Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

ealexiou · #401

KARKAR έγραψε:Άσκηση 147
Το συνημμένο Άσκηση 146.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο με διαστάσεις , πήραμε τέσσερα

τυχαία σημεία , ανά στις πλευρές αντίστοιχα .

Δείξτε ότι η περίμετρος του τετραπλεύρου δεν "πέφτει" κάτω από .

Λήμμα: Η περίμετρος του τετραπλεύρου PQST

γίνεται ελάχιστη όταν τα σημεία P,Q,S,T

σχηματίζουν παραλληλόγραμμο με πλευρές παράλληλες προς τις διαγωνίους του ορθογωνίου (διαδρομή της μπίλιας του μπιλιάρδου που επιστρέφει στο σημείο αφετηρίας) και ισούται με την περίμετρο του ρόμβου που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών AB,BC,CD,DA

του ορθογωνίου ABCD

.
Οπότε περίμετρος $\Pi_{min}=4\sqrt{2^2+\dfrac{7.5^2}{4}}=17$

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 147.png (28.01 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Με την μέθοδο του μπιλιάρδου, φαίνεται καθαρά στο σχήμα, ότι η $\Pi$ ερίμετρος

του $PQST =PQ+QS+ST+TP>ZS+SE=ES+SH\geq EH$ .

Όμως $EH=\sqrt{EZ^2+ZH^2}= \sqrt{2x+15-2x)^2+8^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}$ ,

άρα EH=17

, οπότε $\Pi_{min}=17$

Παρατήρηση: Η μικρότερη περίμετρος τετραπλεύρου PQST

με αφετηρία τυχαίο σημείο

πάνω σε μια πλευρά του ορθογωνίου είναι ίση με την...διαδρομή της μπίλιας του μπιλιάρδου που επιστρέφει στο σημείο αφετηρίας και ισούται με την περίμετρο του ρόμβου που σχηματίζουν τα μέσα των πλευρών του ορθογωνίου, ίσο με δύο φορές την διαγώνιο του ορθογωνίου.

edit: Πρόσθεσα την αιτιολόγηση του λήμματος (ή αυτό που θεωρώ αιτιολόγηση), που είχα ξεχάσει και το θύμισε ο Θανάσης, και βελτίωσα την διατύπωση του λήμματος.

KARKAR · #402

Άσκηση 148

: Άσκηση 148.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

, ορθογωνίου ABCD

, διαστάσεων $a\times b$ .

Στην προέκταση της

παίρνουμε τμήμα DP=DS

. Σχεδιάζουμε σοσκελές

και ορθογώνιο τρίγωνο SBQ

. Δείξτε ότι το μέσο

του

παραμένει σταθερό .

#403

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#404

KARKAR έγραψε:Άσκηση 148
Άσκηση 148.png
Σημείο κινείται στην πλευρά , ορθογωνίου , διαστάσεων $a\times b$ .

Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα . Σχεδιάζουμε σοσκελές

και ορθογώνιο τρίγωνο . Δείξτε ότι το μέσο του παραμένει σταθερό .

Με Αναλυτική: Αν $B(a,0), \, D(0,b), \, S(b,s)$ όπου

η αρχή των αξόνων, τότε εύκολα βλέπουμε ότι $P(0,b+s), \, Q(a+b, a-s)$ . Άρα το μέσον

είναι το

$M\left (\frac {a+b}{2} , \, \frac {a+b}{2} \right )$ , που είναι ανεξάρτητο του

.

ealexiou · #405

KARKAR έγραψε:Άσκηση 148
Το συνημμένο Άσκηση 148.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται στην πλευρά , ορθογωνίου , διαστάσεων $a\times b$ .

Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα . Σχεδιάζουμε σοσκελές

και ορθογώνιο τρίγωνο . Δείξτε ότι το μέσο του παραμένει σταθερό .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 148.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Είναι $\triangle SS'B=\triangle BQ'Q$ (αφού SB=BQ

και $\angle BQQ'=90°-\angle QBQ'=\angle SBS')$
$\Rightarrow BQ'=SS'=b \wedge QQ'=S'B=a-x \Rightarrow AQ'=a+b$ , οπότε:

$AM'=\dfrac{AQ'}{2}=\dfrac{a+b}{2} \wedge MM'=\dfrac{PA+QQ'}{2}=\dfrac{a-x+b+x}{2}=\dfrac{a+b}{2}$

S.E.Louridas · #406

KARKAR έγραψε:
george visvikis έγραψε:Άσκηση 146

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με εμβαδόν , αν γνωρίζουμε ότι

οι πλευρές του διέρχονται από τέσσερα σταθερά σημεία .

Η τομή της κόκκινης ευθείας e_1

που προσδιορίζεται από τα δεδομένα (αφού το γινόμενο $PF\cdot TT'=k^2=2(PT'FT)=2(PQFT)$ είναι σταθερό) με τον κόκκινο κύκλο

δίνει το σημείο

...
Θα επανέλθω αν χρειαστεί για τις λεπτομέρειες της όμορφης αυτής κατασκευής.

edit: Απλά τονίστηκε η εκφώνηση

Φανης Θεοφανιδης · #407

Άσκηση 149

Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και το ορθογώνιο $B\Gamma \Delta E$ .
Αποδείξτε ότι οι κάθετες από τα $\Delta$ και

στις

και $A\Gamma$
αντίστοιχα, τέμνονται επί του ύψους που διέρχεται από το σημείο

.

#408

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Άσκηση 149

Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και το ορθογώνιο $B\Gamma \Delta E$ .
Αποδείξτε ότι οι κάθετες από τα $\Delta$ και στις και $A\Gamma$
αντίστοιχα, τέμνονται επί του ύψους που διέρχεται από το σημείο .

: Ορθογώνια.149.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Έστω

το ύψος του τριγώνου ABC

και

το ορθόκεντρο. Φέρνω EK//BH

(

σημείο του ύψους

). Το

είναι παραλληλόγραμμο, άρα BE=KH

, οπότε και το CDKH

είναι παραλληλόγραμμο, αφού CD//=KH

.
Επομένως οι DK, EK

είναι κάθετες στις AB, AC

αντίστοιχα και τέμνονται πάνω στο ύψος

.

ealexiou · #409

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Άσκηση 149

Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και το ορθογώνιο $B\Gamma \Delta E$ .
Αποδείξτε ότι οι κάθετες από τα $\Delta$ και στις και $A\Gamma$
αντίστοιχα, τέμνονται επί του ύψους που διέρχεται από το σημείο .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #410

Άσκηση 150

: Άσκηση 150.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

είναι

και στο εσωτερικό του σχεδιάσαμε τα ορθογώνια

τρίγωνα APB

με

και

με

και φέραμε τμήμα $ST \perp AP$ .

α) Δείξτε ότι ST=PB

και

...β) ( Για μελέτη ) : Μπορείτε να βρείτε ένα τέτοιο

ορθογώνιο του οποίου και τα

σημεία που εμφανίζονται , να έχουν ακέραιες συντεταγμένες ?

#411

KARKAR έγραψε:Άσκηση 150
Το συνημμένο Άσκηση 150.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο είναι και στο εσωτερικό του σχεδιάσαμε τα ορθογώνια

τρίγωνα με και με και φέραμε τμήμα $ST \perp AP$ .

α) Δείξτε ότι και ...β) ( Για μελέτη ) : Μπορείτε να βρείτε ένα τέτοιο

ορθογώνιο του οποίου και τα σημεία που εμφανίζονται , να έχουν ακέραιες συντεταγμένες ?

Καλό μεσημέρι .

για το β .

Υπάρχουν άπειρα . ιδού ένα

: Ορθογώνια (KARKAR) _150.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Φιλικά Νίκος

#412

KARKAR έγραψε:Άσκηση 150
Το συνημμένο Άσκηση 150.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο είναι και στο εσωτερικό του σχεδιάσαμε τα ορθογώνια

τρίγωνα με και με και φέραμε τμήμα $ST \perp AP$ .

α) Δείξτε ότι και ...β) ( Για μελέτη ) : Μπορείτε να βρείτε ένα τέτοιο

ορθογώνιο του οποίου και τα σημεία που εμφανίζονται , να έχουν ακέραιες συντεταγμένες ?

Ένα ορθογώνιο που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του β) ερωτήματος:

: Ορθογώνια.150.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Νίκος( Γεια σου Νίκο). Το αφήνω για τον κόπο.

#413

KARKAR έγραψε:Άσκηση 150
Το συνημμένο Άσκηση 150.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο είναι και στο εσωτερικό του σχεδιάσαμε τα ορθογώνια

τρίγωνα με και με και φέραμε τμήμα $ST \perp AP$ .

α) Δείξτε ότι και

: Ορθογώνια.150.α.png (19.6 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Έστω

το σημείο τομής της

με το ημικύκλιο διαμέτρου AB=2b

και

.
$\displaystyle{{b^2} = y \cdot BD = by\sqrt 5 \Leftrightarrow y = \frac{{b\sqrt 5 }}{5}}$ , απ' όπου επιβεβαιώνεται κατασκευαστικά ότι AS=2SD

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \frac{1}{3},\varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \varepsilon \varphi (\omega + \varphi ) = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{6}}} = 1 \Leftrightarrow \omega + \varphi = {45^0} = S\widehat KA}$

Άρα: ST=AT=TK=KP=PB=x

Από νόμο ημιτόνων στο CPB

με $\displaystyle{C\widehat BP = \omega ,C\widehat PB = {135^0}}$ :

$\displaystyle{\frac{{CP}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{b}{{\eta \mu {{135}^0}}} \Leftrightarrow CP = \frac{{b \cdot \frac{1}{{\sqrt {10} }}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{b}{{\sqrt 5 }} = DS}$

KARKAR · #414

Άσκηση 151

: Άσκηση 151.png (6.56 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

. Αν η διχοτόμος

της γωνίσς $\widehat{MBC}$ , διέρχεται από το μέσο

της

, υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

ealexiou · #415

KARKAR έγραψε:Άσκηση 151
Το συνημμένο Άσκηση 151.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν η διχοτόμος

της γωνίσς $\widehat{MBC}$ , διέρχεται από το μέσο της , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 151.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Αφού

διχοτόμος της $\angle MBC \equiv \angle SBC$ άρα $\dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{4a^2+b^2}}{b} \Rightarrow .... \Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{a}{b}=\sqrt{2}}$

#416

KARKAR έγραψε:Άσκηση 151
Το συνημμένο Άσκηση 151.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν η διχοτόμος

της γωνίσς $\widehat{MBC}$ , διέρχεται από το μέσο της , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

Καλησπέρα στους Θανάση και Ευθύμη .

Καλησπέρα σε όλους.

: Ορθογώνια (KARKAR) _151.png (14.49 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Αν

η προβολή του

στην

, αυτή (η

) θα εφάπτεται του κύκλου $(N,\dfrac{a}{2})$ .

Από το Π. Θ. στο τρίγωνο AMB

, έχουμε: $B{M^2} = A{B^2} + M{A^2}$ , δηλαδή , $\dfrac{{9{b^2}}}{4} = {a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{\dfrac{a}{b} = \sqrt 2 }$ .

Φιλικά Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #417

KARKAR έγραψε:Άσκηση 151
Το συνημμένο Άσκηση 151.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν η διχοτόμος

της γωνίσς $\widehat{MBC}$ , διέρχεται από το μέσο της , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

Καλησπέρα...

Με $\displaystyle{NK \bot AB \Rightarrow E}$ μέσον της $\displaystyle{MB}$ και $\displaystyle{\vartriangle NEB}$ ισοσκελές

οπότε $\displaystyle{ME = EB = NE \Rightarrow \angle NMB = {90^0} \Rightarrow MNBA}$ εγγράψιμο με $\displaystyle{DN}$ εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου του κύκλου

$\displaystyle{D{N^2} = DM \cdot DA \Rightarrow \frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \frac{b}{2} \cdot b \Rightarrow \boxed{\frac{\alpha }{b} = \sqrt 2 }}$

: a151.png (35.69 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

sakis1963 · #418

KARKAR έγραψε:Άσκηση 151
Άσκηση 151.png
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν η διχοτόμος

της γωνίσς $\widehat{MBC}$ , διέρχεται από το μέσο της , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

Ασκηση 151

... και μια τριγωνομετρική ...

αφού $tanx=\dfrac{a}{2b}$ έχουμε

$\dfrac{2a}{b}=cot(90-2x)=tan2x=\dfrac{2tanx}{1-tan^2x}=\dfrac{2(a/2b)}{1-(a/2b)^2}$ απόπου $\dfrac{a}{b}=\sqrt2$

sakis1963 · #419

Ασκηση 152

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.152.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος τα AS, DT

είναι εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων (B, b), (A, a-b)

Αν

είναι συνευθειακά βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

sakis1963 · #420

Ασκηση 153

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.153.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος τα AS, DT

είναι εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων (B, a/2), (A, a/2)

Αν $TS \parallel AB$ βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση