Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1721

ΑΣΚΗΣΗ 580
Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο

, ο αριθμός n^3 - 9n + 27

δε διαιρείται με το

.

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 576
Σε ένα τουρνουά συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μία φορά. Σε κάθε αγώνα, η νικήτρια ομάδα κέρδιζε βαθμούς, η ηττημένη βαθμούς ενώ σε περίπτωση ισοπαλίας οι δύο ομάδες κέρδιζαν από βαθμό. Στο τέλος του τουρνουά, διαπιστώθηκε ότι το άθροισμα των βαθμών που κέρδισαν όλες οι ομάδες ήταν Να δείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις ομάδες, καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.

ealexiou · #1722

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 576
Σε ένα τουρνουά συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μία φορά. Σε κάθε αγώνα, η νικήτρια ομάδα κέρδιζε βαθμούς, η ηττημένη βαθμούς ενώ σε περίπτωση ισοπαλίας οι δύο ομάδες κέρδιζαν από βαθμό. Στο τέλος του τουρνουά, διαπιστώθηκε ότι το άθροισμα των βαθμών που κέρδισαν όλες οι ομάδες ήταν Να δείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις ομάδες, καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.

Οι

ομάδες έπαιξαν $C(6,2)=\dfrac{6!}{2!\cdot4!}=15$ αγώνες.
Αν

οι αγώνες με νικητή και ηττημένο και

οι αγώνες με ισοπαλία τότε $3x+2y=41 \ (1)$ και επειδή $x+y=15\ (2)$ , $(1)+(2)\Rightarrow x=11,\ y=4$ . Συνεπώς τέσσερις ομάδες καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.

#1723

ΑΣΚΗΣΗ 581 (Βαθμός δυσκολίας 2, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν $\displaystyle{a , b , c > 0}$ , με $\displaystyle{abc = 1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+c\sqrt{a}+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+a\sqrt{b}+\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+b\sqrt{c}+\sqrt{ab}}=1}$

kostas232 · #1724

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 581 (Βαθμός δυσκολίας 2, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν $\displaystyle{a , b , c > 0}$ , με $\displaystyle{abc = 1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+c\sqrt{a}+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+a\sqrt{b}+\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+b\sqrt{c}+\sqrt{ab}}=1}$

Επειδή οι

είναι θετικοί οι ρίζες, καθώς και τα κλάσματα, ορίζονται.
Πολλαπλασιάζοντας το πρώτο κλάσμα με $\sqrt{bc}$ , το δεύτερο με $\sqrt{ac}$ και το τρίτο με $\sqrt{ab}$ , η ισότητα
που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται η:
$\frac{1}{1+c+bc} +\frac{1}{1+a+ac} +\frac{1}{1+b+ab} =1 (1)$
Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με

και το τρίτο με

οπότε η (1) γίνεται
$\frac{1+a+ac}{1+a+ac}=1$ , που αληθεύει.

Κωνσταντίνος Τερζής

#1725

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 580
Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο , ο αριθμός δε διαιρείται με το .

Αν ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

τότε ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

Άρα και ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

, πόσο μάλλον του 81.

Μένει να δούμε τι γίνεται όταν n=3k

όπου

ακέραιος. Τότε
n^3-9n+27=27(k^3-k)+27=27(k-1)k(k+1)+27

Το γινόμενο (k-1)k(k+1)

είναι πάντα πολλαπλάσιο του

ως γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων (ένας από τους k-1,k,k+1

είναι πολλαπλάσιο του 3).

Άρα ο αριθμός 27(k-1)k(k+1)

είναι πολλαπλάσιο του 81 ενώ ο 27(k-1)k(k+1)+27

διαιρούμενος με 81 αφήνει υπόλοιπο 27.

#1726

ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν $\displaystyle{x,y \in R}$ και $\displaystyle{z}$ είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : $\displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x , y , z}$

kostas232 · #1727

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν $\displaystyle{x,y \in R}$ και $\displaystyle{z}$ είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : $\displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x , y , z}$

Από τη σχέση x+y=x^3+y^3=x^5+y^5

προκύπτουν οι σχέσεις x(x^2-1)+y(y^2-1)=0(1)

και

Από τις (1) και (2) προκύπτει η σχέση y(y^2-1)(y^2-x^2)=0

.
Παίρνοντας περιπτώσεις εύκολα βλέπουμε ότι η αρχική σχέση έχει τις λύσεις
(x,y)=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(1,1)(1,-1)(-1,1),(k,-k)(k,k)

με

πραγματικό αριθμό διάφορο του 0,1,-1.
Λαμβάνοντας υπ' όψιν το γεγονός ότι $x+y=x^3+y^3=x^5+y^5=2p-1,p\geq1$ ,όπου

ακέραιος, λαμβάνουμε τις τριάδες
(x,y,z)=(0,1,1),(1,0,1)

.

#1728

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν $\displaystyle{x,y \in R}$ και $\displaystyle{z}$ είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : $\displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x , y , z}$

Δείτε και:
viewtopic.php?f=109&t=34737

#1729

ΑΣΚΗΣΗ 583

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{2014\,\,\psi \eta \varphi \iota\alpha }5}}^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{2015\,\,\psi \eta \varphi \iota \alpha }-{{10}^{2015}}}$

είναι τέλειο τετράγωνο.

( Ρουμανία 2015)

Μπ

#1730

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 583

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{2014\,\,\psi \eta \varphi \iota\alpha }5}}^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{2015\,\,\psi \eta \varphi \iota \alpha }-{{10}^{2015}}}$

είναι τέλειο τετράγωνο.

Γενικότερα

$\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{n}5}}^{\,2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}= (\overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}+1})^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}}$

$= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +\overline{\underbrace{888...88}_{n+1}} +1+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}}$

$= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +\overline{\underbrace{999...99}_{n+1}} +1-{{10}^{n+1}}}$

$= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +10^{n+1}-{{10}^{n+1}}= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} }$ (τέλειο τετράγωνο).

Παράδειγμα 45^2+11-100=44^2

Φιλικά,

Μιχάλης

#1731

ΑΣΚΗΣΗ 584 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{b\neq c}$ , και αν επί πλέον

οι αριθμοί $\displaystyle{a , a+b , a+b+c}$ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς $\displaystyle{b , b+13 , b+c}$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a.b.c}$ είναι τέλειο τετράγωνο

φυσικού αριθμού.

#1732

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 584 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{b\neq c}$ , και αν επί πλέον
οι αριθμοί $\displaystyle{a , a+b , a+b+c}$ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς $\displaystyle{b , b+13 , b+c}$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a.b.c}$ είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Ακόμα καλύτερα, βρείτε τα a,b,c

(η απάντηση είναι μοναδική).

kostas232 · #1733

Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή $\displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}$ , με x,y

ακεραίους.

#1734

kostas232 έγραψε:Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή $\displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}$ , με ακεραίους.

H δοσμένη παράσταση γράφεται: $\displaystyle{A=\frac{645x+584y}{584.645}}$ . Για να γίνει η $\displaystyle{A}$ ελάχιστη και θετική, πρέπει η παράσταση $\displaystyle{B=645x+584y}$ να γίνει ελάχιστη

και θετική. Αφού οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ακέραιοι τότε η ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $\displaystyle{B}$ είναι το $\displaystyle{1}$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχουν

$\displaystyle{x , y\in Z}$ , ώστε $\displaystyle{645x+584y =1}$ . Όμως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{(645,584)=1}$ . Άρα πράγματι υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ ώστε $\displaystyle{645x + 584y = 1}$ , οπότε η ελάχιστη

θετική τιμή της $\displaystyle{A}$ είναι η $\displaystyle{\frac{1}{645.584}}$ . (Εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό επιτυγχάνεται για $\displaystyle{x=517 , y= - 571}$ )

#1735

ΑΣΚΗΣΗ 586: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{4x^2 - 4k^2 x =16m -1693}$ , με $\displaystyle{k , m \in Z}$ δεν έχει ρίζες ίσες.

kostas232 · #1736

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
kostas232 έγραψε:Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή $\displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}$ , με ακεραίους.
H δοσμένη παράσταση γράφεται: $\displaystyle{A=\frac{645x+584y}{584.645}}$ . Για να γίνει η $\displaystyle{A}$ ελάχιστη και θετική, πρέπει η παράσταση $\displaystyle{B=645x+584y}$ να γίνει ελάχιστη

και θετική. Αφού οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ακέραιοι τότε η ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $\displaystyle{B}$ είναι το $\displaystyle{1}$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχουν

$\displaystyle{x , y\in Z}$ , ώστε $\displaystyle{645x+584y =1}$ . Όμως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{(645,584)=1}$ . Άρα πράγματι υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ ώστε $\displaystyle{645x + 584y = 1}$ , οπότε η ελάχιστη

θετική τιμή της $\displaystyle{A}$ είναι η $\displaystyle{\frac{1}{645.584}}$ . (Εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό
επιτυγχάνεται για $\displaystyle{x=517 , y= - 571}$ )

Γενικά μπορούμε να πούμε ότι, επειδή $(k,m)\mid kx+my$ με k,m

ακεραίους είναι min(km+my)=(x,m)

.

#1737

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 586: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{4x^2 - 4k^2 x =16m -1693}$ , με $\displaystyle{k , m \in Z}$ δεν έχει ρίζες ίσες.

Αν η δοθείσα εξίσωση έχει (ως προς

) δύο ίσες ρίζες, τότε k^4+16m-1693=0.

Επομένως, $k^4\equiv 1693 \equiv 13 \pmod {16}.$
Όμως, $k^4\equiv 0, \ 1, \ 4, \ 9 \pmod{16}.$

#1738

ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν $\displaystyle{x,y \in Z}$ , να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}$

kostas232 · #1739

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν $\displaystyle{x,y \in Z}$ , να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}$

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-x-y)=0(1)}$ .

Αν x=y

, τότε προφανώς κάθε ζεύγος $(x,y)=(k,k), k\in \mathbb{Z}$ ικανοποιεί την εξίσωση (1).

Aν x^2+y^2+xy-x-y=0

τότε έχουμε

$\displaystyle{x^2+(y-1)x+y^2-y=0}$

Για να έχει λύσεις η παραπάνω εξίσωση πρέπει

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (y-1)^2 -4(y^2-y) \geq 0 \Leftrightarrow -3y^2+2y+1 \geq 0 \Leftrightarrow 3y^2-2y-1 \leq 0 \Leftrightarrow y\in \left [-\frac{2}{3}, 1 \right]}$ .

Όμως $y \in \mathbb{Z}$ , άρα $y\in \{0,1\}$ .

Για y=0

έχουμε $x^2-x=0 \Leftrightarrow x=0 \wedge x=1$ .

Για y=1

έχουμε $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$ .

Συνολικά, λοιπόν, η (1) έχει στο $\mathbb{Z}$ τις λύσεις (x,y)=(0,1),(1,0),(k,k)

, όπου $k\in \mathbb{Z}$ .

Al.Koutsouridis · #1740

kostas232 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν $\displaystyle{x,y \in Z}$ , να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}$
Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-x-y)=0(1)}$ .

Αν , τότε προφανώς κάθε ζεύγος $(x,y)=(k,k), k\in \mathbb{Z}$ ικανοποιεί την εξίσωση (1).

Aν τότε έχουμε

$\displaystyle{x^2+(y-1)x+y^2-y=0}$

Λίγο διαφορετικά απο εδώ και πέρα.

$A= x^2+y^2+xy-x-y=0 \Rightarrow$

$2A = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y=0 \Rightarrow$

$2x^2+2y^2+2xy-2x-2y +1 +1=2 \Rightarrow$

(x+y)^2 + (x-1)^2 +(y-1)^2 = 2

επειδή τα τετράγωνα είναι θετικά παρατηρούμε ότι θα πρέπει δυο από αυτά να είναι ίσα με ένα και το άλλο μηδέν που μας οδηγεί στις λύσεις (0,1), (1,0)

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση