Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

#1

Είναι αληθές ότι αν 2rst+t+s^2=r^2t+2rs+t^2=r^2s+r+2st

για $r, s, t \geq0$ τότε r=s=t=1

;

[Δεν έχω λύση, η προέλευση αργότερα.]

Γιώργος Μπαλόγλου

Αρχιμήδης 6 · #2

Έχει και την r=s=t=0

#3

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Έχει και την

Όντως

[Πάντως έχω λύση τώρα, στοιχειώδη αλλά μπλεγμένη, η οποία 'πιάνει' και την ως άνω τετριμμένη περίπτωση -- το πρόβλημα αποτελεί λήμμα για την απόδειξη, με χρήση μερικών παραγώγων (στο πνεύμα αυτού θα έλεγα) της ανισότητας που προτάθηκε εδώ ... ή, ισοδύναμα, της περίπτωσης n=4

στα Κυκλικά Πηλίκα

]

Γιώργος Μπαλόγλου

chris_konst · #4

Υπάρχουν και άλλες λύσεις εκτός της τετριμμένης και της $\displaystyle{r=s=t=1}$ . Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{r=0}$ , τότε προκύπτει $\displaystyle{t+s^2=t^2=2st}$ , και αν ζητήσουμε $\displaystyle{s,t>0 }$ , τότε : $\displaystyle{t=4/3, s=2/3, r=0}$ .

Αντίστοιχα (αν κάνω σωστά τις πράξεις) προκύπτουν οι $\displaystyle{t=r=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, s=0}$ και $\displaystyle{r=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}, s=2 \pm \sqrt{2}, t=0}$

#5

chris_konst έγραψε:Υπάρχουν και άλλες λύσεις εκτός της τετριμμένης και της $\displaystyle{r=s=t=1}$ . Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{r=0}$ , τότε προκύπτει $\displaystyle{t+s^2=t^2=2st}$ , και αν ζητήσουμε $\displaystyle{s,t>0 }$ , τότε : $\displaystyle{t=4/3, s=2/3, r=0}$ .

Αντίστοιχα (αν κάνω σωστά τις πράξεις) προκύπτουν οι $\displaystyle{t=r=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, s=0}$ και $\displaystyle{r=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}, s=2 \pm \sqrt{2}, t=0}$

Βεβαίως, έτσι είναι, ευχαριστώ για την επισήμανση: έπρεπε εξ αρχής να ζητάω r, s, t >0

, καθώς με ενδιαφέρει η ύπαρξη κρισίμων σημείων (όπου δηλαδή μηδενίζονται οι τρεις μερικές παράγωγοι) στο εσωτερικό του χωρίου $r\geq0$ , $s\geq0$ , $t\geq0$ , το σύνορο ( r=0

& $st\geq0$ , s=0

& $rt\geq0$ , t=0

& $rs\geq0$ ) εξετάζεται ξεχωριστά και αρκετά εύκολα. Θα επανέλθω με λεπτομέρειες για το 'αρχικό' πρόβλημα όταν βρω χρόνο -- η προσβασιμότητα μου στον διαδίκτυο είναι περιορισμένη λόγω διακοπών -- και θα δώσω και την λύση μου στο αλγεβρικό υποπρόβλημα (μόνη λύση η r=s=t=1

για θετικούς r, s, t

) αν δεν το κάνει κανείς άλλος...

Και πάλι ευχαριστώ,

Γιώργος Μπαλόγλου

Αρχιμήδης 6 · #6

O ισχυρισμός αυτός δεν νομίζω πως είναι σωστός αλλά έχω επιφυλάξεις γιατί δεν αφιέρωσα αρκετό χρόνο.

Θα θέσω s=2

και θα έχω το παρακάτω σύστημα

4rt+t+4=r^2t+4r+t^2=2r^2+r+4t

Από την πρώτη και την τρίτη θα ισχύει,

$t=\dfrac{2r^2-4}{4r-3}$ , $r\neq{\dfrac{3}{4}}$ Σε αυτό το σημείο υπάρχει σοβαρό λάθος στις πράξεις που μόλις είδα άρα ότι ακολουθεί είναι λάθος άρα είναι ενδιαφέρον...

Αν αντικαταστήσω το

στην πρώτη και δεύτερη θα έχω την παρακάτω εξίσωση

-8r^5+34r^4-64r^3+94r^2-100r+32=0

Ο wolfram δίνει θετική λύση περίπου 0,48

και θετική για την

.

Φιλικά,

Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #7

Θα θέσω

και θα έχω το παρακάτω σύστημα

4rt+t+4=r^2t+4r+t^2=2r^2+r+4t

(1)

Μόλις πέρασα το σύστημα (1) στο link αυτό http://www.quickmath.com/webMathematica ... t&v2=r%0At και μου έδωσε θετικές λύσεις!

Φιλικά,

Δημήτρης

#8

Ναι, όντως, έλεγξα τις σημειώσεις μου και βρήκα λάθη στις πράξεις ... που οδήγησαν στην 'υπεραισιόδοξη' r-1=rs(s-1)

... κλπ κλπ κλπ

...Θα επανέλθω αν έχω κάτι περισσότερο να πω, προς το παρόν χαιρετίσματα από την παραλία ... της Θεσσαλονίκης, ευχαριστώ -- μετά συγγνώμης -- όσους ασχολήθηκαν για τον χρόνο τους, και αφιερώνω σε όλους ένα τραγούδι του Νίκου Χουλιαρά (που κηδεύεται σήμερα το απόγευμα)...

Γιώργος Μπαλόγλου

Αρχιμήδης 6 · #9

gbaloglou έγραψε:Ναι, όντως, έλεγξα τις σημειώσεις μου και βρήκα λάθη στις πράξεις ... που οδήγησαν στην 'υπεραισιόδοξη' ... κλπ κλπ κλπ

...Θα επανέλθω αν έχω κάτι περισσότερο να πω, προς το παρόν χαιρετίσματα από την παραλία ... της Θεσσαλονίκης, ευχαριστώ -- μετά συγγνώμης -- όσους ασχολήθηκαν για τον χρόνο τους, και αφιερώνω σε όλους ένα τραγούδι του Νίκου Χουλιαρά (που κηδεύεται σήμερα το απόγευμα)...

Γιώργος Μπαλόγλου

Καλά να περνάς Γιώργο!

Υ.Γ

Το άγνωστο έχει μεγαλύτερη γοητεία από το γνωστό...

Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Re: Τρίτου βαθμού τριών μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση