Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Peri2005 · #1

Υπάρχει παράδειγμα συνάρτησης παραγωγίσιμης στο (α,β) και όχι στο [α,β] ;

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα. Πάρε για παράδειγμα την $\displaystyle{f(x)=\sqrt{(x-a)(\beta-x)},~(a<\beta)}$ η οποία ορίζεται στο $\displaystyle{[a,\beta]}$ ,

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(a,\beta)}$ με $\displaystyle{f'(x)=\frac{-2x+a+\beta}{2\sqrt{(x-a)(\beta-x)}}}$ αλλά δεν έχει παράγωγο στο $\displaystyle{a}$ και στο $\displaystyle{\beta}$ .

Peri2005 · #3

Ευχαριστώ.
Κάτι άλλο.
Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] , δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι παραγωγίσιμη στα σημεία α και β.
Σωστό;

Peri2005 · #4

Peri2005 έγραψε:Ευχαριστώ.
Κάτι άλλο.
Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] , δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι παραγωγίσιμη στα σημεία α και β.
Σωστό;

Παράδειγμα η f(x)=abs((x-1)(6-x)) (abs = απολυτη τιμη)

είναι παραγωγίσιμη στο [1,6] , αλλά δεν υπάρχει η παράγωγος ούτε στο 1 ούτε στο 6.

#5

Peri2005 έγραψε: Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] , δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι παραγωγίσιμη στα σημεία α και β.
Σωστό;

Όχι δεν είναι σωστό για τετριμμένο λόγο. Μάλλον κάτι άλλο θέλεις να πεις:

Αφού υποθέτεις ότι είναι παραγωγίσιμη στο [a,b]

, δηλαδή στο

, στο

και σε όλα τα ενδιάμεσα, τότε έχεις ήδη υποθέσει παραγωγισιμότητα στα a, b

. Προς τι λοιπόν η ερώτηση αν είναι παραγωγίσιμη εκεί;

#6

Peri2005 έγραψε: Παράδειγμα η f(x)=abs((x-1)(6-x)) (abs = απολυτη τιμη)

είναι παραγωγίσιμη στο [1,6] , αλλά δεν υπάρχει η παράγωγος ούτε στο 1 ούτε στο 6.

Το σφάλμα είναι αυτό που σημείωσα με κόκκινο.

Peri2005 · #7

Για τη δεδομένη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| {\left( {x - 1} \right)\left( {6 - x} \right)} \right|}$
ισχύει:

$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = 5 \in R \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = - 5 \in R \\ \end{array}}$

άρα βάει του ορισμού : http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show ... 198,12983/

η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο [1,6];

Peri2005 · #8

Δειτε και το σχήμα στην σελίδα 5 : http://lazaridi.info/arxeia/FAQK3.pdf

#9

Ξαβαδιάβασε τα προηγούμενα μηνύματά μου.

Προσθέτω ότι ΕΙΝΑΙ συμβατά με τις παραπομπές που δίνεις.

Peri2005 · #10

Προσπαθώ να βρω που έχω λάθος:

Με βάση τον ορισμό απέδειξα ότι η $\displaystyle{f\left( x \right) = \left| {(x - 1)(6 - x)} \right|}$ είναι παραγωγίσιμη στο [1,6] .

Αν όμως πάρεις τα πλευρικά $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\,\,}$ , η f δεν έχει παράγωγο ουτε στο 1 ουτε στο 6.

Επομένως ενώ η f ειναι παραγωγίσιμη στο [1,6] , δεν εχει παραγωγο στο 1 και στο 6.

M.S.Vovos · #11

Καλησπέρα!

Να απαντήσω δια της ερωτήσεως:

Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της;

makisman · #12

Νομίζω ,το λάθος γενικά δημιουργείται όταν μιλάμε για την

στο Δ (περιορισμός της

) και γενικεύουμε σε ενα υπερσύνολο του Δ .Υπάρχει κάπου εδώ μέσα σχετική συζήτηση για σχετικό θέμα στο σχολικό βιβλίο όπου γίνεται αναφορά για μια συναρτηση ορισμένη στο [a,b]

και συνεχή στο [a,b]

αλλά δε είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (εχει και σχήμα).

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show ... 197,12978/

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show ... B1_337.jpg

Γιώργος Απόκης · #13

Προφανώς κάτι δεν έχεις κάνει σωστά στο σημείο που λες "με τον ορισμό απέδειξα ότι..."

Δες λίγο και τη γραφική παράσταση

KARKAR · #14

Για τη συνάρτηση f(x)=|(x-1)(6-x)|

, με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [1,6]

.

