Κύκλος και παραβολή!

#1

Δίνεται η παραβολή $\displaystyle{y=x^2}$ και σε αυτή εγγεγραμμένος κύκλος ακτίνας $\displaystyle{1.}$
Βρείτε το κέντρο του κύκλου.

#2

matha έγραψε:Δίνεται η παραβολή $\displaystyle{y=x^2}$ και σε αυτή εγγεγραμμένος κύκλος ακτίνας $\displaystyle{1.}$
Βρείτε το κέντρο του κύκλου.

: Κύκλος και παραβολή.png (8.48 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Έστω

(*) το κέντρο του κύκλου. Τότε ο κύκλος έχει εξίσωση x^2+(y-k)^2=1

και για

έχουμε:

$\displaystyle{{x^2} + {({x^2} - k)^2} = 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{{x^4} + (1 - 2k){x^2} + {k^2} - 1 = 0}$ (1)

Αφού ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στην παραβολή, θα έχει με αυτήν δύο κοινά σημεία (όπου θα εφάπτονται) και κατά συνέπεια η διτετράγωνη εξίσωση (1)

, θα έχει δύο διπλές ρίζες. Δηλαδή $\displaystyle{\Delta = 0 \Leftrightarrow {(1 - 2k)^2} - 4({k^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{5}{4}}$ και $\boxed{K\left( {0,\frac{5}{4}} \right)}$

(*) Επειδή ο άξονας y'y

είναι άξονας συμμετρίας και του κύκλου και της παραβολής, το κέντρο του κύκλου θα είναι σημείο του ημιάξονα

.

Μαρία Σαμπάνη · #3

Καλημέρα.Στην ίδια λογική λίγο πιο αναλυτικά. Αν $\displaystyle{K({x_0},{y_0})}$ το ζητούμενο κέντρο, ο κύκλος $\displaystyle{{(x - xo)^2} + {(y - {y_0})^2} = 1}$ και η παραβολή $\displaystyle{y = {x^2}}$ πρέπει να έχουν δύο κοινά σημεία.
- Αν $\displaystyle{{x_0}}$ =0 τότε έχουμε :
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {(y - {y_0})^2} = 1\\ y = {x^2} \end{array} \right.}$ και με αντικατάσταση έχουμε $\displaystyle{{y^2} + (1 - 2{y_0})y + y_0^2 - 1 = 0}$ .
Πρέπει Δ=0 (αν Δ<0 αδύνατη, αν Δ>0 έχουμε 4 κοινά σημεία) άρα Δ = $\displaystyle{5 - 4{y_0} = 0}$ και $\displaystyle{{y_0} = \frac{5}{4}}$
Άρα το ζητούμενο κέντρο είναι Κ(0, $\displaystyle{\frac{5}{4}}$ ).
- Αν $\displaystyle{{x_0} \ne 0}$ κι έστω $\displaystyle{{x_0} > 0}$ τότε
ονομάζουμε $\displaystyle{A({x_1},{y_1})}$ και $\displaystyle{B( - {x_1},{y_1})}$ με $\displaystyle{{x_1} > 0}$ τα κοινά σημεία των καμπυλών τότε η εφαπτομένη της παραβολής στο Α θα έχει έξίσωση $\displaystyle{({\varepsilon _1}):2{x_1}x - y - {y_1} = 0}$ και η εφαπτομένη της παραβολής στο Β θα έχει εξίσωση $\displaystyle{({\varepsilon _2}):2{x_1}x + y + {y_1} = 0}$ .Πρέπει να οι δύο ευθείες να ισαπέχουν από το κέντρο Κ άρα $\displaystyle{\frac{{|2{x_1}{x_0} + y + {y_1}|}}{{\sqrt {{{(2{x_1})}^2} + 1} }} = \frac{{|2{x_1}{x_0} + y + {y_1}|}}{{\sqrt {{{(2{x_1})}^2} + 1} }}}$ από όπου καταλήγουμε σε άτοπο.

Κύκλος και παραβολή!

Κύκλος και παραβολή!

Re: Κύκλος και παραβολή!

Re: Κύκλος και παραβολή!

Μέλη σε σύνδεση