Κωνικές Τομές

Ασλανίδης · #1

Κωνικές Τομές
Έχω την Εξίσωση: x^2-xy+x-y+1=0

Στο Geogebra φαίνεται υπερβολή με ασύμπτωτους y=x

και

που τέμνονται στο K(-1,-1)

με διχοτόμους $y=(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}$ και $y=(1-\sqrt{2})x-\sqrt{2}$ που σχηματίζει γωνία -22,5

μοίρες με τον ημιάξονα

.
Με μετασχηματισμούς μεταφορά ώστε το K(-1,-1)

να συμπέσει με την αρχή των αξόνων O(0,0)

και περιστροφή κατά 22,5

μοίρες ώστε η δεύτερη διχοτόμος να συμπέσει με τον άξονα y'Oy

και η πρώτη διχοτόμος με τον άξονα x'Ox

δηλαδή τους μετασχηματισμούς $X=\left<x+1\right>\cos\left<22.5\right>-\left<y+1\right>\sin\left<22.5\right>$ και $Y=\left<x+1\right>\cos\left<22.5\right>+\left<y+1\right>\sin\left<22.5\right>$ και παίρνω την εξίσωση $\frac{\left<X+Y\right>^{2}}{2+\sqrt{2}}+\frac{X^{2}-Y^{2}} {\sqrt{2}}=-1$ .
Πώς θα την μετασχηματίσω σε εξίσωση υπερβολής του σχολικού βιβλίου Β' Λυκείου $\frac{X^{2}}{\alpha ^{2}}-\frac{Y^{2}}{\beta ^{2}}=1$ ;

#2

Ασλανίδης έγραψε: Έχω την Εξίσωση:
<...>
Πώς θα την μετασχηματίσω σε εξίσωση υπερβολής του σχολικού βιβλίου Β' Λυκείου $\frac{X^{2}}{\alpha ^{2}}-\frac{Y^{2}}{\beta ^{2}}=1$ ;

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Δεν κάνεις τον σωστό μετασχηματισμό. Ο σωστός, χωρίς τις πράξεις ρουτίνας, είναι:

Χάριν τυπογραφικής ευκολίας γράφουμε $s=-\sin \frac {\pi}{8}, \, c= \cos \frac{\pi}{8}$ . Θέτουμε τώρα $x=sX+cY-1, \, y=-cX+sY-1$ . Ο μετασχηματισμός αυτός θα το φέρει ακριβώς στην μορφή που ζητάς. Αξίζει να τονίσω ότι στις πράξεις θα εμφανιστεί η παράσταση

(2sc+c^2-s^2)XY

που όμως μηδενίζεται καθώς

$2sc+c^2-s^2 = -2\sin \frac {\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + ( \cos ^2 \frac{\pi}{8} - \sin ^2 \frac{\pi}{8})= -\sin \frac {\pi}{4} + \cos \frac {\pi}{4} =0$

Φιλικά,

Μιχάλης

Ασλανίδης · #3

Αγαπητέ Μιχάλη πρώτα πρώτα να σε ευχαριστήσω που ανταποκρίθηκες στο θέμα μου και δεύτερον γιατί μου άνοιξες δρόμο προς την σωστή λύση.
Σχετικά με τον μετασχηματισμό που μου πρότεινες x=sX+cY-1

και

με $s=-\sin \frac{\pi }{8}$ και $c=\cos \frac{\pi }{8}$ πρώτον δεν μπόρεσα να δώσω γεωμετρική ερμηνεία και δεύτερον ο συντελεστής του ΧΥ $2sc+c^{2}-s^{2}=-2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}+\cos^{2} \frac{\pi }{8} + \sin^{2} \frac{\pi }{8} =-\sin \frac{\pi }{4}+1$ δεν μηδενίζεται.
Όμως η σκέψη να βρω τον απευθείας τον αντίστροφο μετασχηματισμό [περιστροφή κατά -22,5 μοίρες γύρω από την αρχή των αξόνων και μεταφορά μετά κατά το διάνυσμα (-1,-1)] έδωσε $\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c & s & 0\\ -s & c & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{bmatrix}$ που δίνει τους μετασχηματισμούς x=cX+sY-1

και

με $s=\sin \frac{\pi }{8}$ και $c=\cos \frac{\pi }{8}$ δίνει συντελεστής του ΧΥ $2sc+s^{2}-c^{2}=2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}+\sin^{2} \frac{\pi }{8} - \cos^{2} \frac{\pi }{8} =\sin \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}=0$ που μηδενίζεται.
Τελικά με την εφαρμογή των παραπάνω μετασχηματισμών οδηγούμαστε στην υπερβολή $\frac{Y^{2}}{\beta ^{2}}-\frac{X^{2}}{\alpha ^{2}}=1$ με $\alpha ^{2}=\frac{1}{c^{2}+sc}$ και $\beta ^{2}=\frac{1}{sc-s^{2}}$ και επομένως έχει εστίες Ε(0,γ) και Ε΄(0,-γ) με $\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}$ .
Τελικά εφαρμόζοντας τους μετασχηματισμούς για τις εστίες βρίσκουμε τις εστίες της αρχικής υπερβολής που είναι $\left(s\gamma_{1}-1, c\gamma_{1}-1 \right)$ και $\left(s\gamma_{2}-1, -c\gamma_{2}-1 \right)$ .