Όμως η συνάρτηση $f :[1,6]\rightarrow \mathbb{R}$ , με τύπο f(x)=|(x-1)(6-x)|

,

είναι παραγωγίσιμη στο [1,6]

.

Κι όμως , ο Κώστας παρακάτω έχει δίκιο . Η πρώτη συνάρτηση παρότι μη παραγωγίσιμη

στα

και

, θεωρείται παραγωγίσιμη στο [1,6]

#15

Στον φάκελο που είμαστε, η συνάρτηση f(x)=|(x-1)(6-x)|

, με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

είναι παραγωγίσιμη στο [1,6]

.

Peri2005 · #16

rek2 έγραψε:Στον φάκελο που είμαστε, η συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

είναι παραγωγίσιμη στο .

Επομένως και για π.χ. την συνάρτηση
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^4} - 3} & {,\,\,x < - 1} \\ {x - {x^2}} & {,\, - 1 \le x \le 1} \\ {{x^2} - 3x} & {,\,x > 1} \\ \end{array}} \right.}$

θα ισχύει ότι:

η f είναι παραγωγίσιμη στο [-1,1] (αφού $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \in R}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \in R}$ )

αλλά η f δεν είναι παραγωγίσιμη
ούτε στο -1 (γωνιακό σημείο) , ούτε στο 1 (αφού δεν είναι συνεχής)

pavvou · #17

Υπάρχει πρόβλημα στον ορισμό του σχολικού Βιβλιου Μαθηματικα Προσανατατολισμού Γ Λυκείου.
Στον βιβλίο "Απειροστικός Λογισμός Τόμος Ι" των Νεγρεπόντης-Γιωτόπουλος-Γιαννακούλιας Κεφάλαιο 17, ορίζεται η παράγωγος της f στο χ0 του πεδίου ορισμού της όταν το πεδίο ορισμού είναι το (α,β) ή το [α,β]. (ορισμοί 17.1, 17.13).

Επομένως η παραπάνω συνάρτηση (που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών) δεν είναι παραγωγίσιμη στο [-1,1] αφού δεν είναι παραγωγισίμη στα x=-1, χ=1.

Ανδρέας Πούλος · #18

Ο ορισμός του σχοικού βιβλίου (σελίδα 104) είναι σαφέστατος.
Αναφέρεται στο "για κάθε σημείο του πεδίου ορισμού".

stranger · #19

Νομίζω ότι η διαφωνία στα παραπάνω έγκειται στο γεγονός ότι για παράδειγμα μια συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ μπορεί να μην είναι παραγωσίσιμη πχ στον αριθμό

, όμως ο περιορισμός της στο [-1,1]

να είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Αυτό μπορεί να συμβεί.Στα φοιτητικά μου έτη παραξενεύτηκα όταν είδα ότι κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί.
Παραδείγματα σε αυτό υπάρχουν πολλά.
Όταν έχουμε μια συνάρτηση πχ ορισμένη στο [-1,1]

τότε λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο

όταν υπάρχει το όριο του σύνηθες πηλίκου και είναι πραγματικός αριθμός. Αφού η συνάρτηση ορίζεται μόνο δεξιά του

αυτό το όριο είναι ακριβώς το πλευρικό όριο αυτής της συνάρτησης.
Όμως αν πάρουμε τη συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ τότε μπορεί το αριστερό πλευρικό όριο στο

να μην είναι ίσο με το δεξί, οπότε ενδέχεται η συνάρτηση να μην είναι παραγωγίσιμη στο

.

pavvou · #20

Ανδρέας Πούλος , oφειλω να διευκρινίσω ότι ο ορισμός του Σχολικού Βιβλίου Μαθηματικά Προσανατολίσμού Γ Λυκείου που αφορά το πότε μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της είναι προβληματικός. Για την ακρίβεια έχω την αίσθηση ότι τέτοιος ορισμός δεν υπάρχει. Γι αυτό παραπέμπω στον βιβλίο του Απειροστικού Λογισμόυ ή ακόμα και στο παλιο βιβλίο της Α Δέσμης όπου τέτοιος ορισμός δεν υπάρχει.

stranger, συμφωνώ απόλυτα με όσα λές κ εκεί προκύπτει το εσφαλμένο του ισχυρισμού του παραδείγματος που αναφέρομαι. Ο περιορισμός της f στο [-1,1] είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [-1,1] εξ ορισμόυ. Δεν είναι όμως η f παραγωγισίμη στο [-1,1].

Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση