Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

STOPJOHN · #121

AΣΚΗΣΗ 45

Θέτω $NC=x,AT=a-x, (SPC)=(SPB)=(PLB)-(SLB)= \dfrac{1}{2}x(PL-SL) ,(1) \dfrac{PL}{b}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow PL=\frac{bx}{a},(2), \dfrac{SL}{b}=\dfrac{x-t}{a-t},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow (SPB)=\dfrac{bxt(a-x)}{2a(a-t)},(*), -x^{2}+ax=-(x-\dfrac{a}{2})^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\leq \dfrac{a^{2}}{4},x=\frac{a}{2},min(SPB)=\dfrac{abt}{8(a-t)}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #122

ΑΣΚΗΣΗ 44

Με $\displaystyle{EZ//AF \Rightarrow \left( {FAE} \right) = \left( {FZA} \right) < \left( {FBA} \right) = \left( {ABC} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2}}$

: A44.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 1201 φορές

ealexiou · #123

KARKAR έγραψε:Άσκηση 45
Το συνημμένο Άσκηση 42.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά βρίσκεται σημείο , ώστε $TB=t , (t<\dfrac{a}{2} )$ . Τμήμα με άκρα

επί των , κινείται παραμένοντας παράλληλο με την . Δημιουργήστε τύπο

ο οποίος να αποδίδει το και βρείτε το μέγιστό του .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 45.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

Παραπλήσια με την λύση του Νίκου, αλλά αφού την ξεκίνησα...

$\triangle NTB \sim \triangle DAB \Rightarrow NT=\dfrac{tb}{a}$

$\triangle DPS \sim \triangle DNT \Rightarrow PS=x=\dfrac{bt(a-y)}{a(a-t)}$

$(CPS)=\dfrac{1}{2}\cdot PS\cdot PM=$ $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{bt(a-y)}{a(a-t}\cdot y$ $\Rightarrow \boxed{(CPS)=\dfrac{bty(a-y)}{2a(a-t)}}$ ,

Το οποίο γίνεται μέγιστο για $y=\dfrac{a}{2}$ κ.λ.π, μην επαναλαμβάνω τα ίδια...

#124

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ορθογώνια.44.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ta είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ορθογωνίου . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{(AEF) < \frac{1}{2}(ABCD)}$

: Ορθογώνια (KARKAR) 44_ok.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 1196 φορές

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει το τμήμα

στο

( εσωτερικό του

) και την προέκταση του

στο

.

Αν ενώσουμε τυχαίο σημείο της περιμέτρου παραλληλογράμμου με τις απέναντι κορυφές το τρίγωνο που σχηματίζεται έχει εμβαδόν το μισό του παραλληλογράμμου.

Εδώ λοιπόν $T = (AEF) = \dfrac{1}{2}(AELK) = \dfrac{1}{2}AK \cdot AB < \dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Ν.

#125

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
george visvikis έγραψε: Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
$\displaystyle{E = 2{E_1} + {E_2} = 2\frac{{a + b}}{2}x + ab = \frac{{(a + b)(b - a)}}{2} + ab \Leftrightarrow }$ $\boxed{E = \frac{{{b^2} + 2ab - {a^2}}}{2}}$

Καλησπέρα Γιώργο κι ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.

Προεκτείνω: Τι σχέση έχει το εμβαδό του οκταγώνου με το εμβαδό του ορθογωνίου;

Επαναλαμβάνω: Το όνομα του περιοδικού απ' όπου το πήρα δεν θα σας το πώ. Ψάξτε.

Καλά Χριστούγεννα

Το εμβαδόν του οκταγώνου είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Συγκεκριμένα, αν

είναι η πλευρά του κανονικού οκταγώνου, τότε το εμβαδόν του οκταγώνου είναι

$\boxed{{E_{o\kappa \tau .}} = 2{a^2}(1 + \sqrt 2 )}$ και του ορθογωνίου, $\boxed{{E_{o\rho \theta .}} = {a^2}(1 + \sqrt 2 )}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #126

Χρόνια πολλά σε όλους!!

ΑΣΚΗΣΗ 45

$\displaystyle{PS//BC \Rightarrow \left( {PSC} \right) = \left( {PSB} \right) = {S_1}}$

Με $\displaystyle{\left( {DPS} \right) = S' \Rightarrow \frac{{S'}}{{{S_1}}} = \frac{{DQ}}{{QC}} = \frac{x}{{a - x}} \Rightarrow \boxed{S' = \frac{x}{{a - x}}{S_1}}}$

Άρα $\displaystyle{\left( {DSB} \right) = \frac{x}{{a - x}}{S_1} + {S_1} \Rightarrow \boxed{\left( {DSB} \right) = \frac{a}{{a - x}}{S_1}}}$

Ακόμη, $\displaystyle{\frac{{\left( {SBT} \right)}}{{\left( {DSB} \right)}} = \frac{{ST}}{{SD}} = \frac{{KT}}{{QD}} = \frac{{a - t - x}}{x} \Rightarrow \left( {SBT} \right) = \frac{{a - t - x}}{x}\left( {DSB} \right) \Rightarrow \boxed{\left( {SBT} \right) = \frac{{\left( {a - t - x} \right)a}}{{x\left( {a - x} \right)}}{S_1}}}$

Έτσι , $\displaystyle{\left( {DTB} \right) = \left( {DSB} \right) + \left( {SBT} \right) \Rightarrow \left( {DTB} \right) = \frac{{a\left( {a - t} \right)}}{{x\left( {a - x} \right)}}{S_1} \Rightarrow \frac{{tb}}{2} = \frac{{a\left( {a - t} \right)}}{{x\left( {a - x} \right)}}{S_1} \Rightarrow \boxed{{S_1} = \frac{{tb}}{{2a\left( {a - t} \right)}}x\left( {a - x} \right)}}$

Το τριώνυμο $\displaystyle{f(x) = x(a - x)}$ λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του για $\displaystyle{x = \frac{\alpha }{2}}$ και $\displaystyle{\boxed{{{\left( {{S_1}} \right)}_{\max }} = \frac{{abt}}{{8a(a - t)}}}}$

: A45.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 1156 φορές

KARKAR · #127

Άσκηση 47

: Άσκηση 47.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Κύκλος διέρχεται από την κορυφή

και εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών AB,AD

,

ορθογωνίου ABCD

. Βρείτε την ακτίνα

του κύκλου , ως συνάρτηση των πλευρών a,b

του ορθογωνίου και υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της , αν το (ABCD)=S

είναι σταθερό .

Χρόνια πολλά σε όλους , ιδιαίτερα στους εορτάζοντες !

KARKAR · #128

Άσκηση 48

: Άσκηση 48.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Αν πεισθείτε ότι υπάρχει ορθογώνιο με τις ιδιότητες του σχήματος , φτιάξτε ένα δικό σας .

Αλλιώς , θα διαιρέσετε αυτό που σας δίνεται , όπου ασφαλώς είναι (ABCD)=10

.

#129

KARKAR έγραψε:Άσκηση 47
Το συνημμένο Άσκηση 47.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κύκλος διέρχεται από την κορυφή και εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών ,

ορθογωνίου . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου , ως συνάρτηση των πλευρών

του ορθογωνίου και υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της , αν το είναι σταθερό .

Χρόνια πολλά σε όλους , ιδιαίτερα στους εορτάζοντες !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

sakis1963 · #130

Άσκηση 48
Χρόνια πολλά σε όλους

Επειδή δεν ξέρω ποιο να πρωτοδιαλέξω ... τα παίρνω όλα!!!

Με αρχή αξόνων το

ζωγραφίζω την υπερβολή xy=10

(στο 1 τεταρτημόριο) διαλέγω ένα σημείο της C(a, b)

και έστω

οι προβολές του στους άξονες Ax, Ay

.

Παίρνω και ένα σημείο $S(\dfrac{2}{5}a, \dfrac{4}{5}b)$ και το ενώνω με τα A, B, C, D

. Μετά χρωματίζω ανάλογα .... τα 4 τριγωνα που σχηματίζονται και αριθμίζω με τα εμβαδά τους.

Είμαι έτοιμος !

Σάκης

Ετσι, για να το κάνουμε πιασάρικο ....

Μιχάλης Τσουρακάκης · #131

ΑΣΚΗΣΗ 47

Χρόνια πολλά....

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ZCH}$ τα $\displaystyle{M,N}$ είναι μέσα των $\displaystyle{ZC,CH}$ και με Π.Θ έχουμε $\displaystyle{4{(r - b)^2} + 4{(r - a)^2} = 4{r^2}}$ με δεκτή λύση $\displaystyle{\boxed{r = a + b + \sqrt {2ab} }}$

Έστω $\displaystyle{ab = S = ct}$

Έχουμε $\displaystyle{\frac{{(a + b)}}{2} \geqslant \sqrt {ab} \Leftrightarrow (a + b) + \sqrt {2S} \geqslant 2\sqrt S + \sqrt {2S} \Rightarrow \boxed{{r_{\min }} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\sqrt s }}$ και λαμβάνεται όταν $\displaystyle{a = b}$

: Α47.png (29.36 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

KARKAR · #132

Άσκηση 49

: Άσκηση 49.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Με βάση τη χορδή

, αποστήματος QQ=d

, κύκλου

, σχεδιάζουμε ορθογώνιο ,

του οποίου η πλευρά

βρίσκεται στην παράλληλη προς τη χορδή διάμετρο του κύκλου .

Καλείσθε να σχεδιάσετε ορθογώνιο TPQS

με

σημείο του κύκλου ,

σημείο της

,

ώστε (TPQS)=(ABCD)

.

KARKAR · #133

Άσκηση 50

: Άσκηση 50.png (4.87 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Εκκινώντας από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , δημιουργήστε με το Geogebra , "προγραμματάκι"

το οποίο να δημιουργεί το ορθογώνιο APQS

, με την ιδιότητα να έχει το ίδιο εμβαδόν και την

ίδια περίμετρο με το τρίγωνο . Κρατώντας σταθερή την πλευρά

και αυξάνοντας την

,

αυξάνει και η

. Θα συμπέσει κάποτε το

με το

;

#134

KARKAR έγραψε:Άσκηση 50
Το συνημμένο Άσκηση 50.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εκκινώντας από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , δημιουργήστε με το Geogebra , "προγραμματάκι"

το οποίο να δημιουργεί το ορθογώνιο , με την ιδιότητα να έχει το ίδιο εμβαδόν και την

ίδια περίμετρο με το τρίγωνο . Κρατώντας σταθερή την πλευρά και αυξάνοντας την ,

αυξάνει και η . Θα συμπέσει κάποτε το με το ;

: Ορθογώνια (KARKAR)_50.png (19.92 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Αν

τότε $\boxed{y = \frac{{s - \sqrt {{s^2} - 2bc} }}{2}}$ .

CT//BS

και το

μέσο του

.

Λόγω κατασκευής και του Ευκλείδειου αιτήματος τα σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ δεν συμπίπτουν όσο και να αυξάνει το AB = c

.

Ν.

Σε λίγο και το δυναμικό αρχείο.

KARKAR · #135

Άσκηση 51

: Άσκηση 51.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Τώρα θέλουμε να τεμαχίσουμε το διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο ABCD

σε τέσσερα

τμήματα , με εμβαδά ανάλογα των αριθμών 1,2,3,4

, συνδέοντας εσωτερικό σημείο

,

με τα μέσα K,L,M,N

των πλευρών του . Δείξτε ότι η κατασκευή του σχήματος είναι

δυνατή και εντοπίστε το σημείο

. Ανοιχτό ερώτημα : Ποιος πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{a}{b}$

ώστε και τα τέσσερα τετράπλευρα να είναι κυρτά ; ( το σχήμα της ανάρτησης είναι ακριβές )

#136

KARKAR έγραψε:Άσκηση 51
Το συνημμένο Άσκηση 51.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τώρα θέλουμε να τεμαχίσουμε το διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο σε τέσσερα

τμήματα , με εμβαδά ανάλογα των αριθμών , συνδέοντας εσωτερικό σημείο ,

με τα μέσα των πλευρών του . Δείξτε ότι η κατασκευή του σχήματος είναι

δυνατή και εντοπίστε το σημείο . Ανοιχτό ερώτημα : Ποιος πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{a}{b}$

ώστε και τα τέσσερα τετράπλευρα να είναι κυρτά ; ( το σχήμα της ανάρτησης είναι ακριβές )

Αν επιλέξουμε για το

π.χ.

1. Απόσταση από

ίση με $\dfrac{a}{{10}}$ και

2. Απόσταση από

ίση με $\dfrac{{3b}}{{10}}$

: ορθογώνια 51.png (25.66 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές

Τα άλλα ικανοποιούνται αυτόματα .

Ν.

sakis1963 · #137

KARKAR έγραψε:Άσκηση 51
Το συνημμένο Άσκηση 51.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τώρα θέλουμε να τεμαχίσουμε το διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο σε τέσσερα

τμήματα , με εμβαδά ανάλογα των αριθμών , συνδέοντας εσωτερικό σημείο ,

με τα μέσα των πλευρών του . Δείξτε ότι η κατασκευή του σχήματος είναι

δυνατή και εντοπίστε το σημείο . Ανοιχτό ερώτημα : Ποιος πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{a}{b}$

ώστε και τα τέσσερα τετράπλευρα να είναι κυρτά ; ( το σχήμα της ανάρτησης είναι ακριβές )

Ασκηση 51

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.51.png (29.6 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Αν

είναι η απόσταση (ύψος) των απέναντι πλευρών του ρόμβου KLMN

,

το

προσδιορίζεται ως η τομή των ευθειών $\varepsilon1, \varepsilon2$

όπου $\varepsilon1 \parallel KL$ και σε απόσταση $\dfrac{11}{10}d$

και $\varepsilon2 \parallel KN$ και σε απόσταση $\dfrac{3}{10}d$

Για την κυρτότητα των τετραπλεύρων νομίζω δεν παίζει ρόλο ο λόγος $\dfrac{a}{b}$ αλλά η επιλογή του μικρότερου τετράπλευρου ώστε νάχει εμβαδόν $>\dfrac{ab}{8}$ , οπότε ανακατανέμονται και τα εμβαδα π.χ. 1,5 - 2 - 3 - 3,5 (και έχουμε άλλη λύση για το

)

Φιλικά Σάκης

#138

ΑΣΚΗΣΗ 52

: Πυθαγόρας αλλώτικος..png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

και

η προβολή του

στη

. Έστω ακόμα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ η προβολές του

στις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι $\sqrt[3]{{E{Z^2}}} + \sqrt[3]{{E{H^2}}} = \sqrt[3]{{B{D^2}}}$ .

Ν.

#139

KARKAR έγραψε:Άσκηση 49
Το συνημμένο Άσκηση 49.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Με βάση τη χορδή , αποστήματος , κύκλου , σχεδιάζουμε ορθογώνιο ,

του οποίου η πλευρά βρίσκεται στην παράλληλη προς τη χορδή διάμετρο του κύκλου .

Καλείσθε να σχεδιάσετε ορθογώνιο με σημείο του κύκλου , σημείο της ,

ώστε .

: Ορθογώνια (KARKAR) 49.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Ας είναι $QB = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT = y$ . Προφανώς θα ισχύει η σχέση:

$d(2u - x) = xy \Rightarrow d(2u - x) = x\sqrt {{r^2} - {x^2}}$ και αφού ${d^2} + {u^2} = {r^2}$ έχουμε:

$d(2u - x) = x\sqrt {{d^2} + {u^2} - {x^2}}$ . Με ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει :

${x^4} - {u^2}{x^2} - 4u{d^2}x + 4{u^2}{d^2} = 0$ . Η τελευταία γράφεται :

$(x - u)({x^3} + u{x^2} - 4u{d^2}) = 0$ και άρα x = u

ή ${x^3} + u{x^2} - 4u{d^2} = 0$ που λύνεται εν γένει με τον τύπο του Gardano

.

π. χ . με $r = 13\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 5$ έχουμε u = 12

και τότε

$\boxed{x = \sqrt[3]{{536 - 40\sqrt {177} }} + \sqrt[3]{{536 + 40\sqrt {177} }} - 4}$ ( σχήμα)

Ν.

STOPJOHN · #140

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά
ΑΣΚΗΣΗ 52
Θέτουμε τις πλευρές του ορθογωνίου AB=a,BC=b

.
Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ADB

είναι :

$a^{2}=(EB)(BD)\Leftrightarrow a^{2}=\sqrt{d^{2}+(b-c)^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow ,d=\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}(*) b^{2}=(DE)(BD)\Leftrightarrow c=\dfrac{b^{3}}{a^{2}+b^{2}},(**) (*),(**)\Rightarrow (\dfrac{d}{a^{2}+b^{2}})^{\dfrac{2}{3}}+(\dfrac{c}{a^{2}+b^{2}})^{\dfrac{2}{3}}= \dfrac{1}{(a^{2}+b^{2})^{\dfrac{1}{3}}},(***)$ ,

H τελευταία σχέση είναι η αποδεικτέα γιατί

$(EZ)^{\dfrac{2}{3}}+(EH)^{\dfrac{2}{3}}=(BD)^{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow d^{\dfrac{2}{3}}+c^{\dfrac{2}{3}}=(a^{2}+b^{2})^{\dfrac{1}{3}}\Leftrightarrow (***)$

Γιάννης

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση