ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

#1

Καλημέρα σας!

Επισυνάπτω τα θέματα των μεγάλων!

Καλή επιτυχία σε όσους διαγωνίστηκαν!

Ευχαριστώ το Θάνο Μάγκο για την αποστολή τους!

Αχιλλέας

#2

Πρόβλημα 1

Αν z=0

τότε

με μοναδική λύση (x,y)=(4,8).

Αν $z\geq 2$ τότε αφού 7|x^2+y^2

και

πρώτος της μορφής 4k+3

θα είναι

και

Τότε όμως

ενώ $49\nmid 3\cdot 2016^z+77,$ οπότε δεν έχουμε λύσεις.

Αν z=1,

τότε όπως προηγουμένως έχουμε 7|x

και

Έστω

Καταλήγουμε στην εξίσωση a^2+b^2=125

με λύσεις

και

οπότε

και

#3

Πρόβλημα 3

: Αρχιμήδης 2016.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 8220 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Πρόβλημα 2

Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$

ενώ ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου 2P(x)

είναι 2, αφού είναι μονικό.

Επομένως, $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}=2 \iff 2^{n-1}=n \iff n=1 \vee n=2.}$

Αν n=1

τότε

και

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)=2x}$ οπότε P(x)=x.

Το ζεύγος πολυωνύμων (P(x),Q(x))=(x,x+c),

όπου

αυθαίρετη πραγματική σταθερά, ικανοποιεί όλες τις συνθήκες και επομένως είναι λύση.

Αν n=2

τότε

και

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)=2x^3+2(b+1)x}$

οπότε P(x)=x^3+(b+1)x

και, αφού

είναι

και τελικά P(x)=x^3.

Το ζεύγος πολυωνύμων (P(x),Q(x))=(x^3,x^2-x+c),

όπου

αυθαίρετη πραγματική σταθερά, ικανοποιεί όλες τις συνθήκες και επομένως είναι λύση.

mathfinder · #5

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Μία λύση για τη γεωμετρία: α) Τα τρίγωνα $B\Delta \Gamma$ και $BE \Gamma$ είναι ίσα , άρα $2\omega +2\hat{B}=2\omega +2\hat{\Gamma }=180^{0} \Rightarrow\omega +\hat{\Gamma } =90^{0}\Rightarrow E\hat{\Gamma }Z=90^{0}$ άρα το τρίγωνο KEZ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , οπότε η $E\hat{K}Z=45^{0}$ και $E\hat{\Delta}Z=E\hat{K}Z=45^{0}$ ως εγγεγραμμένες του $C_{2}$ στο ίδιο τόξο.
β) Είναι $E\hat{Z}\Gamma =45^{0}\Rightarrow \omega +\varphi =45^{0}$ και $\Delta \hat{E}K=\Delta \hat{Z}K=\varphi$ . Αρκεί να δείξουμε ότι και $\Delta \hat{E}M=\varphi$ . Το $BE\Gamma$ ορθογώνιο και $B\hat{\Gamma}\Delta =B\hat{\Gamma }E=\omega$ και $\Delta \hat{B}\Gamma =E\hat{B }\Gamma =90^{0}-\omega$ . Στον κύκλο $C_{1}$ η $E\hat{\Delta }M =45^{0}$ , άρα η αντίστοιχη επίκεντρη $E\hat{B}M =90^{0}$ οπότε η $\Delta \hat{B}M =90^{0}-2\omega$ και η αντίστοιχη επίκεντρη $\Delta \hat{E}M =45^{0}-\omega=\varphi$ , δηλ. τα E,M,K

συνευθειακά.
γ) Αφού οι $E\hat{B}M =90^{0}=B\hat{E}\Gamma$ προκύπτει ότι $BM\parallel E\Gamma$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

#6

Πρόβλημα 3

(α) Είναι $\displaystyle{\angle {\rm Z}\Delta {\rm E} = \angle {\rm Z}{\rm K}{\rm E}}$ (από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta {\rm K}{\rm Z}{\rm E}}$ ).

Έχουμε ότι:

$\displaystyle{\angle {\rm Z}\Gamma {\rm E} = {180^ \circ } - \hat \Gamma - \angle {\rm B}\Gamma {\rm E} = {180^ \circ } - \hat {\rm B} - \angle {\rm B}\Gamma \Delta = \angle {\rm B}\Delta \Gamma = {90^ \circ },}$

οπότε

$\displaystyle{\angle {\rm Z}{\rm K}{\rm E} = \frac{1}{2}\angle {\rm Z}\Gamma {\rm E} = {45^ \circ }}$

και το ζητούμενο έπεται.

(β) Είναι

$\displaystyle{\angle \Delta {\rm E}{\rm M} = \frac{1}{2}\angle \Delta {\rm B}{\rm M} = \frac{1}{2}\left( {{{180}^ \circ } - 2\angle {\rm B}\Delta {\rm M}} \right) = {90^ \circ } - \angle {\rm B}\Delta {\rm M} = \angle \Gamma \Delta {\rm M} = }$

$\displaystyle{ = \angle \Gamma \Delta {\rm Z} = \angle \Gamma {\rm Z}\Delta = \angle {\rm K}{\rm Z}\Delta = \angle \Delta {\rm E}{\rm K}}$

και άρα τα σημεία $\displaystyle{{\rm E},{\rm M},{\rm K}}$ είναι συνευθειακά.

(γ) Επειδή $\displaystyle{\Gamma \Delta \bot {\rm B}\Delta }$ , λόγω συμμετρίας ως προς τη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ θα είναι $\displaystyle{{\rm E}\Gamma \bot {\rm B}{\rm E}}$ . Αλλά $\displaystyle{\angle {\rm E}{\rm M}{\rm B} = 2\angle {\rm E}\Delta {\rm M} = {90^ \circ },}$ οπότε $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} \bot {\rm B}{\rm E}}$ και τελικά $\displaystyle{{\rm B}{\rm M}\parallel {\rm E}\Gamma }$ .

#7

Πρόβλημα 4

Το πλήθος των καλών ρόμβων είναι ίσο με το πλήθος όλων των σχηματιζόμενων ρόμβων αν αφαιρέσουμε τα τετράγωνα:

$\displaystyle{\sum_{1\leq k,l\leq n} \min(k,n-k) \min(n, n-l) -\sum_{1\leq k,l\leq n} \min(k,l,n-k,n-l)= }$

$\displaystyle{=\left(\sum_{1\leq k \leq n} \min(k,n-k)\right)^2- \sum_{1\leq k,l\leq n}\min(k,l,n-k,n-l).}$

Το παραπάνω ισούται με

$\displaystyle{\frac{k (k+1)(3k^2-k-2)}{3},}$ για n=2k+1,

ενώ με

$\displaystyle{\frac{k (k-1)(3k^2-k-1)}{3},}$ για n=2k.

Κορίνα Διγαλάκη · #8

Μήπως γνωρίζει κανείς σε πόση ώρα περίπου θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα;

Ηλιας Φραγκάκος · #9

Συγχαρητήρια!

Ηλίας

loukaz7 · #10

Τα αποτελέσματα βγήκαν. ( τουλάχιστον εμένα και όσους ξέρω που περάσαν τους πήραν τηλέφωνο). ΠΗΡΑ ΧΑΛΚΙΝΟ!!!!

Σε όσους δεν πέρασαν θα ήθελα να τους πω να μην στεναχωρηθούν καθόλου. Παραθέτω την δική μου ιστορία για να δείτε πως με προσπάθεια και διάβασμα όλα είναι δυνατά.
Λοιπόν: Είμαι μαθητής της ά λυκείου και πέρυσι ξαναέδωσα στον Αρχιμήδη τον μικρών τότε ( ως μαθητής της ΄γ με πλεονέκτημα) . Τότε δεν πέρασα. Ομολογώ πως στεναχωρήθηκα αρκετά και απογοητεύτηκα λίγο. Όμως ήμουν αποφασισμένος. Ξεκίνησα προετοιμασία από τότε και για έναν ολόκληρο χρόνο δούλεψα με κόπο και ιδρώτα για έναν δύσκολο στόχο: να περάσω στον Αρχιμήδη των Μεγάλων! Και πράγματι όλη η σκληρή δουλειά ανταμείφθηκε με αυτό το μετάλλιο.
Συγχαρητήρια σε όλους όσους διαγωνίστηκαν στον διαγωνισμό αυτό και είναι υπερηφάνεια για την χώρα σε αυτούς τους δύσκολους καιρούς να γίνονται τέτοιες συναντήσεις από πραγματικά κορυφαία μυαλά.
Μπράβο και σε όσους πέρασαν και καλή συνέχεια!!!

Karanus · #11

loukaz7 έγραψε:Τα αποτελέσματα βγήκαν. ( τουλάχιστον εμένα και όσους ξέρω που περάσαν τους πήραν τηλέφωνο). ΠΗΡΑ ΧΑΛΚΙΝΟ!!!!
Σε όσους δεν πέρασαν θα ήθελα να τους πω να μην στεναχωρηθούν καθόλου. Παραθέτω την δική μου ιστορία για να δείτε πως με προσπάθεια και διάβασμα όλα είναι δυνατά.
Λοιπόν: Είμαι μαθητής της ά λυκείου και πέρυσι ξαναέδωσα στον Αρχιμήδη τον μικρών τότε ( ως μαθητής της ΄γ με πλεονέκτημα) . Τότε δεν πέρασα. Ομολογώ πως στεναχωρήθηκα αρκετά και απογοητεύτηκα λίγο. Όμως ήμουν αποφασισμένος. Ξεκίνησα προετοιμασία από τότε και για έναν ολόκληρο χρόνο δούλεψα με κόπο και ιδρώτα για έναν δύσκολο στόχο: να περάσω στον Αρχιμήδη των Μεγάλων! Και πράγματι όλη η σκληρή δουλειά ανταμείφθηκε με αυτό το μετάλλιο.
Συγχαρητήρια σε όλους όσους διαγωνίστηκαν στον διαγωνισμό αυτό και είναι υπερηφάνεια για την χώρα σε αυτούς τους δύσκολους καιρούς να γίνονται τέτοιες συναντήσεις από πραγματικά κορυφαία μυαλά.
Μπράβο και σε όσους πέρασαν και καλή συνέχεια!!!

Ακριβώς έτσι όπως τα γράφεις είναι. Συγχαρητήρια για την μεγάλη διάκριση και για το πνεύμα σου γενικότερα!!!

Σταύρος Σταυρόπουλος · #12

ΘΕΡΜΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ σε όλα τα παιδιά που πέρασαν στον Αρχιμήδη και ιδιαίτερα στον Γιώργο Χριστοδούλου από το Κιάτο Κορινθίας.

loukaz7 · #13

Karanus έγραψε:
loukaz7 έγραψε:Τα αποτελέσματα βγήκαν. ( τουλάχιστον εμένα και όσους ξέρω που περάσαν τους πήραν τηλέφωνο). ΠΗΡΑ ΧΑΛΚΙΝΟ!!!!
Σε όσους δεν πέρασαν θα ήθελα να τους πω να μην στεναχωρηθούν καθόλου. Παραθέτω την δική μου ιστορία για να δείτε πως με προσπάθεια και διάβασμα όλα είναι δυνατά.
Λοιπόν: Είμαι μαθητής της ά λυκείου και πέρυσι ξαναέδωσα στον Αρχιμήδη τον μικρών τότε ( ως μαθητής της ΄γ με πλεονέκτημα) . Τότε δεν πέρασα. Ομολογώ πως στεναχωρήθηκα αρκετά και απογοητεύτηκα λίγο. Όμως ήμουν αποφασισμένος. Ξεκίνησα προετοιμασία από τότε και για έναν ολόκληρο χρόνο δούλεψα με κόπο και ιδρώτα για έναν δύσκολο στόχο: να περάσω στον Αρχιμήδη των Μεγάλων! Και πράγματι όλη η σκληρή δουλειά ανταμείφθηκε με αυτό το μετάλλιο.
Συγχαρητήρια σε όλους όσους διαγωνίστηκαν στον διαγωνισμό αυτό και είναι υπερηφάνεια για την χώρα σε αυτούς τους δύσκολους καιρούς να γίνονται τέτοιες συναντήσεις από πραγματικά κορυφαία μυαλά.
Μπράβο και σε όσους πέρασαν και καλή συνέχεια!!!

Ακριβώς έτσι όπως τα γράφεις είναι. Συγχαρητήρια για την μεγάλη διάκριση και για το πνεύμα σου γενικότερα!!!

Σας ευχαριστώ πολύ και εσάς και γενικότερα ολόκληρο τον κόσμο του mathematica

που αποτέλεσε καίριο παράγοντα της επιτυχίας μου!!!

Κώστας Παππέλης · #14

loukaz7 έγραψε:Τα αποτελέσματα βγήκαν. ( τουλάχιστον εμένα και όσους ξέρω που περάσαν τους πήραν τηλέφωνο). ΠΗΡΑ ΧΑΛΚΙΝΟ!!!!
Σε όσους δεν πέρασαν θα ήθελα να τους πω να μην στεναχωρηθούν καθόλου. Παραθέτω την δική μου ιστορία για να δείτε πως με προσπάθεια και διάβασμα όλα είναι δυνατά.
Λοιπόν: Είμαι μαθητής της ά λυκείου και πέρυσι ξαναέδωσα στον Αρχιμήδη τον μικρών τότε ( ως μαθητής της ΄γ με πλεονέκτημα) . Τότε δεν πέρασα. Ομολογώ πως στεναχωρήθηκα αρκετά και απογοητεύτηκα λίγο. Όμως ήμουν αποφασισμένος. Ξεκίνησα προετοιμασία από τότε και για έναν ολόκληρο χρόνο δούλεψα με κόπο και ιδρώτα για έναν δύσκολο στόχο: να περάσω στον Αρχιμήδη των Μεγάλων! Και πράγματι όλη η σκληρή δουλειά ανταμείφθηκε με αυτό το μετάλλιο.
Συγχαρητήρια σε όλους όσους διαγωνίστηκαν στον διαγωνισμό αυτό και είναι υπερηφάνεια για την χώρα σε αυτούς τους δύσκολους καιρούς να γίνονται τέτοιες συναντήσεις από πραγματικά κορυφαία μυαλά.
Μπράβο και σε όσους πέρασαν και καλή συνέχεια!!!

Φίλε Λουκά μια δεκαετία ακριβώς πριν υπήρχε ένα άτομο που ξέρω και έχει να διηγηθεί την ίδια ιστορία. Εγώ. Η απογοήτευσή μου όταν δε διακρίθηκα στους μικρούς ήταν αβάσταχτη. Βέβαια ήθελα να διακριθώ με την εξυπνάδα μου για παπατζιλίκι, η προετοιμασία μου ήταν ελλιπής. Ευτυχώς που μου συνέβη αυτό τότε, δεν υπήρχε ποτέ περίπτωση να τα πήγαινα τόσο καλά στη συνέχεια χωρίς αυτό το πάθημα. Θέλει ΔΙΑΒΑΣΜΑ ο Αρχιμήδης. Ακόμη και με διάβασμα όμως ας είναι όλοι προετοιμασμένοι για το χειρότερο! Πλέον ο συναγωνισμός είναι τεράστιος, καμία σχέση με 10-15 χρόνια πριν, όπου καμιά 10αριά άτομα για να μην πω 5-6 είχαν αρκετά μεγάλη διαφορά από τους υπόλοιπους. Τα λέω αυτά για όσους μπορεί να αισθάνονται αδικημένοι από ένα αποτέλεσμα που δεν τους δικαίωσε. Αν έχεις τύχει διάβαινε και ριζικό περπάτει. Αλλά.. συν Αθηνά και χείρα κίνει! Και πάλι μπράβο σου φίλε Λουκά.

Ωραία τα θέματα σε γενικές γραμμές, ικανοποιητικής δυσκολίας. Πάντα μου αρέσει να βρίσκομαι εκεί είτε σαν περαστικός είτε σαν επιτηρητής γιατί το βλέπω σαν γιορτή των μαθηματικών και θέλω πάντα να έχω μέσα την ουρά μου. Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες και μη, θα χαρώ να χειροκροτήσω όσους κάνουν την 'πασαρέλα' αύριο στο Πανεπιστήμιο!!

#15

Κώστας Παππέλης έγραψε:....

.... Θέλει ΔΙΑΒΑΣΜΑ ο Αρχιμήδης. Ακόμη και με διάβασμα όμως ας είναι όλοι προετοιμασμένοι για το χειρότερο! Πλέον ο συναγωνισμός είναι τεράστιος, καμία σχέση με 10-15 χρόνια πριν, όπου καμιά 10αριά άτομα για να μην πω 5-6 είχαν αρκετά μεγάλη διαφορά από τους υπόλοιπους. ....

Θερμά Συγχαρητήρια στους διακριθέντες και ιδιαίτερα στον Νίκο Ευγενίδη, μαθητή μας της Β Λυκείου.

Παίρνω αφορμή από το παραπάνω σχόλιο για να προσθέσω ότι η διεθνής βιβλιογραφία σε θέματα μαθηματικών διαγωνισμών είναι τεράστια στις μέρες μας.

Με τι να ασχοληθεί και τι να πρωτοδιαβάσει κανείς! Θέλει διάβασμα! Αλλιώς δεν γίνεται!

(Ούτε κουβέντα για ύλη σε αυτό το επίπεδο....)

Θέλει ταλέντο, ισχυρή θέληση, πειθαρχία και δυνατό χαρακτήρα να μην πελαγώσει και τα παρατήσει κανείς.

Ακόμα, όμως, κι αν δεν έλθει η διάκριση, η μελέτη των μαθηματικών σε αυτό το επίπεδο μόνο να ωφελήσει μπορεί!

Συγχαρητήρια, λοιπόν, και σε όλους τους συμμετέχοντες!

Καλή συνέχεια σε όλους τους διακριθέντες!

Αχιλλέας

Υ.Γ. Με χαρά παρακολουθώ την πορεία του Δημήτριου Μελά, γιού του καθηγητή μας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αντώνη Μελά! Είμαι σίγουρος ότι θα διαπρέψει!

Κορίνα Διγαλάκη · #16

Επιτέλους ανακοινώθηκαν και επισήμως τα αποτελέσματα στην ιστοσελίδα της μαθηματικής εταιρείας..Αν και χαρηκα για τα δικά μου αποτελέσματα θα με χαροποιουσε να έβλεπα μεγαλύτερη εκπροσώπηση των κοριτσιών, αφού ήμουν η μόνη που διακρίθηκε στους μεγάλους..

Σταύρος Σταυρόπουλος · #17

Κορίνα Διγαλάκη έγραψε:Επιτέλους ανακοινώθηκαν και επισήμως τα αποτελέσματα στην ιστοσελίδα της μαθηματικής εταιρείας..Αν και χαρηκα για τα δικά μου αποτελέσματα θα με χαροποιουσε να έβλεπα μεγαλύτερη εκπροσώπηση των κοριτσιών, αφού ήμουν η μόνη που διακρίθηκε στους μεγάλους..

ΘΕΡΜΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ και καλή συνέχεια.

Karanus · #18

socrates έγραψε:Πρόβλημα 4

Το πλήθος των καλών ρόμβων είναι ίσο με το πλήθος όλων των σχηματιζόμενων ρόμβων αν αφαιρέσουμε τα τετράγωνα:

$\displaystyle{\sum_{1\leq k,l\leq n} \min(k,n-k) \min(n, n-l) -\sum_{1\leq k,l\leq n} \min(k,l,n-k,n-l)= }$

$\displaystyle{=\left(\sum_{1\leq k \leq n} \min(k,n-k)\right)^2- \sum_{1\leq k,l\leq n}\min(k,l,n-k,n-l).}$

Το παραπάνω ισούται με

$\displaystyle{\frac{k (k+1)(3k^2-k-2)}{3},}$ για

ενώ με

$\displaystyle{\frac{k (k-1)(3k^2-k-1)}{3},}$ για

Δίνω και σε σχήμα την περίπτωση για n=6 δηλ. "46 καλοί ρόμβοι", για να έχουμε και μια γραφική απεικόνιση αυτού του θέματος.

#19

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που βραβεύτηκαν αλλά και σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στην Εθνική Ολυπιάδα !

Ήμουν το πρωί στην απονομή, χαιρέτησα από κοντά αρκετά από αυτά τα παιδιά, έδωσα βραβεία και ειλικρινά δάκρυσα βλέποντάς τα σε τόσο τρυφερή ηλικία

να σημειώνουν τόσο μεγάλες διακρίσεις , λύνοντας δύσκολα προβλήματα που και εμείς ακόμα οι πτυχιούχοι μαθηματικοί δυσκολευόμαστε να καταλάβουμε !

Οι απονομές βέβαια σου προσδίδουν και μια γεύση μελαγχολίας όταν σκέφτεσαι το μέλλον αυτών των χαρισματικών παιδιών, ειδικά αν αναλογιστείς ότι τα

περισσότερα θα ζήσουν σε ξένες πατρίδες και όχι κάτω από την Ελληνικό γαλάζιο ουρανό, κάτω από τον ευλογημένο ήλιο που ενέπνευσε τόσους Έλληνες και

έμειναν για τις σκέψεις ή τις ιδέες τους αθάνατοι .

Είναι όμως πάντα στο χέρι μας να κάνουμε την υπέρβαση και να δηγμιουργήσουμε συνθήκες ώστε όλα αυτά τα παιδιά να ξαναγυρίσουν μετά τις σπουδές τους

πίσω και να δοξάσουν την πατρίδα που τα γαλούγησε και τα ενέπνευσε στα πρώτα τους αυτά σημαντικά βήματα, στο πρώτο ταξίδι της γνώσης και της

διάκρισης.

Μπ

S.E.Louridas · #20

Ειλικρινή συγχαρητήρια στους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό Αρχιμήδης της Ε.Μ.Ε. Καλή συνέχεια στους επιτυχόντες. Όμως θλίβομαι βαθύτατα σκεπτόμενος την φυγή των ταλέντων αυτών αργότερα από την πατρίδα και ακόμα περισσότερο στην σκέψη ότι τα επιστημονικά τους συμπεράσματα ίσως να μην έχουν ποτέ το Ελληνικό Copyright παρά μόνο ένα Ελληνικό επώνυμο πίσω από ένα ξένο Copyright κράτους πιθανά εχθρού της πατρίδας και όχι μόνο. Τι να συμβαίνει τελικά και επί της ουσίας; Μήπως επειδή ο καθένας από εμάς θεωρεί ότι φταίνε όλοι οι άλλοι εκτός από τον ίδιο; Μήπως μεμονωμένες ομάδες εξ ημών πιστεύουν ότι φταίνε όλοι οι άλλοι εκτός από αυτές; Μήπως επειδή τα δείγματα γραφής των ειδικών είναι αν-αντίστοιχα προς τους εγκάθετους ρόλους που παίζουν; Μήπως,..., Μήπως, ..., Μήπως,... Πάντως ένα είναι το σίγουρο: ΤΑ ΠΑΙΔΙΆ ΕΊΝΑΙ ΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΊΑ ΠΟΥ ''ΦΤΑΊΝΕ " . Μήπως τελικά η σκοπιμότητα και οι πολλές λέξεις χωρίς παραγωγή λόγου, δολοφονούν την αναγκαιότητα με αποτέλεσμα κανείς σε αυτή τη πατρίδα να μην εμπνέει τα παιδιά αυτά;

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Μέλη σε σύνδεση