απλή διδακτική 3

tolis riza · #1

Δίνεται συνάρτηση

δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ τέτοια ώστε:
$f(\alpha ) = f(\beta )$ και $f'(\alpha ) = f'(\beta )$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε: $f''(\xi ) = f(\xi )$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Δεν μπορεί να ισχύει ετσι όπως είναι.
π.χ αν προσθέσουμε μια σταθερά στην συνάρτηση οι υποθέσεις ισχύουν ενώ το συμπέρασμα όχι.

#3

tolis riza έγραψε:Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ τέτοια ώστε:
$f(\alpha ) = f(\beta )$ και $f'(\alpha ) = f'(\beta )$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε: $f''(\xi ) = f(\xi )$

Ας αναφέρουμε και ένα χειροπιαστό αντιπαράδειγμα.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=5+\sin ^2x}$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις στο $\displaystyle{[0,\pi].}$ Εντούτοις η εξίσωση $\displaystyle{2\cos 2x=5+\sin ^2x}$ είναι προφανώς αδύνατη.

#4

Μήπως είναι $\displaystyle{f''(\xi ) = f'(\xi )}$ ;

#5

#6

exdx έγραψε: $\displaystyle{\begin{array}{l} f(x) = \frac{{{x^3} - 4x}}{{{x^2} + 4}},\,\,\,\,\,\,\,f(2) = f( - 2) = 0,f(0) = 0 \\ f'(x) = \frac{{{x^4} + 16{x^2} - 16}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f'(2) = f'( - 2) \\ f''(x) = \frac{{ - 16{x^3} + 192x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}},\,\,\,\,\,\,\,f''(0) = 0 \Rightarrow f(0) = f''(0) \\ \end{array}}$

Γιώργη, τι θέλεις να πεις με αυτό το μήνυμα;

#7

Αν μπορούν να αλλάξουν οι υποθέσεις με οδηγό αυτή τη συνάρτηση
Πχ. η $\displaystyle{f}$ περιττή και ορισμένη στο $\displaystyle{[ - a,a]}$

Atlas · #8

Απαιτείται και η συνθήκη:
$\forall \mathop {}\limits_{}^{} x \in \mathop {}\limits_{}^{} [\alpha ,\beta ]\mathop {}\limits_{}^{} ,\mathop {}\limits_{}^{} f'(x) > f(x)\mathop {}\limits_{}^{} ,$

#9

Atlas έγραψε:Απαιτείται και η συνθήκη:
$\forall \mathop {}\limits_{}^{} x \in \mathop {}\limits_{}^{} [\alpha ,\beta ]\mathop {}\limits_{}^{} ,\mathop {}\limits_{}^{} f'(x) > f(x)\mathop {}\limits_{}^{} ,$

Το εικάζετε ή σας το είπε το μέλος tolis riza ;

tolis riza · #10

Η σωστή επιπλέον συνθήκη που απαιτείται είναι : $f'(\alpha ) > f(\alpha ) > 0$

#11

tolis riza έγραψε:Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ τέτοια ώστε:
$f(\alpha ) = f(\beta )$ και $f'(\alpha ) = f'(\beta )$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε: $f''(\xi ) = f(\xi )$

...χαιρετώ την παρέα με μία προσπάθεια μετά την συζήτηση που είχε το θέμα που τελικά δεν ήταν και τόσο απλό...

Μετά και την προσθήκη του ότι ${f}'(\alpha )>f(\alpha )>0$ θεωρώντας τν συνάρτηση $g(x)={{e}^{x}}({f}'(x)-f(x)),\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\beta ]$

θέλουμε ρίζα για την παράγωγό της που είναι ${g}'(x)={{e}^{x}}({f}''(x)-f(x)),\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta )$

Τώρα είναι $g(\alpha )={{e}^{x}}({f}'(\alpha )-f(\alpha ))>0$ και $g(\beta )={{e}^{x}}({f}'(\beta )-f(\beta ))>0$

αφού $f(\alpha ) = f(\beta )$ και $f'(\alpha ) = f'(\beta )$

Αν υπάρχει $\gamma \in (\alpha ,\beta )$ ώστε $g(\gamma )<0$ τότε $g(\alpha )g(\gamma )<0,\,\,\,g(\beta )g(\gamma )<0$

και σύμφωνα με το Θ. Bolzano υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (\alpha ,\,\,\gamma ),\,\,\,{{x}_{2}}\in (\gamma ,\,\,\beta )$ ώστε

$g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0$ και τότε σύμφωνα με το Θ. Rolle υπάρχει $\xi \in ({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}})\subset (\alpha ,\beta )$ που ${g}'(\xi )=0$

Αν τώρα $g(x)={{e}^{x}}({f}'(x)-f(x))>0,\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta )$ θα είναι και ${f}'(x)-f(x)>0,\,\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta )$

επομένως η συνάρτηση $h(x)={{e}^{-x}}f(x),\,\,\,x\in [\alpha ,\,\beta ]$ είναι γνήσια αύξουσα στο $[\alpha ,\,\beta ]$ αφού

${h}'(x)={{e}^{-x}}({f}'(x)-f(x))>0,\,\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta )$ και τότε

γιά $\alpha <\beta \Rightarrow h(\alpha )<h(\beta )\Leftrightarrow {{e}^{-\alpha }}({f}'(\alpha )-f(\alpha ))<{{e}^{-\beta }}({f}'(\beta )-f(\beta ))$

και επειδή ${f}'(\alpha )-f(\alpha )={f}'(\alpha )-f(\alpha )>0$ προκύπτει ότι

${{e}^{-\alpha }}<{{e}^{-\beta }}\Leftrightarrow -\alpha <-\beta \Rightarrow \alpha >\beta$ που είναι άτοπο.

Αρα υπάρχει $\gamma \in (\alpha ,\beta )$ ώστε $g(\gamma )<0$ που συνεπάγεται αυτό που θέλουμε.

...δεν έχω βρει αντιπαράδειγμα με την πρόσθετη συνθήκη....θα δείξει

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

tolis riza · #12

Σχεδόν ίδια είναι και η λύση μου, με μόνη διαφορά ότι μαζί με την συνάρτηση
$h(x) = \left( {f'(x) + f(x)} \right){e^{ - x}}$ , παίρνουμε και την $g(x) = \left( {f'(x) - f(x)} \right){e^x}$ ,
οπότε υποθέτοντας f''(x) > f(x)

ή

, για κάθε $x \in (\alpha ,\beta )$ , προκύπτει το άτοπο.

απλή διδακτική 3

απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Re: απλή διδακτική 3

Μέλη σε σύνδεση