Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

#1

Βρείτε τους φυσικούς αριθμούς a,b,c

ώστε

$\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{2b}{b+2}=\dfrac{a+c}{c+3}.$

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Βρείτε τους φυσικούς αριθμούς ώστε

$\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{2b}{b+2}=\dfrac{a+c}{c+3}.$

Καλημέρα.

Παίρνω την ισότητα του πρώτου και τρίτου κλάσματος:
$\displaystyle{\frac{a}{{a + 1}} = \frac{{a + c}}{{c + 3}} \Leftrightarrow a(c + 3) = (a + 1)(a + c) \Leftrightarrow ac + 3a = {a^2} + ac + a + c \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{c = 2a - {a^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{c = a(2 - a)}$ (1)

Επειδή όμως $\displaystyle{a,b,c \ge 0 \Rightarrow 2 - a \ge 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{0 \le a \le 2}$
Ο

είναι όμως φυσικός αριθμός, άρα: a=0

ή

.

● Αν

, εύκολα προκύπτει ότι $\boxed{a=b=c=0}$

● Αν a=1

, η εξίσωση των δύο πρώτων κλασμάτων γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{2} = \frac{{2b}}{{b + 2}} \Leftrightarrow 4b = b + 2 \Leftrightarrow b = \frac{2}{3}}$ , που δεν είναι φυσικός, άρα η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

● Αν $\boxed{a=2}$ , από την (1)

, παίρνουμε άμεσα $\boxed{c=0}$ και από τα δύο πρώτα κλάσματα

$\displaystyle{\frac{2}{3} = \frac{{2b}}{{b + 2}} \Leftrightarrow 6b = 2b + 4 \Leftrightarrow 4b = 4 \Leftrightarrow }$ $\boxed{b=1}$

#3

Γιώργο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου. Μια άλλη προσέγγιση:

Το πρώτο κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας, άρα και το δεύτερο κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας οπότε

2b<b+2

που δίνει

δηλαδή

ή

Αν

τότε

Αν

τότε $\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{2}{3}$ οπότε a=2

και $\dfrac{c+2}{c+3}=\dfrac{2}{3}$ οπότε c=0.

Eυ. N. · #4

Γεια σας. Υπάρχει ένας πολύ πιο έυκολος τρόπος. Κατ αρχην, λύνουμε την 1η ισότητα ως προς β και την 3ηως προς γ και αντικαθιστούμε στην 2η. DA!

#5

Eυ. N. έγραψε:Γεια σας. Υπάρχει ένας πολύ πιο έυκολος τρόπος. Κατ αρχην, λύνουμε την 1η ισότητα ως προς β και την 3ηως προς γ και αντικαθιστούμε στην 2η. DA!

Καλό είναι να κάνεις τις πράξεις μέχρι τέλους και να μην τις περιγράφεις μόνο. Το λέω αυτό γιατί αν ακολουθήσεις τα βήματα
που προτείνεις θα βρεις

α) $b = \frac {2a}{a+1}$ , μετά β) c= 2a-a^2

.

Αν τώρα κάνεις το τρίτο βήμα που προτείνεις, θα καταλήξεις σε $\frac {2b}{b+2} = \frac {a}{a+1}$ και $\frac {a+c}{c+3} = \frac {3a-a^2}{2a-a^2+3} =\frac {a(3-a)}{(a+1)(3-a)} =\frac {a}{a+1}$ .

Με άλλα λόγια κατέληξες ακριβώς στις αρχικές εξισώσεις. Δηλαδή, γυρνάς σε άσκοπο κύκλο.

Καλό είναι λοιπόν να μας δείξεις ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ την λύση σου. Όχι απλή περιγραφή.

Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Re: Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Re: Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Re: Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Re: Τρεις άγνωστοι φυσικοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση