Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#221

KARKAR έγραψε:Άσκηση 80
Το συνημμένο Άσκηση 80.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο εχει πλευρές ίσες με τα μισά των πλευρών του ,

τα δύο ορθογώνια είναι ομόκεντρα , αλλά οι πλευρές τους δεν είναι παράλληλες .

Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Καλή Χρονιά σε όλους!!!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #222

sakis1963 έγραψε: Ασκηση 68
Εστω ορθογώνιο . Με διάμετρο την μεσοπαράλληλο των γράφουμε

ημικύκλιο που τέμνει την στο .

a. Αν η τέμνει την προέκταση της διαγωνίου στο αποδείξτε ότι $\hat{SMD}=\hat{PMD}$

b. Αν επιπλέον ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου είναι $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$ δείξτε ότι

η ημιπερίμετρος $\tau$ του τριγώνου είναι $\tau=b$ .

: Άσκηση λύση.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 1626 φορές

α) Η

διέρχεται από το μέσο της

άρα και από το μέσο της

και επειδή

$MD\perp TP$ , MT=MP

,

και $\widehat{TMD}=\widehat{PMD}$ .

β) Για ευκολία παίρνω DC=8

και

, οπότε , εύκολα βρίσκουμε τα τμήματα PD,PM,PN

.

Από την ομοιότητα των STD , SMO

έχω $\dfrac{ST}{ST+TM}=\dfrac{TD}{MO}$ , οπότε βρίσκω το

.

Τέλος , από θ. τεμόμενων χορδών , έχω : $SM\cdot SQ=SP\cdot SN$ και έτσι βρίσκω και το

.

Το άθροισμα των τμημάτων SP,SM, MP

είναι όντως

, αλλά υποθέτω ότι

θα υπάρχει συντομότερη λύση ( από την παρούσα λείπουν όλοι οι υπολογισμοί ) ....

*Τα αποτελέσματα είναι : $x=2\sqrt{7}+2 , y=2\sqrt{7}-2 , t=10-\dfrac{22}{7}\sqrt{7} , z=6-\dfrac{6}{7}\sqrt{7}$ ,

οπότε : $L=t+2y+z=10-\dfrac{22}{7}\sqrt{7}+4\sqrt{7}-4+6-\dfrac{6}{7}\sqrt{7}=12$

KARKAR · #223

Άσκηση 81

Βρείτε τα ορθογώνια ακεραίων διαστάσεων a , b , (a>b)

, τα οποία έχουν την ιδιότητα :

Αν αυξήσουμε μήκος και πλάτος κατά

, το εμβαδόν τους διπλασιάζεται . Εξηγήστε

γιατί τα προκύπτοντα μεγαλύτερα ορθογώνια , έχουν όλα ακέραιες διαγωνίους !

hlkampel · #224

KARKAR έγραψε:Άσκηση 81

Βρείτε τα ορθογώνια ακεραίων διαστάσεων , τα οποία έχουν την ιδιότητα :

Αν αυξήσουμε μήκος και πλάτος κατά , το εμβαδόν τους διπλασιάζεται . Εξηγήστε

γιατί τα προκύπτοντα μεγαλύτερα ορθογώνια , έχουν όλα ακέραιες διαγωνίους !

Καλή Χρονιά σε όλους

Είναι $\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right) = 2ab \Rightarrow ab + 3a + 3b + 9 - 2ab = 0 \Leftrightarrow$

$3a + 3b - ab + 9 = 0 \Leftrightarrow 3a + 3b - ab + 9 - 18 = - 18 \Leftrightarrow$

$\left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right) = 18\;\left( 1 \right)$

Αφού οι $a,b \in {N^*},a > b$ τότε και $a - 3,b - 3 \in Z,a - 3 > b - 3$

Από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι οι $\left( {a - 3} \right),\;\left( {b - 3} \right)$ είναι ομόσημοι διαιρέτες του

, έτσι:

$a - 3 = - 1\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = - 18$
$a = 2\quad \kappa \alpha \iota \quad b = - 15$ άτοπο

$a - 3 = - 2\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = - 9$
$a = 1\quad \kappa \alpha \iota \quad b = - 6$ άτοπο

$a - 3 = - 3\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = - 6$
$a = 0\quad \kappa \alpha \iota \quad b = - 3$ άτοπο

$a - 3 = 18\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = 1$
$a = 21\quad \kappa \alpha \iota \quad b = 4$ δεκτές

$a - 3 = 9\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = 2$
$a = 12\quad \kappa \alpha \iota \quad b = 5$ δεκτές

$a - 3 = 6\quad \kappa \alpha \iota \quad b - 3 = 3$
$a = 9\quad \kappa \alpha \iota \quad b = 6$ δεκτές

Για την διαγώνιο

του μεγάλου ορθογωνίου από το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι:

${c^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} + 6a + 6b + 18\;\left( 2 \right)$

Από την $\left( 1 \right)$ με πράξεις έχουμε $ab - 3a - 3b + 9 = 18 \Leftrightarrow 6a + 6b + 18 = 2ab\;\left( 3 \right)$

$\left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} {c^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab \Leftrightarrow {c^2} = {\left( {a + b} \right)^2} \Leftrightarrow c = a + b$ που είναι φυσικός

Σημείωση: Επειδή ο αριθμός των ζητούμενων ορθογωνίων είναι μικρός, το δεύτερο ερώτημα γίνεται και με επαλήθευση

ealexiou · #225

Αν

η μια πλευρά του ορθογωνίου και

, όπου

ακέραιοι τότε
$(x+3)(y+3)=2xy\Rightarrow$ $xy+3x+3y+9=2xy \Rightarrow$ $xy-3y=3x+9\Rightarrow$
$y(x-3)=3(x+3) \Rightarrow \boxed{y=\dfrac{3(x+3)}{x-3}}$ , x>3

Για $x=4 \Rightarrow y=21, x=5 \Rightarrow y=12, x=6 \Rightarrow y=9$ , για x=7, x=8

προκύπτουν

μη ακέραιοι και απορρίπτονται και τα “αντίστροφα” τους, (ή όπως αλλιώς λέγονται), αν μετράνε (δεν νομίζω)

Έτσι έχουμε τα ορθογώνια 24x7,15x8,12x9

, οι πλευρές των οποίων είναι πυθαγόρειες δυάδες κάθετων πλευρών $(7=4^2-3^2,24=2\cdot4\cdot3), (15=4^2-1^2,8=2\cdot4\cdot1)$ ή πολλαπλάσιο πυθαγόρειας δυάδας $(3\cdot4=12, 3\cdot3=9)$

KARKAR · #226

Άσκηση 82

: Άσκηση 82.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές

Διπλα στο μεταβλητών διαστάσεων αλλά σταθερού εμβαδού

μακρόστενο ορθογώνιο ABCD

,

τοποθετούμε το ίσο του στενόμακρο ορθογώνιο BEZH

. Α) Δείξτε ότι (AZHD) =

σταθερό .

Β) Βρείτε το κατάλληλο μήκος της πλευράς AB=a

, ώστε τα

να είναι συνευθειακά .

sakis1963 · #227

KARKAR έγραψε:Άσκηση 82
Το συνημμένο Άσκηση 82.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Διπλα στο μεταβλητών διαστάσεων αλλά σταθερού εμβαδού μακρόστενο ορθογώνιο ,

τοποθετούμε το ίσο του στενόμακρο ορθογώνιο . Α) Δείξτε ότι σταθερό .

Β) Βρείτε το κατάλληλο μήκος της πλευράς , ώστε τα να είναι συνευθειακά .

Ασκηση 82

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.82.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

Καλή χρονιά, με υγεία και δημιουργία σε όλους !

a. $(AZHD)=(AKZ)-(DKH)=\dfrac{a(a+b)}{2}-\dfrac{a(a-b)}{2}=ab=ct.$

b. $tan{\theta}=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{b}{a}$ απόπου a^2-ab-b^2=0

και τελικά $\boxed{a=b\phi}$

Σάκης

KARKAR · #228

Άσκηση 83

: Άσκηση 83.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές

Η πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

είναι σταθερή ενώ η

μεταβάλλεται .

Τα σημεία M ,N

είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους

και

.

Δείξτε ότι το μήκος του τμήματος

παραμένει σταθερό .

KARKAR · #229

Άσκηση 84

: Άσκηση 84.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

Τα δύο ημικύκλια του σχήματος , ακτίνων

και

, είναι ομόκεντρα . Σχεδιάστε

το μεγίστου εμβαδού ορθογώνιο PQST

, με δύο από τις κορυφές του στην

και ανά μία στα δύο ημικύκλια και βρείτε το μήκος της διαγωνίου του (το καψώνι !) .

#230

KARKAR έγραψε:Άσκηση 83
Το συνημμένο Άσκηση 83.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά του ορθογωνίου είναι σταθερή ενώ η μεταβάλλεται .

Τα σημεία είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους και .

Δείξτε ότι το μήκος του τμήματος παραμένει σταθερό .

: Ορθογώνια (KARKAR) _83.png (25.04 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

.

Άρση απόκρυψης .

Ν

thanasis.a · #231

KARKAR έγραψε:Άσκηση 83
Άσκηση 83.png
Η πλευρά του ορθογωνίου είναι σταθερή ενώ η μεταβάλλεται .

Τα σημεία είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους και .

Δείξτε ότι το μήκος του τμήματος παραμένει σταθερό .

..καλησπέρα.. και καλή χρονιά!!!

χρησιμοποιώντας το σχήμα του Νίκου έχουμε ότι τα σημεία N,M,B

είναι συνευθειακά αφού:
.
στον (O,a/2)

έχουμε: $\hat{MBA}=45^{\circ} ((MA=MN),\,\,\wedge \,\,\,\hat{AMB}=90^{\circ} )\,\,\,(1)$ . Επίσης τα σημεία $A,D,C,B,N\in(K,AC/2)$ . Έτσι $\hat{NBA}=\hat{NCA}=45^{\circ} ((NA=NC),\,\,\,\wedge ,\,\,\,\hat{ANC}=90^{\circ} ,\,\,\,(2)$ . Κατά συνέπεια (N,M,B) συνευθειακά.

Επίσης: $\displaystyle\bigtriangleup MAB (MA=MB,\hat{AMB}=90^{\circ} \Rightarrow MB=\frac{\sqrt{2}}{2}a\,\,\,(3)$ . Όμοια στον μεγάλο κύκλο έχουμε: $\displaystyle AN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}\,\,\,(4)$

Από θ. συνημιτόνου στο $\bigtriangleup ANB:AN^{2}=NB^{2}+AB^{2}-2NB\cdot AB\cdot (\sigma \upsilon \nu \hat{ABM}\Rightarrow .......$ \displaystyle{\Rightarrow NB=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)\,\,\,\,(*)} $,\,\,\,\,\,\,.$ $\eta\,\,\,\,\,\, NB=\frac{\sqrt{2}}{2}(a-b)\,\,\,\,(**)$ .

Τελειώνοντας λοιπόν έχουμε: $NM=NB-MB\mathop\Rightarrow ^{(**),(3)}NM=-....$ ..(απορρίπτεται) ή $NM=NB-MB\mathop\Rightarrow ^{(*),(3)}...\displaystyle\boxed{NM=\frac{\sqrt{2}}{2}b=ct}$

#232

KARKAR έγραψε:Άσκηση 84
Το συνημμένο Άσκηση 84.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τα δύο ημικύκλια του σχήματος , ακτίνων και , είναι ομόκεντρα . Σχεδιάστε

το μεγίστου εμβαδού ορθογώνιο , με δύο από τις κορυφές του στην

και ανά μία στα δύο ημικύκλια και βρείτε το μήκος της διαγωνίου του (το καψώνι !) .

: Ορθογώνια (KARKAR) _84.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Επειδή

και οι πλευρές του τριγώνου OTS

είναι $OT = r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = R$ σταθερές , μέγιστο γίνεται το

αν $OT \bot OS$ .

Τότε $\boxed{{E_{\max }} = Rr}$ ενώ οι διαστάσεις του εν λόγω ορθογωνίου είναι :

$\boxed{a = TS = \sqrt {{R^2} + {r^2}} }\,\,(1)$ , ενώ b = TP

αντιστοιχεί στο ύψος προς την υποτείνουσα

και θα ισχύει:

$\dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} + \dfrac{1}{{{r^2}}} \Rightarrow \boxed{b = \dfrac{{Rr}}{{\sqrt {{R^2} + {r^2}} }}}\,\,(2)$ . Τώρα η διαγώνιος του ορθογωνίου αυτού είναι

$PS = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow \boxed{PS = \sqrt {\frac{{{R^4} + 3{R^2}{r^2} + {r^4}}}{{{R^2} + {r^2}}}} }$

Ν.

KARKAR · #233

Άσκηση 85

: Άσκηση 85.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 1414 φορές

Η κορυφή

, του ορθογωνίου τριγώνου SPQ

, είναι σταθερό σημείο της πλευράς

,

ορθογωνίου ABCD

, ενώ οι

κινούνται επί των AB,DC

. Βρείτε τις ακρότατες

τιμές του (SPQ)

. Εργασθείτε με τα σημειούμενα στο σχήμα μήκη . ( DC=9 )

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #234

ΑΣΚΗΣΗ 83

Καλή χρονιά....

Είναι $\displaystyle{\angle x = \angle y}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) και $\displaystyle{\angle y = \angle \varphi }$ (αφού $\displaystyle{\angle y + \omega = \angle \varphi + \omega = {45^0}}$ ).

Άρα $\displaystyle{\angle \varphi = \angle x \Rightarrow NMOA}$ εγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle NMA = {90^0}}$ και

$\displaystyle{\vartriangle NMA \simeq \vartriangle ABC \Rightarrow \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{{MA}}{{AB}} \Rightarrow MN = \frac{{MA}}{{AB}} \cdot CB = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{\alpha }b \Rightarrow \boxed{MN = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}}}$

: A83.png (35.5 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

#235

KARKAR έγραψε:Άσκηση 85
Το συνημμένο Άσκηση 85.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η κορυφή , του ορθογωνίου τριγώνου , είναι σταθερό σημείο της πλευράς ,

ορθογωνίου , ενώ οι κινούνται επί των . Βρείτε τις ακρότατες

τιμές του . Εργασθείτε με τα σημειούμενα στο σχήμα μήκη . .

: Ορθογώνια (KARKAR) _85.png (13.23 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Ας είναι $AP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DQ = y$ , τότε το εμβαδόν E = (SPQ)

θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου APQD

μειωμένο κατά το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων και όμοιων τριγώνων : $APS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DQS$ .

Επειδή $\dfrac{{AP}}{{DS}} = \dfrac{{AS}}{{DQ}} \Rightarrow xy = 6 \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{6}{x}}$ . Έτσι η ισότητα: $E = \dfrac{{5(x + y)}}{2} + (\dfrac{{3x}}{2} + y)$

Μας δίδει $E = f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ . Πρέπει $x \in (0,9)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y \in (0,9)$ . Δηλαδή $0 < \dfrac{6}{x} < 9$ και άρα $\boxed{x \in (\dfrac{2}{3},9)}$ .

Μετά απ’ αυτά η συνάρτηση του εμβαδού παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 3

το

με οριακές τιμές : $\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{{\dfrac{2}{3}}^ + }} f(x) = \dfrac{{85}}{6}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,{9^ - }} f(x) = 10$ .

: Ορθογώνια (KARKAR) _85_γραφική παράσταση.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Παρατήρηση :
Αν το διάστημα του πεδίου ορισμού θεωρηθεί κλειστό ( και κατά τα δύο άκρα ) έχουμε ελάχιστο το

και μέγιστο το $\dfrac{{85}}{6}$ .
Ν.

KARKAR · #236

Στο ορθογώνιο ABCD

είναι $b<\dfrac{a}{2}$ . Εντοπίστε σημείο

της

και πλησιέστερα

προς το

, ώστε $\widehat{DSC}=90^0$ . Στη συνέχεια σχεδιάστε τετράγωνο SPQT

με την

κορυφή

στην πλευρά

και υπολογίστε το εμβαδόν του , συναρτήσει των a,b

.

: Άσκηση 76.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 1357 φορές

Το

είναι η τομή ημικυκλίου διαμέτρου

με τη

. Επειδή

, βρίσκουμε :

$x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4b^2}}{2}$ . Τώρα για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε : $E=\dfrac{SQ^2}{2}=\dfrac{b^2+y^2}{2}$ (*).

Αλλά : $\dfrac{x}{b}=tan(45^0+\theta)=\dfrac{tan\theta+1}{1-tan\theta}=\dfrac{\dfrac{y}{b}+1}{1-\dfrac{y}{b}}$ , απ'όπου παίρνουμε : $y=\dfrac{b(x-b)}{x+b}$

Αντικαθιστώντας στην (*) , παίρνουμε ( μετά από εξαιρετικά επίπονες πράξεις ) : $E=\dfrac{ab^2}{a+2b}$

#237

KARKAR έγραψε:Άσκηση 79
Το συνημμένο Άσκηση 79.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στις γωνιές του μεταβλητών διαστάσεων $a\times b ,(a>b)$ ορθογωνίου ,

πήραμε , μεταβλητά αλλά ίσα μεταξύ τους , τμήματα .

Δείξτε ότι το μέγιστο του ξεπερνά πάντα το μισό του .

: Ορθογώνια.79.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

$\displaystyle{(PQST) = ab - {x^2} - (a - x)(b - x) = - 2{x^2} + (a + b)x}$ που παρουσιάζει μέγιστο στο

$\displaystyle{{x_0} = \frac{{a + b}}{4}}$ , ίσο με $\boxed{{(PQST)_{\max }} = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{8}}$

$\displaystyle{a \ne b \Leftrightarrow {(a + b)^2} > 4ab \Leftrightarrow \frac{{{{(a + b)}^2}}}{8} > \frac{{ab}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{(PQST)_{\max }} > \frac{1}{2}(ABCD)}$

KARKAR · #238

Άσκηση 86

: Άσκηση 86.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές

Δεν θα δυσκολευτείτε να διαιρέσετε ορθογώνιο ABCD

σε τρεις ισεμβαδικές περιοχές , όπως

φαίνεται στο σχήμα . Αλλά στο συγκεκριμένο ορθογώνιο απαιτούμε $DS\perp AC$ . Άρα $\dfrac{b}{a}=?$

#239

KARKAR έγραψε:Άσκηση 86
Το συνημμένο Άσκηση 86.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δεν θα δυσκολευτείτε να διαιρέσετε ορθογώνιο σε τρεις ισεμβαδικές περιοχές , όπως

φαίνεται στο σχήμα . Αλλά στο συγκεκριμένο ορθογώνιο απαιτούμε $DS\perp AC$ . Άρα $\dfrac{b}{a}=?$

: Ορθογώνια.86.png (16 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Προφανώς είναι $\displaystyle{AS = \frac{{2a}}{3}}$ και επειδή $\displaystyle{AS = 2SB}$ , αν HE=x

, τότε θα είναι AH=EC=2x

.

$\displaystyle{(DPBS) = \frac{{ab}}{3} \Leftrightarrow x \cdot DS = \frac{{ab}}{3} \Leftrightarrow x\frac{{\sqrt {4{a^2} + 9{b^2}} }}{3} = \frac{{ab}}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{ab}}{{\sqrt {4{a^2} + 9{b^2}} }}}$ (1)

$\displaystyle{AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 5x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{5ab}}{{\sqrt {4{a^2} + 9{b^2}} }} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{4{a^4} - 12{a^2}{b^2} + 9{b^4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2{a^2} - 3{b^2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{b}{a} = \sqrt {\frac{2}{3}} }$

KARKAR · #240

Άσκηση 87

: Άσκηση 87.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

Χορδή

, με μέσο

, κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου AOB=d

, ώστε $ST \parallel AB$ .

Γράφω τους κύκλους που διέρχονται από τα S,P,O

και

και έχουν κέντρα K,L

.

Φέρω

κάθετα στην

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου KLMN

.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση