Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

sakis1963 · #241

Ασκηση 88

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.88.png (7.27 KiB) Προβλήθηκε 1232 φορές

Εστω ορθογώνιο ABCD

με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{b}=\lambda$ και

σημείο της

τέτοιο ώστε το κέντρο

του περίκυκλου του ALC

να ανήκει στην

.

α. υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(AKLD)}{(BKLC)}$ συναρτήσει του $\lambda$ και

β. βρείτε την τιμή του $\lambda$ ώστε (AKLD)=(BKLC)

#242

KARKAR έγραψε:Άσκηση 86
Το συνημμένο Άσκηση 86.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δεν θα δυσκολευτείτε να διαιρέσετε ορθογώνιο σε τρεις ισεμβαδικές περιοχές , όπως

φαίνεται στο σχήμα . Αλλά στο συγκεκριμένο ορθογώνιο απαιτούμε $DS\perp AC$ . Άρα $\dfrac{b}{a}=?$

: Ορθογώνια (KARKAR) _86.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 1228 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x: = \frac{{2a}}{3} \hfill \\ u: = \sqrt {{x^2} + {b^2}} \hfill \\ h: = \frac{{bx}}{{\sqrt {{b^2} + {x^2}} }} \hfill \\ d: = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Απαιτούμε : $\boxed{(d - 2h)u = \frac{{ab}}{3}}$ και μας δίδει $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}}$ .

( τέρμα τα καψώνια, δουλεύει ο αυτόματος πιλότος)

Ν.

KARKAR · #243

Άσκηση 89

: Άσκηση 89.png (6.91 KiB) Προβλήθηκε 1205 φορές

Σημείο

κινείται επί της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

. Η μεσοκάθετος του

τέμνει τις πλευρές AB,AD

στα σημεία Q,P

. Υπολογίστε τις ακρότατες τιμές του (APQ)

.

Αν

και το

μεγιστοποιείται δύο φορές , βρείτε ( όπως θέλετε) την πλευρά

.

#244

KARKAR έγραψε:Άσκηση 87
Το συνημμένο Άσκηση 87.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Χορδή , με μέσο , κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου , ώστε $ST \parallel AB$ .

Γράφω τους κύκλους που διέρχονται από τα και και έχουν κέντρα .

Φέρω κάθετα στην . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

: Ορθογώνια.87.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

$\displaystyle{OS = OT = \frac{d}{2}}$ και $\displaystyle{(KLMN) = KL \cdot KN = \frac{{ST}}{2} \cdot \frac{{OP}}{2}}$ , άρα το (KLMN)

μεγιστοποιείται

όταν μεγιστοποιείται και το (OST)

, που σημαίνει ότι το OST

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Άρα: $\boxed{{(KLMN)_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{{16}}}$

#245

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 88
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.88.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εστω ορθογώνιο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{b}=\lambda$ και σημείο της τέτοιο ώστε το κέντρο του περίκυκλου του να ανήκει στην .

α. υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(AKLD)}{(BKLC)}$ συναρτήσει του $\lambda$ και

β. βρείτε την τιμή του $\lambda$ ώστε

Έστω

, οπότε $\displaystyle{KB = \lambda b - d,LC = 2\lambda b - 2d}$

και από Π. Θ στο KBC

, βρίσκω: $\boxed{d = \frac{{b({\lambda ^2} + 1)}}{{2\lambda }}}$ (1)

: Ορθογώνια.88.png (9.53 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές

α) $\displaystyle{\frac{{(AKLD)}}{{(BKLC)}} = \frac{{AK + DL}}{{BK + LC}} = \frac{{3d - \lambda b}}{{3(\lambda b - d)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{\frac{{(AKLD)}}{{(BKLC)}} = \frac{{{\lambda ^2} + 3}}{{3({\lambda ^2} - 1)}}}$

β) $\displaystyle{{\lambda ^2} + 3 = 3({\lambda ^2} - 1)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda > 0} }$ $\boxed{\lambda=\sqrt{3}}$

sakis1963 · #246

Ασκηση 90

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.90.png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 1160 φορές

Εστω ορθογώνιο ABCD

και

τα μέσα των πλευρών του AB, BC, CD, AD

αντίστοιχα.

Ο κύκλος που διέρχεται από τα A, K

και έχει το κέντρο του

, στην

τέμνει τις MN, CD, AD

στα

αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:

a. QT, AP, LK

συντρέχουν (έστω στο

).

b. $QT\perp AP$

c. $DS\perp AC$

KARKAR · #247

Άσκηση 91

: Άσκηση 90.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 1158 φορές

Στο εσωτερικό ορθογωνίου ABCD

με διαστάσεις a,b , (b<a<2b)

, γράφουμε

ημικύκλια με διαμέτρους AB , DC

τα οποία τέμνονται στα σημεία S,T

και φέρουμε

τη μεσοκάθετο του

η οποία τέμνει τα ημικύκλια στα M,N

.

Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ αν α) $\dfrac{MN}{ST}=\dfrac{1}{3}$ , β) $\dfrac{MN}{ST}=\dfrac{1}{2}$

sakis1963 · #248

KARKAR έγραψε:Άσκηση 91
Το συνημμένο Άσκηση 90.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό ορθογωνίου με διαστάσεις , γράφουμε

ημικύκλια με διαμέτρους τα οποία τέμνονται στα σημεία και φέρουμε

τη μεσοκάθετο του η οποία τέμνει τα ημικύκλια στα .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ αν α) $\dfrac{MN}{ST}=\dfrac{1}{3}$ , β) $\dfrac{MN}{ST}=\dfrac{1}{2}$

Ασκηση 91

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.91.png (41.58 KiB) Προβλήθηκε 1129 φορές

Λόγω συμμετρίας η

είναι μεσοπαράλληλη των AB, CD

οπότε $KL=\dfrac{b}{2}$

Εύκολα MN=a-b

και από Π.Θ. $(\dfrac{ST}{2})^2=(\dfrac{a}{2})^2-(\dfrac{b}{2})^2$ απόπου $ST=\sqrt{a^2-b^2}$ .

Αρα $\dfrac{MN}{ST}=\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}$ οπότε για το α. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{4}$ και για το β. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{3}$

Σάκης

KARKAR · #249

Άσκηση 92

: Άσκηση 92.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Σημεία

κινούνται επί των πλευρών BC,CD

αντίστοιχα , ορθογωνίου ABCD

,

διαστάσεων a,b

, ώστε να είναι $PS\perp AS$ . α) Βρείτε το μέγιστο του τμήματος

.

β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της διαφοράς AP-PC

.

#250

KARKAR έγραψε:Άσκηση 92
Το συνημμένο Άσκηση 92.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημεία κινούνται επί των πλευρών αντίστοιχα , ορθογωνίου ,

διαστάσεων , ώστε να είναι $PS\perp AS$ . α) Βρείτε το μέγιστο του τμήματος .

β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της διαφοράς .

Καλημέρα.

: Ορθογώνια.92.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

α) Έστω

. Από τα όμοια τρίγωνα PCS, SBA

έχουμε $\displaystyle{x = \frac{1}{a}\left( {by - {y^2}} \right)}$ , που ως τριώνυμο (ελλιπές) παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle{{y_0} = \frac{b}{2}}$ ίσο με $\boxed{{x_{\max }} = \frac{{{b^2}}}{{4a}}}$

β) Για τη μέγιστη τιμή του

έχουμε την ελάχιστη τιμή του AP-PC

(δεν ξέρω αν χρειάζεται τεκμηρίωση εδώ), οπότε υπολογίζοντας με Π. Θ το

, εύκολα παίρνουμε $\boxed{{(AP - PC)_{\min }} = a}$

#251

KARKAR έγραψε:Άσκηση 92
Το συνημμένο Άσκηση 92.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημεία κινούνται επί των πλευρών αντίστοιχα , ορθογωνίου ,

διαστάσεων , ώστε να είναι $PS\perp AS$ . α) Βρείτε το μέγιστο του τμήματος .

β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της διαφοράς .

Αλλιώς το β)

: Ορθογώνια.92.β.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Έστω

τα μέσα των BC, AP

αντίστοιχα. $\displaystyle{NS \ge NM}$ με την ισότητα να ισχύει όταν το

γίνει μέσο του

. Αλλά,

είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου PSA

και

η διάμεσος του

τραπεζίου ABCP

, οπότε: $\displaystyle{\frac{{AP}}{2} \ge \frac{{a + PC}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AP - PC \ge a}$

KARKAR · #252

Άσκηση 93

: Άσκηση 93.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

Από το μέσο

της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

, φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα

προς το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου

.

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν τα σημεία A,S,C

είναι συνευθειακά .

#253

KARKAR έγραψε:Άσκηση 93
Το συνημμένο Άσκηση 93.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου , φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα προς το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου .

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν τα σημεία είναι συνευθειακά .

: Ορθογώνια (KARKAR) _93.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Ν.

Άρση απόκρυψης.

STOPJOHN · #254

KARKAR έγραψε:Άσκηση 93
Το συνημμένο Άσκηση 93.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου , φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα προς το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου .

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν τα σημεία είναι συνευθειακά .

Kαλημέρα

Θεωρώ την γωνία $\hat{SBA }=\hat{\omega }$ ,συνεπώς είναι

$\hat{MSA}=\hat{\omega }=\hat{CST}=\hat{SCT}=\hat{OSB}, \hat{TSB}=\hat{SBT}=90^{0}-\omega ,ST=TB=TB, MS^{2}=b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4},(1), 2MT=DB\Leftrightarrow 2MS+2ST=\sqrt{a^{2}+b^{2}},(2), (1),(2)\Rightarrow \sqrt{4-x^{2}}+1=\sqrt{x^{2}+1},x=\dfrac{a}{b}, x=\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$

Γιάννης

#255

KARKAR έγραψε:Άσκηση 93
Το συνημμένο Άσκηση 93.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου , φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα προς το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου .

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν τα σημεία είναι συνευθειακά .

: Ορθογώνια (KARKAR) _93_1.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των ευθειών $MS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Δεχόμενοι ότι τα σημεία A,S,C

ανήκουν στην ίδια ευθεία , στο ορθογώνιο τρίγωνο SBC

,

με

ως εφαπτόμενα τμήματα στο ημικύκλιο, αναγκαστικά το

μέσο της υποτείνουσάς του .

επειδή τώρα $\widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega$ ( κάθετες πλευρές) και $\widehat {{\theta _2}} = \widehat \omega$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης),

στο ορθογώνιο τρίγωνο NST

η

εξωτερική διχοτόμος και κατά συνέπεια η

εσωτερική .

Από την αρμονική αναλογία : $\dfrac{{BN}}{{BT}} = \dfrac{{AN}}{{AT}}$ κι επειδή : $BT = MC = AO = R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NB = x$ θα προκύψει : $\dfrac{x}{R} = \dfrac{{2R - x}}{{3R}} \Rightarrow \boxed{2x = R}$ .

Δηλαδή $\boxed{\widehat \omega = 60^\circ }$ . Η κατασκευή του ορθογωνίου ABCD

και το ότι $a = \sqrt 3 b$ , απλές διαδικασίες.

Ν.

#256

Άσκηση 94

: Ορθογώνια.94.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

, με

και έστω

τα έγκεντρα των

τριγώνων ABD, ABC, BCD, ADC

αντίστοιχα. Αν (ABCD)=6(KLMN)

, να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{a}{b}}$

Ηλιας Φραγκάκος · #257

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ στο οποίο είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας $\hat{A}$ και της από το $\Gamma$ καθέτου στην $B\Delta$ . Δείξτε ότι $B\Delta =\Gamma K$ .

ΚΥΡΙΑΚΟΣ
Καλησπέρα κ. Φάνη.
Βγαίνουν ίσα τα κόκκινα τρίγωνα και αφού οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες, είναι ίσες και οι ζητούμενες. Να βάλω και λόγια:
$\angle DEB = \angle DZK = 135^0$
BZ=BE

κάθετες πλευρές τριγώνου με γωνίες 45^0

$\angle DBE = \angle ZBK = \angle LBC = \angle DCA = \angle CAB = \hat r$ , όπου $\hat r$ είναι η συμπληρωματική της $\hat s$ , όπως φαίνεται και στο σχήμα.

KARKAR · #258

Άσκηση 94

george visvikis έγραψε:

94.png (5.64 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

Δίνεται ορθογώνιο , με και έστω τα έγκεντρα των

τριγώνων αντίστοιχα. Αν , να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{a}{b}}$

Γιώργο , διάλεξες τον προκλητικά προφανή λόγο $\dfrac{4}{3}$ .
Η ακτίνα του εγκύκλου ορθογωνίου ABD

είναι : $r=\dfrac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ .

Τώρα θέλουμε $(a-2r)(b-2r)=\dfrac{ab}{6}$ . Εξισώνοντας ( και παραλείποντας τις

ενδιάμεσες πράξεις ) , προκύπτει ο ζητούμενος λόγος .

KARKAR · #259

Άσκηση 95

: Άσκηση 95.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος το

είναι σταθερό σημείο της

, ενώ

το

κινείται επί της

. Φέρω τα κάθετα προς τις AS , BS

τμήματα

αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι γωνίες $\widehat{APT} , \widehat{SQT}$ είναι ίσες .

S.E.Louridas · #260

ΑΣΚΗΣΗ 95.

Θεωρώ ότι στο σχήμα που ακολουθεί εμπεριέχεται άμεσα η λύση.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση