια ιδέα...

Ειρήνη 33 · #10

Μήπως παίρνουμε $C=\ker \delta=\text{Im}k$ ;

#11

Πρέπει επίσης να πεις ποιες θα είναι οι συναρτήσεις f,g

.

Με την επιλογή $C = \mathrm{Im}(k) = \mathrm{ker}(\delta)$ υπάρχουν μια λογική επιλογή για τα f,g

αλλά αν ελέγξεις θα δεις πως δεν δουλεύει.

$\rule{400pt}{1pt}$

Στις σημειώσεις του μαθήματος κάπου πρέπει να έχετε ένα σχόλιο που να λέει κάτι του στιλ «Κάθε short exact sequence είναι ουσιαστικά «αυτής» της μορφής» ή «Το short exact sequence είναι ένας άλλος τρόπος για να πούμε αυτό» ή κάτι παρόμοιο.

Ειρήνη 33 · #12

Πώς βρίσκουμε τις συναρτήσεις; Κόλλησα τώρα. Παίρνουμε συνθέσεις των άλλων συναρτήσεων;

Short ακριβείς ακολουθίες

Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Re: Short ακριβείς ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση