Γενικό θέμα

gradion · #1

Δίνεται η συνάρτηση . $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}.$

Να δείξετε ότι:

Α. $f''(x)< f(x+1)-2f(x)+f(x-1),για κάθε x\in \mathbb{R}.$

Β.. Για κάθε $x\in (0,1),$ υπάρχει $c\in (0,1)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle \frac{f(x)-1}{x}-e+1=\frac{f''(c)\cdot (x-1)}{2}.$

Γ. Για κάθε $a,\beta \in \mathbb{R},$ με $0< a< \beta , x> 0$ , ισχύει $\displaystyle f\left ( a^{x} \right )-f\left ( \beta ^{x} \right )<f'\left ( \beta ^{x} \right )-f'\left ( a^{x} \right ).$

Δ. Η εξίσωση f(x)=x+1

, έχει ακριβώς δύο λύσεις στο $\mathbb{R}.$

φιλικά
Αντώνης

#2

gradion έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση . $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}.$

Να δείξετε ότι:

Α. $f''(x)< f(x+1)-2f(x)+f(x-1),για κάθε x\in \mathbb{R}.$

...Καλημέρα

και καλή σχολική χρονιά...μιά προσέγγιση γιά το Α...

Α. Επειδή ${f}'(x)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}},\,\,\,{f}''(x)=2{{e}^{{{x}^{2}}}}+4{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$ θέλουμε να δείξουμε ότι

$2{{e}^{{{x}^{2}}}}+4{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}<{{e}^{{{(x+1)}^{2}}}}-2{{e}^{{{x}^{2}}}}+{{e}^{{{(x-1)}^{2}}}}$ ή

$2{{e}^{{{x}^{2}}}}+4{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}<{{e}^{{{x}^{2}}+2x+1}}-2{{e}^{{{x}^{2}}}}+{{e}^{{{x}^{2}}-2x+1}}\Leftrightarrow 2+4{{x}^{2}}<{{e}^{2x+1}}-2+{{e}^{-2x+1}}$ ή ${{e}^{2x+1}}+{{e}^{-2x+1}}-4{{x}^{2}}-4>0,\,\,\,x\in R$

Γι αυτό θεωρώντας την $g(x)={{e}^{2x+1}}+{{e}^{-2x+1}}-4{{x}^{2}}-4,\,\,\,x\in R$ είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=2{{e}^{2x+1}}-2{{e}^{-2x+1}}-8x,\,\,\,x\in R$ και {g}'(0)=0

και επίσης ${g}''(x)=4{{e}^{2x+1}}+4{{e}^{-2x+1}}-8,\,\,\,x\in R$

Τώρα από την γνωστή ανισότητα $\ln x\le x-1,\,\,\,x>0$ με όπου x>0

το ${{e}^{x}},\,\,\,\,x\in R$ προκύπτει ότι

${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,\,\,x\in R$ επομένως ${{e}^{2x+1}}\ge 2x+2,\,\,\,{{e}^{-2x+1}}\ge -2x+2,\,\,\,\,x\in R$

και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι ${{e}^{2x+1}}+{{e}^{-2x+1}}\ge 4>2$ άρα

${g}''(x)=4({{e}^{2x+1}}+{{e}^{-2x+1}}-2)>0,\,\,\,x\in R$ οπότε η {g}'

είναι γνήσια αύξουσα στο

και επομένως ισχύουν

για $x<0\Leftrightarrow {g}'(x)<{g}'(0)=0$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,0]$ και

για $x>0\Leftrightarrow {g}'(x)>{g}'(0)=0$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$ άρα στο x=0

ή

παρουσιάζει ελάχιστο το g(0)=2e-4>0

άρα $g(x)={{e}^{2x+1}}+{{e}^{-2x+1}}-4{{x}^{2}}-4>0,\,\,\,x\in R$ που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #3

...Μετά από προσωπικό μήνυμα, να δώσω υπόδειξη για το β. ερώτημα...

Ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)-1}{x}$ .

Από Θ. Taylor (θεώρημα μέσης τιμής), έχουμε $\displaystyle g(x)=g(1)+g'(\xi )(x-1),\xi \in (x,1)$ .

Επίσης, πάλι από Θ. Taylor, έχουμε ότι $\displaystyle g'(\xi )=\frac{(\xi -0)f'(\xi )-f(\xi)+f(0)}{(\xi -0)^{2}}=\frac{1}{2}f''(c),c\in (0,\xi )$ .

Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση το $g'(\xi )$ , έχουμε το ζητούμενο:

$\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}+\frac{1}{2}f''(c)(x-1)$

Φιλικά,
Μάριος

chris97 · #4

για το γ) ερώτημα
θέλουμε να δείξουμε ότι:
f(a^x)-f(b^x)<f'(b^x)-f'(a^x)

δηλαδή ότι:
f(a^x)+f'(a^x)<f'(b^x)+f(b^x)

δηλαδή ότι:
(f+f')(a^x)<(f+f')(b^x) (1)

θεωρούμε την συνάρτηση g(x)

όπου:

Εύκολα δείχνουμε ότι η g(x)

είναι γνήσια αύξουσα
αφού: $g'(x)=2e^{x^2}(2x^2+x+1)>0$

άρα από (1)

έχουμε:

και αφού η

είναι γνήσια αύξουσα:
a^x<b^x

κάτι που ισχύει για κάθε 0<a<b

με

#5

gradion έγραψε:
Δ. Η εξίσωση, έχει ακριβώς δύο λύσεις στο $\mathbb{R}.$

Δ. Έστω $\displaystyle{g(x)={{e}^{{{x}^{2}}}}-x-1}$ . Τότε $\displaystyle{g(0)=0}$ και $\displaystyle{g\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt[4]{e}-\frac{3}{2}<0}$ αφού $\displaystyle{e < \frac{{81}}{{16}}}$
Ακόμα : $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{x}-1-\frac{1}{x} \right)}$ κι αφού : $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\frac{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}}{1}=+\infty }$
θα είναι και $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty }$
Επομένως η εξίσωση $\displaystyle{g(x)=0}$ έχει ως ρίζες το $\displaystyle{0}$ και την $\displaystyle{{{x}_{1}}\in \left( \frac{1}{2},+\infty \right)}$
Αν είχε τρεις ρίζες $\displaystyle{{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}}$ , τότε με εφαρμογή του Θ. Rolle στα $\displaystyle{\left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right],[{{x}_{2}},{{x}_{3}}]}$ , η $\displaystyle{{g}'(x)=0}$ θα είχε δυο ρίζες που είναι άτοπο αφού $\displaystyle{{g}'(x)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}$ και $\displaystyle{{{g}'}'(x)=2{{e}^{{{x}^{2}}}}(2+4{{x}^{2}})>0}$ οπότε η $\displaystyle{{g}'}$ είναι γνησίως αύξουσα

gradion · #6

Kαλημέρα σας
Εβαλα χωριστά σαν θέμα αυτή την άσκηση ,που ήταν στα νέα θέματα(ΝΕΑ ΥΛΗ Γ΄) ,και με προβλημάτισε το ερώτημα Β.
ζητώντας με π.μ. μια λύση ή έστω υπόδειξη και μη έχοντας απάντηση απο τον θεματοδότη στο Β ,το έβαλα χωριστά σαν θέμα.
Η απάντηση του θεματοδότη ,είναι για Γ λυκείου ; Aν την πάω στον καθηγητή μου στο σχολείο και δεν μου την λύσει θα
σκεφτώ οτι δεν ξέρει μαθηματικά .Θα ήθελα την γνώμη σας.

Αντώνης

M.S.Vovos · #7

Καλημέρα! Η απάντηση στο β. ερώτημα είναι εντός της σχολικής ύλης γ' λυκείου 2015-2016. Το Θ. Taylor, είναι μια περίπτωση του Θ.Μ.Τ. Η απόδειξη είναι απλή και διδακτική! Ό,τι βλέπεις από ασκήσεις στο συγκεκριμένο forum είναι άρτια δομημένες και αν έχουν λάθη στο περιεχόμενο ή στη δομή διορθώνονται αμέσως ή αποσύρονται. Τώρα, αν ο καθηγητής σου στο σχολείο θα είναι στη θέση να τη λύση, είναι άλλο θέμα. Γενικότερα, η συγκεκριμένη άσκηση χαρακτηρίζεται (όπως ανέφερα και στο σχόλιο μου στο φάκελο) ως αρκετά δύσκολη, για τους μαθητές. Θεωρώ, ότι όποιος τελειώνει το μαθηματικό, πόσο μάλλον όταν διδάσκει και στα σχολεία, πρέπει να είναι άρτιος λύτης, ώστε να είναι καλός καθηγητής. Φυσικά, ουδείς αλάνθαστος! Τα λάθη είναι για να μας βελτιώνουν.

Εύχομαι καλή σχολική χρονιά και επιτυχία!

Φιλικά,
Μάριος

gradion · #8

Eχετε την καλωσύνη κ.Μάριε ,να μου πείτε που έκανα στο σχολείο αυτό το θεώρημα.Αλλά θα σας
ήμουν ευγνώμων αν μου κάνατε την απόδειξη του θ.Taylor.Σας παρακαλώ ειλικρινά , κάντε μου
την.
Θα παρακαλούσα άλλους κυρίους να γράψουν και αν έχω λάθος να αρχίσω να διαβάζω και άλλο.
Σχετικά με αυτό που γράψατε :
Θεωρώ, ότι όποιος τελειώνει το μαθηματικό, πόσο μάλλον όταν διδάσκει και στα σχολεία, πρέπει να είναι άρτιος λύτης, ώστε να είναι καλός καθηγητής
δεν συμφωνώ,oπως το θέτετε .Για τα σχολικά ΟΚ επιβάλλεται ,αλλά όλοι αυτοί που δεν την έλυσαν απο τότε που την βάλατε δεν είναι καλοί.Απαντήστε παρακαλώ.
ευχαριστω

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Εχεις δίκιο.Το θ.Taylor δεν υπάρχει στην σχολική ύλη.

M.S.Vovos · #10

Κατ' αρχήν, ας ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα. Το Θ. Taylor, που πρακτικά, δεν είναι τίποτε άλλο από μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, φυσικά δεν διδάσκεται στο σχολείο. Ας αναλογιστούμε, τι διδάσκεται από το σχολείο. Προσωπικά, το διδάσκω μαζί με άλλους συνάδελφους όπως ο κ. Μπόρης, που έχει την άσκηση και στο δωρέαν βιβλίο του. Ας πάμε σε κάτι άλλο, τώρα. Θεώρημα Flett. Διδάσκεται στο σχολείο; Φυσικά και όχι. Άλλη μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ. που υπάρχει στην εξεταστέα ύλη και διδάσκεται κανονικά. Επομένως, το ότι δε το γράφει το σχολικό δε σημαίνει πως δε λύνεται με τις γνώσεις και την ύλη της γ' λυκείου. Όσον αφορά, τους μαθηματικούς που δε μπορούν να λύσουν τέτοιες ασκήσεις, η προσωπική μου γνώμη είναι πως ΠΡΕΠΕΙ να είσαι άρτιος λύτης. Ντρέπομαι τη μέρα, που κάποιος μαθητής μου θα φέρει άσκηση που δε θα ξέρω να τη λύσω, από τη στιγμή που έχω κάνει ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ στο πανεπιστήμια και όχι τετριμμένες και πολλές φορές ανευ ουσίας ασκήσεις, όπως έχει τέτοιες οι γ' λυκείου. Το ότι κάποιος καθηγητής δε ξέρει να λύσει, μια άσκηση φυσικά, δε σημαίνει αυτομάτως ότι είναι κακώς στη δουλεία του ή δε ξέρει μαθηματικά, αλλά είναι σίγουρο, ότι θα πρέπει να τη μάθει για να βελτιωθεί.Τέλος, να απαντήσω, στο χρήστη Παπαδόπουλο, λέγοντας του, να μην είναι απόλυτος, αφού μπορεί να είναι λάθος, κάτι που μπερδεύει τους μαθητές και τους εμποδίζει από τη γνώση.

Ελπίζω, να ήμουν σαφής.

Ό,τι θέλεις να με ρωτήσεις, παρακαλώ, να το κάνεις.

Υ.Γ. Αν ψάξεις στο

θα βρείς πολλές ασκήσεις, αποδείξεις και εξηγήσεις του θεωρήματος Taylor, αλλά θα σου πρότεινα να δουλέψεις μόνο σου, για το δικό σου καλό.

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Παρακαλώ τον κύριο Mάριο (M.S.Vovos) να διατυπώση το Θ.Taylor για να καταλάβω και εγώ τι εννοεί.

M.S.Vovos · #12

Παραθέτω, το ερώτημα με τη συζήτηση του.

viewtopic.php?f=53&t=3472&p=18600#p18600

dennys · #13

k. Μάριε θα ήθελα να γνωρίζω που διδάσκεις. Νομίζω δεν είναι κακό να το γράψεις ,γιατί εγώ δεν το γνωρίζω .
Θα ήθελα ακόμη να σού πώ ότι , όποιος στα μαθηματικά ισχυρίζεται πως τα ξέρει όλα ,όπως κάνετε εσείς τώρα
τότε υπάρχει θέμα. Το ότι μας έδειξες ενα παλιό θέμα που το έλυσε ο dement( Δημήτρης Σκουτέρης)με TAYLOR,
ή ο Ροδόλφος δεν λέει κάτι .Αλλωστε μπορούν να μας πούν οι ίδιοι αν συμφωνούν.Ζου ζήτησαν κα΄ποιοι να τους αποδείξεις
εσύ όπως το κάνεις στον πίνακα ,το θεωρημα .Καντο σε παρακαλώ πολύ.
Θα ήθελα ειλικρινά να σε γνωρίσω προσωπικά ,αν θέλεις με π.μ πες μου που ,γιατί με ενδιαφέρει να συζητήσουμε για μαθηματικά .

με εκτίμηση
ΒΟΥΤΣΑΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ

#14

M.S.Vovos έγραψε:Κατ' αρχήν, ας ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα. Το Θ. Taylor, που πρακτικά, δεν είναι τίποτε άλλο από μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, φυσικά δεν διδάσκεται στο σχολείο. Ας αναλογιστούμε, τι διδάσκεται από το σχολείο. Προσωπικά, το διδάσκω μαζί με άλλους συνάδελφους όπως ο κ. Μπόρης, που έχει την άσκηση και στο δωρέαν βιβλίο του. Ας πάμε σε κάτι άλλο, τώρα. Θεώρημα Flett. Διδάσκεται στο σχολείο; Φυσικά και όχι. Άλλη μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ. που υπάρχει στην εξεταστέα ύλη και διδάσκεται κανονικά. Επομένως, το ότι δε το γράφει το σχολικό δε σημαίνει πως δε λύνεται με τις γνώσεις και την ύλη της γ' λυκείου.

Επειδή μας διαβάζουν και μαθητές και θεωρώ ότι μπορεί να δημιουργηθούν άσχημες εντυπώσεις, αισθάνομαι την ανάγκη να πω πως ποτέ δεν έχω διδάξει ούτε Taylor, ούτε Flett.

Το να ανοίξουμε τα πανεπιστημιακά μας βιβλία και να προσπαθήσουμε σώνει και καλά να φέρουμε το περιεχόμενό τους στα μέτρα της ύλης της Γ' Λυκείου είναι κάτι που με βρίσκει αντίθετο. Ποιος ο λόγος άλλωστε;

Λάμπρος Μπαλός · #15

Ε καλά ψητά τώρα!
Δεν ξέρω Μάριε αν δείχνεις στους μαθητές το Ανάπτυγμα Taylor αλλά αν το κάνεις (και όποιος άλλος) πολύ κακώς το κάνεις και επιπλέον αυτή η κούφια επίδειξη γνώσεων και η παράθεση ασκήσεων με το καρμπόν ΔΕΝ ΜΕ ΠΕΙΘΕΙ. Αν πείθεται κάποιος, ας πάει να κοιταχτεί σε κάναν γιατρό!

M.S.Vovos · #16

Αγαπητοί, για να τελειώνουμε το συνεχόμενο διαπληκτισμό μεταξύ μας!

Η άσκηση αυτή δεν είναι δικιά μου δημιουργία, με την έννοια ότι δε δημιούργησα εγώ τα ερωτήματα. Αυτό που έκανα είναι να συνθέσω μερικά ερωτήματα από πηγές, οι οποίες απευθύνονται για μαθητές Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ. Το συγκεκριμένο ερώτημα είναι της κ. Φωτεινής, ενώ τα άλλα, είναι από το βιβλίο του κ. Μπόρη. Δηλαδή, όλα τα ερωτήματα είναι ΕΝΤΟΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ. Αν, τώρα, θέλετε να διαγράψω το ερώτημα, μετά χαράς δεν έχω κανένα τέτοιο πρόβλημα. Απορώ, για κάποιους που έχουν διαβάσει τις απόψεις μου, για τα θέματα των πανελληνίων, να θεωρούν ότι μ' αρέσει να "τιμωρώ" τους μαθητές!

Υ.Γ. Λάμπρο, φυσικά, και δε διδάσκω το ανάπτυγμα... Να πω την τρομερή αλήθεια, με ΕΓΚΡΙΣΗ των παιδιών τους είπα για Flett και έκανα και αυτή την άσκηση. Παρακαλώ, αποκεφαλίστε με!

Φιλικά,
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #17

"Με έγκριση των παιδιών.."
Μία τολμηρή θέση πάνω σ'αυτό. Χρειάζεται άραγε ο καθηγητής την έγκριση του μαθητή;

Δεν πρόκειται να σε αποκεφαλίσει κανείς. Απλώς λίγη προσοχή παραπάνω δεν βλάπτει. Δεν μιλώ εξ ονόματος όλων εδώ μέσα και εκφράζω μόνο τη δική μου θέση, αλλά όλοι λίγο πολύ ξέρουμε ότι βρισκόμαστε στον σοβαρότερο διαδικτυακό χώρο περί τα Μαθηματικά εν Ελλάδι. Ε ρε 'συ Μάριέ μου, γίνε λίγο πιο αυστηρός με τον εαυτό σου. Άντε, σε καληνυχτώ!

#18

M.S.Vovos έγραψε:Αγαπητοί, για να τελειώνουμε το συνεχόμενο διαπληκτισμό μεταξύ μας!

Η άσκηση αυτή δεν είναι δικιά μου δημιουργία, με την έννοια ότι δε δημιούργησα εγώ τα ερωτήματα. Αυτό που έκανα είναι να συνθέσω μερικά ερωτήματα από πηγές, οι οποίες απευθύνονται για μαθητές Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ. Το συγκεκριμένο ερώτημα είναι της κ. Φωτεινής, ενώ τα άλλα, είναι από το βιβλίο του κ. Μπόρη. Δηλαδή, όλα τα ερωτήματα είναι ΕΝΤΟΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ. Αν, τώρα, θέλετε να διαγράψω το ερώτημα, μετά χαράς δεν έχω κανένα τέτοιο πρόβλημα. Απορώ, για κάποιους που έχουν διαβάσει τις απόψεις μου, για τα θέματα των πανελληνίων, να θεωρούν ότι μ' αρέσει να "τιμωρώ" τους μαθητές!

Υ.Γ. Λάμπρο, φυσικά, και δε διδάσκω το ανάπτυγμα... Να πω την τρομερή αλήθεια, με ΕΓΚΡΙΣΗ των παιδιών τους είπα για Flett και έκανα και αυτή την άσκηση. Παρακαλώ, αποκεφαλίστε με!

Φιλικά,
Μάριος

Η κουβέντα αυτή, για μένα τουλάχιστον, δεν έχει χαρακτήρα διαπληκτισμού, αλλά ανταλλαγής απόψεων.

Στο θέμα μας τώρα:

Η άσκηση που συζητείται είναι τραβηγμένη; Ναι. Πάρα πολύ!
Είναι η πρώτη φορά που τίθεται τέτοια "τραβηγμένη" άσκηση στο

; Όχι βέβαια. Συμβαίνει συχνότατα. Άλλωστε αν αναμασούσαμε τα ίδια και τα ίδια, το παιχνίδι ίσως δεν θα είχε ενδιαφέρον.

Ωστόσο, η ένστασή μου αναφέρεται όχι στην άσκηση αυτή καθεαυτή, αλλά στην παράγραφο

M.S.Vovos έγραψε:Κατ' αρχήν, ας ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα. Το Θ. Taylor, που πρακτικά, δεν είναι τίποτε άλλο από μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, φυσικά δεν διδάσκεται στο σχολείο. Ας αναλογιστούμε, τι διδάσκεται από το σχολείο. Προσωπικά, το διδάσκω μαζί με άλλους συνάδελφους όπως ο κ. Μπόρης, που έχει την άσκηση και στο δωρέαν βιβλίο του. Ας πάμε σε κάτι άλλο, τώρα. Θεώρημα Flett. Διδάσκεται στο σχολείο; Φυσικά και όχι. Άλλη μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ. που υπάρχει στην εξεταστέα ύλη και διδάσκεται κανονικά. Επομένως, το ότι δε το γράφει το σχολικό δε σημαίνει πως δε λύνεται με τις γνώσεις και την ύλη της γ' λυκείου.

Πολλά πράγματα μπορούν να αποδειχθούν αν βασιστούμε στη σχολική ύλη. Η άποψή μου είναι ότι αυτό δεν μπορεί να αποτελέσει διδακτικό μπούσουλα. Και επαναλαμβάνω. Για ποιον λόγο να το κάνουμε άλλωστε;

Όσον αφορά το

M.S.Vovos έγραψε: Ντρέπομαι τη μέρα, που κάποιος μαθητής μου θα φέρει άσκηση που δε θα ξέρω να τη λύσω, από τη στιγμή που έχω κάνει ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ στο πανεπιστήμια και όχι τετριμμένες και πολλές φορές ανευ ουσίας ασκήσεις, όπως έχει τέτοιες οι γ' λυκείου.

ένα έχω να πω. Η μέρα εκείνη δε θα αργήσει (αν δεν έχει έρθει ήδη). Και το λέω αυτό, γιατί δεν έχω γνωρίσει κανέναν που να ισχυρίζεται πως δεν του έχει συμβεί.

M.S.Vovos · #19

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:"Με έγκριση των παιδιών.."
Μία τολμηρή θέση πάνω σ'αυτό. Χρειάζεται άραγε ο καθηγητής την έγκριση του μαθητή;

Δεν πρόκειται να σε αποκεφαλίσει κανείς. Απλώς λίγη προσοχή παραπάνω δεν βλάπτει. Δεν μιλώ εξ ονόματος όλων εδώ μέσα και εκφράζω μόνο τη δική μου θέση, αλλά όλοι λίγο πολύ ξέρουμε ότι βρισκόμαστε στον σοβαρότερο διαδικτυακό χώρο περί τα Μαθηματικά εν Ελλάδι. Ε ρε 'συ Μάριέ μου, γίνε λίγο πιο αυστηρός με τον εαυτό σου. Άντε, σε καληνυχτώ!

Λάμπρο, καληνύχτα!

Η άποψη μου είναι ότι σε κάποια ζητηματα πρέπει να ρωτάμε τους μαθητές, ενώ σε άλλα να ακολουθούμε τη γνώμη μας. Τέλος πάντων, πως κατάφερα να δημιουργήσω τέτοια ένταση, ακόμη δε κατάλαβα

.

Υ.Γ. Προσπαθώ να είμαι όσο γίνεται πιο αυστηρός με τον εαυτό μου. Το κακό είναι πως είμαι αρκετά ενθουσιώδης και...

Φιλικά,
Μάριος

dennys · #20

Εντάξει κ. Μάριε
Αφου συννενοηθήκαμε και προσπάθησες αρχικά να μας τρελλάνεις ,τώρα βρήκα ενα μήνυμα σου τον Απρίλιο και κατάλαβα τα πάντα .Προς θεού μην το θεωρήσεις
υποτιμητικά απλά έτσι εξηγούνται κάποια πράγματα .Σου εύχομαι δε να γίνεις όντως ενας πολύ καλός μαθηματικός .Ο Θωμάς Ραικόφτσαλης λέει συχνά: <<Η γνωση μας κάνει περήφανους και η σοφία ταπεινούς>> Μην το ξεχνάς και να είσαι καλά.Δίνω πιο κάτω το μήνυμα σου.

<<<<Αγαπητά μέλη της κοινότητας του

, Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για τις απαντήσεις σας και τις ειλικρινά, στοχευμένες και ορθές κριτικές σας. Είμαι δεύτερο έτος του Μαθηματικού και μόλις πριν από 4 μήνες ξεκίνησα ιδιαίτερα με ένα μέτριο μαθητή. Αναγνωρίζω τα παραπάνω λάθη και ειλικρινά ζητώ συγγ...>>>>>

φιλικά ΒΟΥΤΣΑΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ

Γενικό θέμα

Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Re: Γενικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση