Που είναι το λάθος;

#1

Καλησπέρα και χρόνια πολλά με υγεία για όλους!
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}\sin \frac{1}{x},x \ne 0}\\ {0,x = 0} \end{array}} \right.}$
Ως γνωστόν (δεν είναι εκεί το θέμα μας) έχουμε πως η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη για κάθε πραγματικό αριθμό.
Εργαζόμενοι στο [0,x]

ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ και έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{{\xi _x} \in \left( {0,x} \right)}$ τέτοιος ώστε:
$\displaystyle{f'({\xi _x}) = \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} \Leftrightarrow 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = x\sin \frac{1}{x} \Rightarrow \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}}$

Όμως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}} \right) = 0}$ αφού όταν $\displaystyle{x \to 0 \Rightarrow {\xi _x} \to 0}$ (ως γινόμενο μηδενικών επί φραγμένων συναρτήσεων)

Επομένως θα είναι και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = 0}$ .

Όμως γνωρίζουμε πως το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{{{\xi _x}}}}$ γενικότερα ΔΕΝ υπάρχει.
Υπάρχει λάθος κατά τη γνώμη σας και αν ναι εντοπίστε το!

Christos.N · #2

Χρήστο εύστοχο πολύ...

Για εκείνες τις υπακολουθίες που τείνουν στο μηδέν στην απόδειξη σου φαίνεται ότι ισχύει.

Άρα ένα από τα πολλά ενδεχόμενα που μπορεί να συμβαίνει είναι : $\displaystyle{{\xi _x} = \xi \left( x \right) = \frac{1}{{x+2k\pi + \frac{\pi }{2}}},k \in {Z^ + } \cup \{ 0\} }$

#3

Επαναφορά!

#4

Christos.N έγραψε: Άρα ένα από τα πολλά ενδεχόμενα που μπορεί να συμβαίνει είναι : $\displaystyle{{\xi _x} = \xi \left( x \right) = \frac{1}{{x+2k\pi + \frac{\pi }{2}}},k \in {Z^ + } \cup \{ 0\} }$

Αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει γιατί πρέπει $\xi(x)\rightarrow 0$ όταν $x\rightarrow 0.$

Όσον αφορά την ερώτηση τώρα. Το πρόβλημα εντοπίζεται στο τέλος: Δηλαδή είναι λάθος να πούμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\cos\frac{1}{\xi (x)}=\lim_{h\rightarrow 0}\cos\frac{1}{h}$ διότι η συνάρτηση $\xi(x)$ δεν είναι αναγκαστικά συνεχής, οπότε έχουμε πρόβλημα στην αλλαγή μεταβλητής όταν δεν υπάρχει το όριο.

#5

Σιλουανέ ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Πρέπει να ισχύει κάποια ισχυρή προϋπόθεση για τη σύγκλιση. Αν π.χ
ήταν γνωστό πως η ξ(x) είναι μονότονη συνάρτηση θα είμασταν οκ και λόγω του φραγμενου ή θα είχαμε πρόβλημα;

#6

Χαιρετώ και καλή χρονιά.

Νομίζω ότι η συνέχεια της συνάρτησης $\xi$ δεν είναι το πρόβλημα.

Το πρόβλημα είναι ότι αφού το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{{{\xi _x}}}}$ ΔΕΝ υπάρχει,

δεν μπορεί να εφαρμοσθεί η αντικατάσταση.

#7

Καλημέρα.
Νομίζω πως τελικά το πρόβλημα είναι στη φύση των ξ(χ) και στον ορισμό του ορίου. Δεν ξέρουμε τίποτα για αυτά
παρά μόνο πως έχουν εκείνη την ιδιότητα απο το Θ.Μ.Τ.

makisman · #8

καλημέρα,
εχω την αισθηση οτι το πρόβλημα δημιουργείται από τη στιγμή που το ξ(χ) του ΘΜΤ δημιουργεί μια ακολουθία τιμών που τείνει στο 0 αλλά όχι για κάθε ακολουθία που τείνει στο 0.

#9

Καλημέρα makisman. Πάνω κάτω το ίδιο λέμε. Μάλιστα δεν ξέρω αν είναι εφικτό να δεις ποιά είναι η συμπεριφορά του ξ(χ).

#10

Christos.N έγραψε:Χρήστο εύστοχο πολύ...

Για εκείνες τις υπακολουθίες που τείνουν στο μηδέν στην απόδειξη σου φαίνεται ότι ισχύει.

Άρα ένα από τα πολλά ενδεχόμενα που μπορεί να συμβαίνει είναι : $\displaystyle{{\xi _x} = \xi \left( x \right) = \frac{1}{{x+2k\pi + \frac{\pi }{2}}},k \in {Z^ + } \cup \{ 0\} }$

Χρήστο, χρόνια πολλά! Καλή Χρονιά!

Μάλλον θες να δηλώσεις ότι τελικά καθένα από τα $\displaystyle{{\xi _x} = \xi \left( x \right) }$ , είναι πολύ κοντά ή συμπίπτει με κάποιο από τα $\displaystyle{ \frac{1}{{2k\pi + \frac{\pi }{2}}},k \in {Z } }$

Κατάλαβα καλά την σκέψη σου;

Christos.N · #11

Ναι Κώστα εννοώ (εικάζω) ότι καθώς το $\displaystyle{x \to 0}$ υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k}$ τέτοιος ώστε: $\displaystyle{{\xi _x} = \frac{1}{{x + 2k\pi + \frac{\pi }{2}}}}$

Έτσι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \left( {x + 2k\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = 0}$

προφανώς $\displaystyle{\xi = \xi \left( {k,x} \right)}$

BRAHMA · #12

Καθώς μεταβάλλεται το

,υπάρχει τουλάχιστον ένα , $\xi (x)$ που …

Έχουμε αντιστοιχία αλλά όχι άρον-άρον μονότιμη .

Τα $\xi$ έχουν εξάρτηση από το

αλλά δεν είναι συνάρτηση του

.

Κατά την γνώμη μου δεν μπορούμε τίποτα να πούμε

(τουλάχιστον στα πλαίσια της σχολικής ύλης ) για όριο .

Αν κάτι δεν κατάλαβα καλά , διορθώστε με .

BRAHMA

#13

Christos.N έγραψε:Ναι Κώστα εννοώ (εικάζω) ότι καθώς το $\displaystyle{x \to 0}$ υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k}$ τέτοιος ώστε: $\displaystyle{{\xi _x} = \frac{1}{{x + 2k\pi + \frac{\pi }{2}}}}$

Χρήστο έχουμε αποδείξει ότι όταν $x\rightarrow 0$ τότε και $\xi(x)\rightarrow 0.$ Τα $\xi(x)$ που δίνεις παραπάνω δεν έχουν αυτή την ιδιότητα.

Christos.N · #14

smar έγραψε:
Christos.N έγραψε:Ναι Κώστα εννοώ (εικάζω) ότι καθώς το $\displaystyle{x \to 0}$ υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k}$ τέτοιος ώστε: $\displaystyle{{\xi _x} = \frac{1}{{x + 2k\pi + \frac{\pi }{2}}}}$
Χρήστο έχουμε αποδείξει ότι όταν $x\rightarrow 0$ τότε και $\xi(x)\rightarrow 0.$ Τα $\xi(x)$ που δίνεις παραπάνω δεν έχουν αυτή την ιδιότητα.

Christos.N έγραψε:υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k}$ τέτοιος ώστε: $\displaystyle{{\xi _x} = \frac{1}{{x + 2k\pi + \frac{\pi }{2}}}}$

#15

Καλημέρα. Αυτό πως το στηρίζετε;

BRAHMA έγραψε:
Έχουμε αντιστοιχία αλλά όχι άρον-άρον μονότιμη

Ούτε αυτό που λέτε το καταλαβαίνω. Μπορείτε να είστε σαφεστερος;

BRAHMA έγραψε:
Τα $\xi$ έχουν εξάρτηση από το αλλά δεν είναι συνάρτηση του .

Εδώ χωρίς παρεξήγηση είστε εκτός θέματος. Ο φακελος που έχω θέσει το θέμα δεν έχει σχέση με τη σχολική ύλη, έχει σχέση με την κατάρτισή μας.

BRAHMA έγραψε: Κατά την γνώμη μου δεν μπορούμε τίποτα να πούμε

(τουλάχιστον στα πλαίσια της σχολικής ύλης ) για όριο .

S.E.Louridas · #16

Καλημέρα.
Αν μου επιτρέπεται να αναφερθώ στο ότι το πολύ καλό αυτό θέμα που έβαλε ο Χρήστος, είναι το κλασικό θέμα που ως παράδειγμα δείχνει ότι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν δίνει πάντα παράγωγο συνεχή. Μία απόδειξη σαφώς και είναι με βάση την κατάλληλη επιλογή ακολουθιών για την μη ύπαρξη του ορίου του συνημιτόνου ενός τόξου, όταν το τόξο τείνει στο άπειρο. Θα ήθελα να ρωτήσω τώρα γιατί μιλάμε για εργασία με βάση το ΘΜΤ στο [0, x]

και όχι ας πούμε στο [0,a]

για κάποιο συγκεκριμένο θετικό

; Γιατί όταν εργαστούμε στο [0, x]

για τυχόντα εννοείται θετικό

τότε θα πρέπει να μιλήσουμε για αντίστοιχο εσωτερικό του σημείο κτλ. Αυτά σε πρώτες σκέψεις και μόνο. Πάντως όταν το

του διαστήματος [0,x]

τείνει στο $\infty$ δεν συμπαρασύρει πάντα κάθε στοιχείο του διαστήματος [0,x]

να τείνει στο $\infty$ . Άρα κάτι τέτοιο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως πρόταση.

S.E.Louridas · #17

Με την ευκαιρία θα ήθελα να αναφέρω πως "θα μπορούσε" ο λύτης φτάνοντας στο επίμαχο σημείο του υπολογισμού, για να είναι εντός της νομιμότητας και να μην είχε υποπέσει στο λάθος, να είχε "δει" ότι:

Έστω $\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos u = \ell \in {\Cal R} \cup \left\{ { - \infty ,\; + \infty } \right\}.$ Τότε $\ell = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos (\pi - u) = - \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos u = - \ell \Rightarrow \ell = 0.$
Έτσι έχουμε $\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos u = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos \left( {\frac{\pi }{2} - u} \right) = 0 \Rightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \sin u = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left( {{{\sin }^2}u + {{\cos }^2}u} \right) = 0 \Rightarrow 1 = 0$ που είναι άτοπο, άρα το $\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \cos u$ δεν υπάρχει.

#18

smar έγραψε:Όσον αφορά την ερώτηση τώρα. Το πρόβλημα εντοπίζεται στο τέλος: Δηλαδή είναι λάθος να πούμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\cos\frac{1}{\xi (x)}=\lim_{h\rightarrow 0}\cos\frac{1}{h}$ διότι η συνάρτηση $\xi(x)$ δεν είναι αναγκαστικά συνεχής, οπότε έχουμε πρόβλημα στην αλλαγή μεταβλητής όταν δεν υπάρχει το όριο.

Νομίζω ότι η $\xi(x)$ είναι συνεχής -- αν και κάποιος θα μπορούσε να αντιτείνει ότι δεν είναι καν συνάρτηση* -- και ότι το πρόβλημα είναι αλλού: δεν μπορούμε γενικά να πούμε ότι από τις $\lim_{x\rightarrow a}g(f(x))=b$ και $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=c$ έπεται η ύπαρξη του $\lim_{x\rightarrow c}g(x)$ , άμεση εφαρμογή στο θέμα μας για $g(x)=cos\displaystyle\frac{1}{x}$ , $f(x)=\xi(x)$ , a=b=c=0

. Το πρόβλημα δηλαδή δημιουργείται από την (γνωστή) ασυνέχεια της $g(x)=cos\displaystyle\frac{1}{x}$ στο

, και όχι από την (αμφισβητήσιμη) ασυνέχεια της $\xi(x)$ στο

.

*για κάθε x>0

το Θεώρημα Μέσης Τιμής μας δίνει απειρία $\xi _x$ τέτοιων ώστε $\displaystyle{f'({\xi _x}) = \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x}$ με $0<\xi _x<x$ , οπότε, επιλέγοντας ΕΝΑ από αυτά ως $\xi(x)$ και θέτοντας $\xi(0)=0$ , λαμβάνουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\xi(x)=\xi(0)$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #19

chris_gatos έγραψε: Εργαζόμενοι στο ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ και έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{{\xi _x} \in \left( {0,x} \right)}$ τέτοιος ώστε:
$\displaystyle{f'({\xi _x}) = \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} \Leftrightarrow 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = x\sin \frac{1}{x} \Rightarrow \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}}$

Όμως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}} \right) = 0}$ αφού όταν $\displaystyle{x \to 0 \Rightarrow {\xi _x} \to 0}$ (ως γινόμενο μηδενικών επί φραγμένων συναρτήσεων)

Επομένως ...

Θεωρώ ότι η διαδικασία αυτή δεν μπορεί να ισχύει αφού δεν ορίζεται το $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f{'}}\left( x \right).$

#20

S.E.Louridas έγραψε:
chris_gatos έγραψε: Εργαζόμενοι στο ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ και έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{{\xi _x} \in \left( {0,x} \right)}$ τέτοιος ώστε:
$\displaystyle{f'({\xi _x}) = \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} \Leftrightarrow 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = x\sin \frac{1}{x} \Rightarrow \cos \frac{1}{{{\xi _x}}} = 2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}}$

Όμως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2{\xi _x}\sin \frac{1}{{{\xi _x}}} - x\sin \frac{1}{x}} \right) = 0}$ αφού όταν $\displaystyle{x \to 0 \Rightarrow {\xi _x} \to 0}$ (ως γινόμενο μηδενικών επί φραγμένων συναρτήσεων)

Επομένως ...
Θεωρώ ότι η διαδικασία αυτή δεν μπορεί να ισχύει αφού δεν ορίζεται το $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f{'}}\left( x \right).$

Σωτήρη το όριο της πρώτης παραγώγου όντως δεν υπάρχει στο μηδέν, μα που χρησιμοποείται κάτι τέτοιο σε αυτό που παρουσιάζω;

Η άποψη του Γιώργου έχει ενδιαφέρον μα πρέπει αυτήν τη στιγμή να εγκαταλείψω. Άμα τη επιστροφή λοιπόν!

Που είναι το λάθος;

Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Re: Που είναι το λάθος;

Μέλη σε σύνδεση