Εμβαδόν τριγώνου

KARKAR · #1

: Εμβαδόν τριγώνου.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 1431 φορές

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου , αφού πρώτα ( ή μετά ) βρείτε το ύψος του . Το κύριο ζητούμενο :

Μπορείτε να φτιάξετε και σεις ένα τρίγωνο με ακέραιες πλευρές , ισεμβαδικό του ABC

?

#2

KARKAR έγραψε:
Εμβαδόν τριγώνου.png
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου , αφού πρώτα ( ή μετά ) βρείτε το ύψος του . Το κύριο ζητούμενο :

Μπορείτε να φτιάξετε και σεις ένα τρίγωνο με ακέραιες πλευρές , ισεμβαδικό του ?

Χρόνια πολλά.

Με το καλό να μας έλθει το ...Εμβαδόν .

Το ύψος είναι

Μου άρεσε που $\dfrac{{84 \cdot 48}}{2} = 2016$
θα ψάξω για τρίγωνο .

Ν.

ealexiou · #3

Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι το (85,91,48)

, $r=\dfrac{85+91+48}{2}=112$ ,

άρα $E=\sqrt{112(112-85)(112-91)(112-48)}=2016$

Καλή Χρονιά!

Ιστοσελίδα · #4

: 2016.jpg (20.67 KiB) Προβλήθηκε 1340 φορές

2016 ευχές για υγεία, πρόοδο, ευημερία....χρόνια πολλά, καλή χρονιά!!!

KARKAR · #5

Εμβαδόν

έχουν επίσης τα τρίγωνα με πλευρές 60,112,164

και

.

Καλή χρονιά σε όλους !

*Ας γράψουμε και το "κόλπο" με το οποίο τα βρίσκουμε . Αυτά τα τρίγωνα , ονομάζονται , όπως

είναι γνωστό "ηρώνεια ". Δεν θα βρείτε εύκολα "ηρώνειες τριάδες" με εμβαδόν 2016

. Αλλά

παρατηρώντας ότι 2016=16*126

, αρκεί να βρούμε ηρώνειο τρίγωνο εμβαδού 126

και στη συνέχεια να τετραπλασιάσω τις πλευρές του . Βέβαια ο Ευθύμης και ο Μιχάλης

χτύπησαν ψηλότερα , άρα μας οφείλουν εξηγήσεις !

ealexiou · #6

Καλημέρα! Καλή χρονιά!

: Εμβαδόν τριγώνου.png (28.54 KiB) Προβλήθηκε 1299 φορές

Με λίγη σκέψη, λίγο ψάξιμο και αρκετή τύχη!

Αρχικά ξεκίνησα με λογισμικό και με τις ηρώνειες εξισώσεις, μήπως μου δώσει ακέραιες λύσεις.
Δεν μου έκανε την χάρη, οπότε πήγα στο Geogebra

με σκοπό να δίνω στην μία πλευρά (

) παράγοντες του 2016

και βρίσκοντας το αντίστοιχο ύψος να γράφω κύκλους (A,AC)

και να ελέγχω την

.
Μου ήρθε η σκέψη, ξεκάρφωτα, να ξεκινήσω με αναριθμητισμό στην λύση του Θανάση το $84\cdot48/2=2016$ σε $48\cdot84/2$ και το

είναι το αμέσως επόμενο του

!!

KARKAR · #7

Ευθύμη εύχομαι η "ρέντα" σου να κρατήσει για πολύ ! Κυρίως όμως το μεράκι σου ...

Ιστοσελίδα · #8

Καλημέρα. Σκέφτηκα κάπως παρόμοια με τον Ευθύμη.

Κατασκεύασα τα ακόλουθα αρχεία Geogebra (2016_1 - 2016_2) για τα αντίστοιχα τρίγωνα του Θανάση και του Ευθύμη.

Επειδή $\dfrac{{48 \cdot 84}}{2} = \dfrac{{96 \cdot 42}}{2}$ φτιάχνοντας το 2016_3 και παίζοντας με το δρομέα εμφανίστηκε το τρίγωνο (58,70,96)

.

Οποιαδήποτε άλλη προσπάθεια κατέληξε στο κενό…εννοείται ότι δεν εξάντλησα όλες τις περιπτώσεις...

coyote · #9

Από τον τύπο του Ήρωνα $E=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ παίρνουμε E^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

(1). Πρέπει η ημιπερίμετρος

να είναι φυσικός
Θέτοντας x=s-a, y=s-b

και

η (1) γράφεται:

E^2 = (x+y+z)xyz

(2), με $x,y,z\in\mathbb{N}$
Με τα y,z

γνωστά μπορούμε να υπολογίσουμε το

(με την αλλαγή στις μεταβλητές x,y,z δεν χρειάζεται να ελέγχουμε για την τριγωνική ανισότητα)

Η (2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή $x^2+(y+z)x-\frac{E^2}{yz}=0$ , όπου E=2016

Η μεγαλύτερη ρίζα του τριωνύμου είναι η τρίτη πλευρά

. Η άλλη ρίζα είναι ο αριθμός -(x+y+z)

, δηλαδή

.
Τέλος, πρέπει να γυρίσουμε στις αρχικές μεταβλητές a,b,c

.

Το δύσκολο ήταν να βρω πότε η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο. Τελικά, με εξάντληση όλων των περιπτώσεων βρήκα 11 διαφορετικές τριάδες (a,b,c):

109 148 255
64 225 287
35 192 221
48 85 91
65 72 119
56 170 222
32 126 130
58 70 96
60 112 164
52 80 84
20 204 208

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση