Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{1}{8\times 10}=\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{10}\right)\times\dfrac{1}{2}}$

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\dfrac{1}{8\times 10}+\dfrac{1}{10\times 12}+\dfrac{1}{12\times 14}+\ldots+\dfrac{1}{2014\times 2016}}$

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, οι ευθείες $\displaystyle{\left(\epsilon_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(\epsilon_2\right)}$ είναι παράλληλες. Οι $\displaystyle{BD}$ και $\displaystyle{DC}$ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\angle{ABC}}$ και $\displaystyle{\angle{BDE}}$ , αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των τμημάτων $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{CD}$ τέμνονται στο $\displaystyle{Z}$ . Αν $\displaystyle{\angle{BZC}=45^{\circ}}$ , να βρείτε το μέτρο των γωνιών $\displaystyle{\angle{BDC}}$ και $\displaystyle{\angle{EDH}}$ .

: IMC_B_Key_II_2016_P2.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 3038 φορές

Πρόβλημα 3

Πόσους τριψήφιους αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{6}$ μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία $\displaystyle{0, 1, 2, 3, 4}$ , αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου;

Πρόβλημα 4

Ένα σχολείο με $\displaystyle{100}$ μαθητές έχει $\displaystyle{100}$ αριθμημένα ντουλάπια. Την πρώτη μέρα του σχολείου, ο πρώτος μαθητής που πάει στο σχολείο ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο δεύτερος μαθητής που πάει στο σχολείο κλείνει κάθε δεύτερο ντουλάπι (δηλαδή τα ντουλάπια με τους αριθμούς $\displaystyle{2, 4, 6, \ldots}$ ). Ο τρίτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τρίτου ντουλαπιού (δηλαδή αν είναι ανοικτό το κλείνει ή αν είναι κλειστό το ανοίγει). Ο τέταρτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τέταρτου ντουλαπιού. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να πάει στο σχολείο και ο τελευταίος μαθητής. Πόσα ντουλάπια θα μείνουν ανοικτά μετά το τέλος της διαδικασίας αυτής;

Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα, το τμήμα $\displaystyle{AC}$ είναι κάθετο στα τμήματα $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ . Τα τμήματα $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{BD}$ τέμνονται στο $\displaystyle{E}$ . Αν $\displaystyle{AB=8\;cm}$ και $\displaystyle{CD=4\;cm}$ :

(α) να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{ADE}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{BCE}}$ είναι ισεμβαδικά

(β) να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\dfrac{AE}{AC}}$

(γ) να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\dfrac{\left(\vartriangle{CDE}\right)}{\left({ABCD\right)}}}$

: IMC_B_Key_II_2016_P5.png (16.24 KiB) Προβλήθηκε 3038 φορές

ealexiou · #2

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, οι ευθείες $\displaystyle{\left(\epsilon_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(\epsilon_2\right)}$ είναι παράλληλες. Οι $\displaystyle{BD}$ και $\displaystyle{DC}$ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\angle{ABC}}$ και $\displaystyle{\angle{BDE}}$ , αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των τμημάτων $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{CD}$ τέμνονται στο $\displaystyle{Z}$ . Αν $\displaystyle{\angle{BZC}=45^{\circ}}$ , να βρείτε το μέτρο των γωνιών $\displaystyle{\angle{BDC}}$ και $\displaystyle{\angle{EDH}}$ .

: Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2016 Πρ 2.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 3012 φορές

$\begin{cases} & 2x+y = 180°\\ & x +2y+45°= 180°\end{cases}\ \ \Rightarrow x=75° \wedge y=30°$
$\Rightarrow\angle BDC=75° \wedge \angle EDH=30°$

ealexiou · #3

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\dfrac{1}{8\times 10}+\dfrac{1}{10\times 12}+\dfrac{1}{12\times 14}+\ldots+\dfrac{1}{2014\times 2016}}$

$A=\left(\dfrac{1}{8\times 10}+\dfrac{1}{10\times 12}\right)+$ $\left(\dfrac{1}{12\times 14}+\dfrac{1}{14\cdot16}\right)+\ldots+$ $\left(\dfrac{1}{2012\cdot2014}+\dfrac{1}{2014\times 2016}}\right)=$

$\dfrac{1}{2^3}\cdot \left[\left(\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{3\cdot5}\right)+\left(\dfrac{1}{3\cdot7}+\dfrac{1}{4\cdot7}\right)+ ...+\left(\dfrac{1}{503\cdot1007}+\dfrac{1}{504\cdot1007}\right)\right]=$

$\dfrac{1}{2^3}\cdot \left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+....+\dfrac{1}{253512}\right)=$ $\dfrac{1}{2^4}\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+....+\dfrac{1}{126756}\right)=$

$\dfrac{1}{2^4}\cdot \left(\dfrac{1}{C(3,2)}+\dfrac{1}{C(4,2)}+\dfrac{1}{C(5,2)}+...+\dfrac{1}{C(504,2)}\right)=$

$\dfrac{1}{2^4}\cdot \dfrac{504-2}{504}=\dfrac{1}{2^4}\cdot \dfrac{251}{252}\Rightarrow$ $\boxed{A=\dfrac{251}{4032}}$

Eυ. N. · #4

Πρόβλημα 3

Πόσους τριψήφιους αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{6}$ μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία $\displaystyle{0, 1, 2, 3, 4}$ , αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου;

Για να διαιρείται κάποιος αριθμός με το

θα πρέπει να λήγει σε {0,2,4,6,8}

(να διαιρείται δηλ. με το

) και ταυτόχρονα να έχει άθροισμα ψηφίων που να διαρείται με το

. Επομένως στην προκειμένη περίπτωση οι τριψήφιοι αριθμοί πρέπει να λήγουν σε {0,2,4}

και να έχουν άθροισμα ψηφίων που να διαρείται με το

. Συνεπώς διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Α. Να λήγει σε

. Οπότε έχουμε τους τριψήφιους: 120,210,420,240

Β. Να λήγει σε

. Οπότε έχουμε τους τριψήφιους: 402,432,342,312,132,102

Γ. Να λήγει σε

. Οπότε έχουμε τους τριψήφιους: 204,324,234

(Που πληρούν τις προϋποθέσεις και είναι

σε αριθμό)

#5

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα, το τμήμα $\displaystyle{AC}$ είναι κάθετο στα τμήματα $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ . Τα τμήματα $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{BD}$ τέμνονται στο $\displaystyle{E}$ . Αν $\displaystyle{AB=8\;cm}$ και $\displaystyle{CD=4\;cm}$ :

(α) να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{ADE}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{BCE}}$ είναι ισεμβαδικά

(β) να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\dfrac{AE}{AC}}$

(γ) να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\dfrac{\left(\vartriangle{CDE}\right)}{\left({ABCD\right)}}}$

Το συνημμένο IMC_B_Key_II_2016_P5.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: IMC Key stage II 2016 5.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 2930 φορές

α) $\displaystyle{(ADC) = \frac{1}{2}DC \cdot AC = (DBC) \Leftrightarrow (ADE) + (EDC) = (BCE) + (EDC) \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ADE)=(BCE)}$

β) $\displaystyle{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{AE + EC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}}$

γ) $\displaystyle{\frac{{(CDE)}}{{(ABCD)}} = \frac{{\frac{1}{2}4EC}}{{\frac{{4 + 8}}{2}AC}} = \frac{{EC}}{{3AC}} = \frac{4}{{3 \cdot (4 + 8)}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{(CDE)}}{{(ABCD)}} = \frac{1}{9}}$

Eυ. N. · #6

Πρόβλημα 4

Ένα σχολείο με $\displaystyle{100}$ μαθητές έχει $\displaystyle{100}$ αριθμημένα ντουλάπια. Την πρώτη μέρα του σχολείου, ο πρώτος μαθητής που πάει στο σχολείο ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο δεύτερος μαθητής που πάει στο σχολείο κλείνει κάθε δεύτερο ντουλάπι (δηλαδή τα ντουλάπια με τους αριθμούς $\displaystyle{2, 4, 6, \ldots}$ ). Ο τρίτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τρίτου ντουλαπιού (δηλαδή αν είναι ανοικτό το κλείνει ή αν είναι κλειστό το ανοίγει). Ο τέταρτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τέταρτου ντουλαπιού. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να πάει στο σχολείο και ο τελευταίος μαθητής. Πόσα ντουλάπια θα μείνουν ανοικτά μετά το τέλος της διαδικασίας αυτής;

Παρατηρούμε αρχικά πως το ντουλαπάκι με τον αριθμό

, δεν υφίσταται καμία άλλη μεταβολή εκτός από το άνοιγμά του στην αρχή, επομένως θα είναι σίγουρα ανοικτό. Επιπλέον, βλέπουμε πως όλοι οι πρώτοι αριθμοι , (καθώς διαιρούνται μόνο από το

και τον εαυτό τους δεν υφίστανται καμία μεταβολή παρά το άνοιγμα από τον πρώτο μαθητή και το κλείσιμο τους από τον αριθμητικά αντίστοιχο μαθητή.π.χ Το ντουλαπάκι

κλείνει από τον

ο μαθητή.)παραμένουν κλειστοί. Επομένως, καθώς οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ του

και του

είναι

(αφαιρούμε το

γιατί αυτός είναι ο μόνος πρώτος αριθμός και ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός που θα μείνει ανοικτός), τα ντουλαπάκια αυτά θα παραμείνουν κλειστά.Γενικότερα διαπιστώνουμε πως εκτός από τους

πρώτους αριθμούς κλειστά θα είναι τα ντουλαπάκια που συμπεριλαμβανομένου του αρχικού ολικού ανοίγματος και του κλεισίματος των ζυγών υφίστανται άρτιο αριθμό μεταβολές. Σε αυτούς συμπεριλαμβάνονται οι περιττοί με άρτιο αριθμό διαιρετών και οι ζυγοί με περιττό αριθμό διαιρετών(μέχρι το 100

). Άρα κλειστά θα μείνουν τα ντουλαπάκια με αριθμούς: 4,16,64,18,28,36,100,15,21,27,33,35,39,45,51,55,57,63,65,69,75,77,85,87,91,93,95,99

(που είναι

σε αριθμό) Συνεπώς θα μείνουν ανοικτά 100-28-24=48

ντουλαπάκια.(Δεν είμαι καθόλου σίγουρος αν είναι σωστό.)

#7

Soteris έγραψε: (β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\dfrac{1}{8\times 10}+\dfrac{1}{10\times 12}+\dfrac{1}{12\times 14}+\ldots+\dfrac{1}{2014\times 2016}}$

Έγινε παραπάνω αλλά στο βήμα όπου διώχνουμε την τελευταία παρένθεση έχουμε ισότητα ισοδύναμη με την αρχική ερώτηση (αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή επί

θα το δούμε αμέσως). Οπότε ουσιαστικά δουλεύουμε σε κύκλο.

Λύνω την άσκηση πιο απλά:

Γενικός όρος $\displaystyle{ \frac {1}{2n(2n+2)} = \frac {1}{4} \left ( \frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}\right)}$ από n=4

έως

. Οπότε οι όροι φεύγουν ανά δύο: ο κάθε δεύτερος με το πρώτο του επόμενου (το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό). Μένει ο πρώτος και ο τελευταίος όρος. Ήτοι

$\displaystyle{ \frac {1}{4} \left ( \frac {1}{4}-\frac {1}{1008}\right)= \frac {251}{4032}}$

#8

Eυ. N. έγραψε: Άρα κλειστά θα μείνουν τα ντουλαπάκια με αριθμούς: (που είναι σε αριθμό) Συνεπώς θα μείνουν ανοικτά ντουλαπάκια.(Δεν είμαι καθόλου σίγουρος αν είναι σωστό.)

Είναι πολύ λάθος και ο συλλογισμός και η απάντηση.

Καταγράφω ποια ντουλαπάκια θα μείνουν ανοικτά ενώ τα υπόλοιπα θα είναι κλειστά. Από την απάντηση θα γίνει αμέσως σαφές "τι τρέχει" αλλά το αφήνω για να το δικαιολογήσουν τα παιδιά. Είναι απλό έτσι και αλλιώς.

Ανοικτά θα μείνουν τα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Eυ. N. έγραψε:Δεν είμαι καθόλου σίγουρος αν είναι σωστό.

Οι περισσότερες λύσεις σου τελειώνουν με τέτοια φράση και είναι συνήθως εσφαλμένες. Μήπως θα πρέπει να δίνεις περισσότερη προσοχή και να είσαι ΒΕΒΑΙΟΣ για την λύση; Εννοείται θα σου συγχωρεθούν λάθη, αλλά άλλο τα ανθρώπινα λάθη και άλλο να μισοξέρεις από πριν ότι κάτι είναι λάθος και να επιμένεις να το καταγράψεις.

Eυ. N. · #9

Μα παραδείγματος χάρη: αν πάρουμε το ντουλαπάκι

. Αρχικά είναι ανοιχτό από τον

ο μαθητή. Στην συνέχεια ο

ος μαθητής (που κλείνει όλους τους ζυγούς) θα κλείσει το ντουλαπάκι

. Έπειτα ο

ος μαθητής που κλείνει ή ανοίγει τα ντουλαπάκια που έχουν αριθμό πολλαπλάσιο του

θα ανοίξει το

. Μετά ο

ος και ο

ος δεν θα προκαλέσουν μεταβολή στο

. Ο

ος που κλείνει ή ανοίγει τα ντουλαπάκια με αριθμό πολλαπλάσιο του

θα κλείσει το

. Μετά όλοι οι μαθητές μέχρι τον

δεν θα προκαλέσουν μεταβολή στο ντουλάπι αυτό. Και στο τέλος ο

ος που κλείνει ή ανοίγει τα ντουλάπια με αριθμό πολλαπλάσιο τους

θα το ανοίξει. Οπότε θα παραμείνει και αυτό ανοικτό.

#10

Eυ. N. έγραψε: Μετά όλοι οι μαθητές μέχρι τον δεν θα προκαλέσουν μεταβολή στο ντουλάπι αυτό.

Για ξαναδές το και πες μου γιατί είναι λάθος.

Eυ. N. · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Μετά όλοι οι μαθητές μέχρι τον δεν θα προκαλέσουν μεταβολή στο ντουλάπι αυτό.
Για ξαναδές το και πες μου γιατί είναι λάθος.

Θέλω απλά αν μπορείτε να μου εξηγήσετε το λάθος μου που ίσως προέρχεται από την λανθασμένη κατανόηση της εκφώνησης.
Βασικά έχετε δίκιο δεν συμπεριέλαβα το

.
Βέβαια στην απάντηση που έδωσα το πήρα ορθώς ως κλειστό. Θα σας παραθέσω άλλο παράδειγμα.

#12

Eυ. N. έγραψε: Θέλω απλά αν μπορείτε να μου εξηγήσετε το λάθος μου που ίσως προέρχεται από την λανθασμένη κατανόηση της εκφώνησης.
Βασικά έχετε δίκιο δεν συμπεριέλαβα το .

Τι παραπάνω να εξηγήσω; Να ξαναπώ ότι ο

είναι διαιρέτης του

;

Eυ. N. · #13

Μήπως το λάθος που έκανα σχετίζεται με το

;

Νομίζω πως απλά δεν έπρεπε να συμπεριλάβω το

ως πολλαπλάσιο που χάρη σε αυτό μεταβάλλεται η κατάσταση του ντουλαπιού, καθώς ο

ος μαθητής κλείνει τους ζυγούς.

#14

Eυ. N. έγραψε:Μήπως το λάθος που έκανα σχετίζεται με το ;

Το αφήνω για να έχουν οι άλλοι την χαρά να λύσουν την άσκηση. Έτσι και αλλιώς αυτό που έγραψα στο hide είναι ουσιαστικό μέρος της λύσης.

Μήπως πρέπει να δώσεις περισσότερη προσοχή στις τρεις γραμμές που έγραψα μετά το hide;

Soteris · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Μετά όλοι οι μαθητές μέχρι τον δεν θα προκαλέσουν μεταβολή στο ντουλάπι αυτό.
Για ξαναδές το και πες μου γιατί είναι λάθος.

Ευθύμιε, δες αυτό που σου γράφει ο κύριος Λάμπρου προσεκτικά και θα καταλάβεις το λάθος στο παράδειγμα που μας έδωσες.

Eυ. N. · #16

Πρόβλημα 4

Ένα σχολείο με $\displaystyle{100}$ μαθητές έχει $\displaystyle{100}$ αριθμημένα ντουλάπια. Την πρώτη μέρα του σχολείου, ο πρώτος μαθητής που πάει στο σχολείο ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο δεύτερος μαθητής που πάει στο σχολείο κλείνει κάθε δεύτερο ντουλάπι (δηλαδή τα ντουλάπια με τους αριθμούς $\displaystyle{2, 4, 6, \ldots}$ ). Ο τρίτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τρίτου ντουλαπιού (δηλαδή αν είναι ανοικτό το κλείνει ή αν είναι κλειστό το ανοίγει). Ο τέταρτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τέταρτου ντουλαπιού. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να πάει στο σχολείο και ο τελευταίος μαθητής. Πόσα ντουλάπια θα μείνουν ανοικτά μετά το τέλος της διαδικασίας αυτής;

Παρατηρούμε αρχικά πως το ντουλαπάκι με τον αριθμό

, δεν υφίσταται καμία άλλη μεταβολή εκτός από το άνοιγμά του στην αρχή, επομένως θα είναι σίγουρα ανοικτό. Επιπλέον, βλέπουμε πως όλοι οι πρώτοι αριθμοι , (καθώς διαιρούνται μόνο από το

και τον εαυτό τους δεν υφίστανται καμία μεταβολή παρά το άνοιγμα από τον πρώτο μαθητή και το κλείσιμο τους από τον αριθμητικά αντίστοιχο μαθητή.π.χ Το ντουλαπάκι

κλείνει από τον

ο μαθητή.)παραμένουν κλειστοί. Γενικότερα παρατηρούμε πως ανοικτά μένουν τα ντουλαπάκια με περιττό αριθμό διαιρετών(όπως το

, που έχει διαιρέτες το

,το

και το

.) Συνεπώς αφού όλοι οι αριθμοί έχουν διαιρέτη το

θα ανοίξουν αρχικά όλα τα ντουλαπάκια. Στην συνέχεια θα κλείσουν όσα ντουλαπάκια έχουν διαιρέτη το

(αποτελούν δηλ. ζυγούς αριθμούς). Επομένως βλέπουμε πως και στους ζυγούς και στους περιττούς ανοικτά μένουν τα ντουλαπάκια που υφίστανται περιττό αριθμό μεταβολών(έχουν δηλ. περιττό αριθμό διαιρετών). Τέτοιοι αριθμοί από το

στο

είναι:

δηλαδή οι αριθμοί που αποτελούν τέλεια τετράγωνα και που είναι

σε αριθμό.

#17

Eυ. N. έγραψε: Τέτοιοι αριθμοί από το στο είναι: δηλαδή οι αριθμοί που αποτελούν τέλεια τετράγωνα και που είναι σε αριθμό.

Εδώ έχεις ένα ουσιαστικό κενό. Δεν απέδειξες τίποτα αλλά απλά το δήλωσες (άλλωστε το είχα καταγράψει στο ποστ μου παραπάνω, μέσα στο hide). Όλη η ουσία της άσκησης είναι να αποδείξεις ότι τα τέλεια τετράγωνα και μόνον αυτά έχουν περιττό πλήθος διαιρετών. Δεν αρκεί να τους ελέγξουμε "με το χέρι" έναν έναν μέχρι το 100

γιατί φαντάσου τα ντουλαπάκια να ήσαν 1000

να δεις τι θα παθαίναμε...

Νομίζω πρέπει να κλείνουμε πια. Παραασχοληθήκαμε με τα ίδια και τα ίδια.

Θα περιμένω λίγο μήπως κάποιος μαθητής γράψει απόδειξη του ζητούμενου, που δεν είναι δύσκολο. Αργότερα, αν χρειαστεί, θα δώσω δύο αποδείξεις, και οι δύο απλές.

Eυ. N. · #18

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Τέτοιοι αριθμοί από το στο είναι: δηλαδή οι αριθμοί που αποτελούν τέλεια τετράγωνα και που είναι σε αριθμό.
Εδώ έχεις ένα ουσιαστικό κενό. Δεν απέδειξες τίποτα αλλά απλά το δήλωσες (άλλωστε το είχα καταγράψει στο ποστ μου παραπάνω, μέσα στο hide). Όλη η ουσία της άσκησης είναι να αποδείξεις ότι τα τέλεια τετράγωνα και μόνον αυτά έχουν περιττό πλήθος διαιρετών. Δεν αρκεί να τους ελέγξουμε "με το χέρι" έναν έναν μέχρι το γιατί φαντάσου τα ντουλαπάκια να ήσαν να δεις τι θα παθαίναμε...

Νομίζω πρέπει να κλείνουμε πια. Παραασχοληθήκαμε με τα ίδια και τα ίδια.

Θα περιμένω λίγο μήπως κάποιος μαθητής γράψει απόδειξη του ζητούμενου, που δεν είναι δύσκολο. Αργότερα, αν χρειαστεί, θα δώσω δύο αποδείξεις, και οι δύο απλές.

Νομίζω πως το γεγονός ότι μόνο τα τέλεια τετράγωνα έχουν περιττό αριθμό διαιρετών είναι ιδιότητα, οπότε δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι παραπάνω που πρέπει να αποδείξω.

#19

Eυ. N. έγραψε: Νομίζω πως το γεγονός ότι μόνο τα τέλεια τετράγωνα έχουν περιττό αριθμό διαιρετών είναι ιδιότητα, οπότε δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι παραπάνω που πρέπει να αποδείξω.

Τα σχόλια περιττεύουν.

#20

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Ένα σχολείο με $\displaystyle{100}$ μαθητές έχει $\displaystyle{100}$ αριθμημένα ντουλάπια. Την πρώτη μέρα του σχολείου, ο πρώτος μαθητής που πάει στο σχολείο ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο δεύτερος μαθητής που πάει στο σχολείο κλείνει κάθε δεύτερο ντουλάπι (δηλαδή τα ντουλάπια με τους αριθμούς $\displaystyle{2, 4, 6, \ldots}$ ). Ο τρίτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τρίτου ντουλαπιού (δηλαδή αν είναι ανοικτό το κλείνει ή αν είναι κλειστό το ανοίγει). Ο τέταρτος μαθητής που πάει στο σχολείο αλλάζει την κατάσταση κάθε τέταρτου ντουλαπιού. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να πάει στο σχολείο και ο τελευταίος μαθητής. Πόσα ντουλάπια θα μείνουν ανοικτά μετά το τέλος της διαδικασίας αυτής;

Για να κλείνει.

Είναι σαφές ότι αναζητάμε τους φυσικούς που έχουν περιττό πλήθος διαιρετών. Θα δούμε ότι αυτοί είναι τα τέλεια τετράγωνα, οπότε στο τέλος θα μείνουν ανοικτά τα $1, \, 4, \, 9, \, 16, 25, \, 36, \, 49, \, 64, 81, \, 100.$

α' τρόπος (με γνώσεις Γυμνασίου ή λιγότερο). Για κάθε διαιρέτη

ενός φυσικού

υπάρχει (μοναδικός) φυσικός

με

. Παρατηρούμε ότι και ο

είναι διαιρέτης του

, που σημαίνει ότι τους διαρέτες του

μπορούμε να τους ζευγαρώσουμε, τον καθένα με εκείνον που μαζί έχουν γινόμενο

(για παράδειγμα οι διαιρέτες του

είναι έξι, και σε ζεύγη είναι τα $1\cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3\cdot 6$ ). Οπότε οι διαιρέτες του

είναι άρτιοι σε πλήθος με μία εξαίρεση: Μπορεί το ταίρι του

να είναι ο εαυτός του, δηλαδή να τύχει a=b

, οπότε το πλήθος των διαιρετών είναι περιττό (αφού τον

τον μετράμε μία φορά, και όχι δεύτερη ως χωριστό

). Αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι N=ab=a^2

, που σημαίνει ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

β' τρόπος (με στοιχειώδεις γνώσεις Θεωρίας Αριθμών). Το πλήθος των διαιρετών ενός $N=p_1^{a_1}\cdot ... \cdot p_n^{a_n}$ είναι, ως γνωστόν, $(a_1+1)\cdot ... \cdot (a_n+1)$ . Ο αριθμός αυτός είναι περιττός αν και μόνον αν όλα τα a_k+1

είναι περιττοί, ισοδύναμα αν όλοι οι a_k

είναι άρτιοι. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε a_k=2b_k

και παρατηρούμε τότε ότι για τον

ισχύει

$N=p_1^{2b_1}\cdot ... \cdot p_n^{2b_n}= \left ( p_1^{b_1}\cdot ... \cdot p_n^{b_n}\right) ^2$

Το τελευταίο δείχνει ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Μέλη σε σύνδεση