Πού θα πάει, θα σε βρω!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω οι θετικοί x,y,z

Αν ισχύει $\displaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$ , να αποδειχθεί ότι $xyz \geq 8$ .

edit : διόρθωση αντί $x,y,z\geq8$ , το σωστό είναι $xyz\geq8$ .

G.Bas · #2

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί Αν ισχύει $\dislaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$ , να αποδειχθεί ότι $x,y,z \geq 8$ .

Εν συντομια επειδη γραφω απο κινητο.

Η υποθεση ισοδυναμα γραφεται

$\displaystyle{\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}.}$

Αλλα απο την Ανισοτητα AM-GM εχουμε

$\displaystyle{\frac{x}{x+1}=\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 2\frac{1}{\sqrt{(y+1)(z+1)}}.}$

Ομοιως παιρνουμε

$\displaystyle{\frac{y}{y+1}\geq 2\frac{1}{\sqrt{(z+1)(x+1)}}}$

Και

$\displaystyle{\frac{z}{z+1}\geq 2\frac{1}{\sqrt{x+1)(y+1)}}.}$

Με πολλαπλασιασμο κατα μελη εχουμε τη ζητουμενη.

#3

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί Αν ισχύει $\dislaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$ , να αποδειχθεί ότι $x,y,z \geq 8$ .

Κάτι δεν πάει καλά καθώς τα $x=1, \, y=2, \, z=5$ ικανοποιούν την υπόθεση αλλά όχι το συμπέρασμα.

G.Bas · #4

Κ. Λαμπρου λογικα θα υπηρξε τυπογραφικο, αφου οπως υποδειξατε και εσεις με αυτη την υποθεση δεν μπορει ο καθενας απο τους $\displaystyle{x,y,z}$ να'ναι μεγαλυτερος του

. Απο την αλλη μπορει το γινομενο τους οπως αποδεικνυω πιο πανω.

Ορέστης Λιγνός · #5

Όπως λέει ο G. Bas , το ζητούμενο είναι ότι $abc\geq8$

#6

G.Bas έγραψε:Κ. Λαμπρου λογικα θα υπηρξε τυπογραφικο, αφου οπως υποδειξατε και εσεις με αυτη την υποθεση δεν μπορει ο καθενας απο τους $\displaystyle{x,y,z}$ να'ναι μεγαλυτερος του . Απο την αλλη μπορει το γινομενο τους οπως αποδεικνυω πιο πανω.

Γιώργο, ορθότατα.

Τα δύο μηνύματα (η λύση σου και το σχόλιό μου) εστάλησαν ταυτόχρονα, οπότε δεν είχα δει την διαπραγμάτευσή σου.

Ας κάνει ο orestis26 διόρθωση στην αρχική εκφώνηση (αλλά να το δηλώσει με σαφήνεια για να καταλάβουν "τι τρέχει" όσοι
διαβάσουν αργότερα τα ποστ).

Ορέστης Λιγνός · #7

Κύριε Λάμπρου η άσκηση διορθώθηκε με σαφήνεια όπως επιθυμείτε.

Με συγχωρείτε πάντως για το λάθος.

Ζητώ συγγνώμη για όσους μπέρδεψα.

Φιλικά,
Ορέστης.

#8

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί Αν ισχύει $\dislaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$ , να αποδειχθεί ότι $xyz \geq 8$ .

Μετά την διόρθωση ας δούμε και άλλη λύση:

Η αρχική, αφού διώξουμε τους παρονομαστές, γράφεται $\displaystyle { xyz=x+y+z+2$ . Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle { xyz=x+y+z+2 \ge 4 \sqrt [4]{2xyz}$ . Υψώνονας στην τετράρτη, $\displaystyle { (xyz)^4\ge 2^9xyz$ από όπου το ζητούμενο.

#9

Ή και ελαφρώς διαφορετικά.

Λόγω της συνθήκης, υπάρχουν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ ώστε

$\displaystyle{x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c},}$ (γιατί;)

οπότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.}$

Αυτή είναι συνέπεια της $\displaystyle{m+n\geq 2\sqrt{mn}.}$

Πού θα πάει, θα σε βρω!

Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Re: Πού θα πάει, θα σε βρω!

Μέλη σε σύνδεση