Αρχική εκφώνηση άσκησης: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών $\lambda x+y=1$ και $x+\lambda y=\lambda ^{2}$ με $\lambda \neq \pm 1$ .

#4

Ασλανίδης έγραψε: $2sc+c^{2}-s^{2}=-2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}+\cos^{2} \frac{\pi }{8} {\color {red}+} \sin^{2} \frac{\pi }{8} =-\sin \frac{\pi }{4}+1$ δεν μηδενίζεται.

Για ξαναδές το αυτό.

Αντιλαμβάνεσαι που είναι λάθος στον ισχυρισμό σου;

Ασλανίδης · #5

Αγαπητέ Μιχάλη έχεις δίκαιο για ένα πλην στο τετράγωνο που γίνεται συν. Όμως παρά τον μηδενισμό του συντελεστή του ΧΥ η υπόλοιπη εξίσωση μετασχηματίζεται σε $\left(s^{2}+sc\right)X^{2}+\left(c^{2}-sc\right)Y^{2}+1=0$ η οποία δίνει λύση μόνο την αρχή των αξόνων καθώς όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί αριθμοί. Άλλωστε στην ερώτηση μου "Ο μετασχηματισμός σου ποια γεωμετρική ερμηνεία έχει;" δεν πήρα απάντηση. Βεβαίως κάθε μετασχηματισμός δεν είναι απαραίτητα να έχει μια γεωμετρική ερμηνεία.
Αλλά εδώ έχουμε ένας γεωμετρικό τόπο που θέλουμε την γεωμετρική του ερμηνεία (Υπερβολή). Πάντως όπως σου γράφω στα προηγούμενα με βοήθησες να φτάσω στη λύση και σε ευχαριστώ.

Ασλανίδης · #6

: Η Γραφική Παράσταση της Υπερβολής σοο GeoGebra; Υπερβολή.JPG (44.21 KiB) Προβλήθηκε 1374 φορές

#7

Ασλανίδης έγραψε: $\left(s^{2}+sc\right)X^{2}+\left(c^{2}-sc\right)Y^{2}+1=0$ η οποία δίνει λύση μόνο την αρχή των αξόνων καθώς όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί αριθμοί.

Δεν αληθεύει ο ισχυρισμός: Ο πρώτος συντελεστής είναι περίπου -0,207

Ασλανίδης έγραψε: Άλλωστε στην ερώτηση μου "Ο μετασχηματισμός σου ποια γεωμετρική ερμηνεία έχει;" δεν πήρα απάντηση.

Μα η απάντηση βρίσκεται σε ΟΛΑ τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας. Δεν έγραψα την γεωμετρική ερμηνεία γιατί θεώρησα ότι είναι οφθαλμοφανής και παγκοίνως γνωστή. Συγκεκριμένα ο μετασχηματισμός είναι "μεταφορά αξόνων και στροφή", όπως κάνουμε ΠΑΝΤΑ όταν μελετάμε την γενική δευτεροβάθμια. Υπόψη ότι μπορούμε εκ των προτέρων να γνωρίζουμε το είδος της κωνικής, από τις αναλλοίωτες (βλέπε τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας).

Ασλανίδης · #8

Έχεις άλλη μια φορά δίκαιο. Ο δικό σου μετασχηματισμός οδηγεί στην υπερβολή $-0.2X^{2}+1.2Y^{2}+1=0$ με στροφή $\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{8}$ ενώ εγώ με στροφή $\frac{\pi }{8}$ οδηγήθηκα στην υπερβολή $1.2X^{2}-0.2Y^{2}+1=0$ . Αν είχες ανάφερει την γωνία στροφής σου από την αρχή δεν θα είχα πρόβλημα στην συνέχεια καθώς ήμουν κολλημένος με την δική μου γωνία. Πάντως σε ευχαριστώ.
Υ.Γ. Οι συντελεστές στις εξισώσεις είναι με προσέγγιση δέκατου.

Κωνικές Τομές

Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Re: Κωνικές Τομές

Μέλη σε σύνδεση