Απλή_1

#1

: Anatoli_5_319.png (7.56 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Δίδεται τετράπλευρο ABCD

με $A = 90^\circ \,\,,\,\,B = 70^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D = 80^\circ$

Κύκλος (O,4)

εφάπτεται στην πλευρά

στο

, στην πλευρά

στο

και διέρχεται από το

. Έστω

το μέσο του μικρού τόξου $\overset{\frown}{DC}$ .

1. Δείξετε ότι η ευθεία

τέμνει κάθετα την ευθεία

, έστω στο

.

2. Να υπολογιστούν τα μήκη των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK$ .

Νίκος

#2

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Anatoli_5_319.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίδεται τετράπλευρο με $A = 90^\circ \,\,,\,\,B = 70^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D = 80^\circ$

Κύκλος εφάπτεται στην πλευρά στο , στην πλευρά στο και διέρχεται από το . Έστω το μέσο του μικρού τόξου $\overset{\frown}{DC}$ .

1. Δείξετε ότι η ευθεία τέμνει κάθετα την ευθεία , έστω στο .

2. Να υπολογιστούν τα μήκη των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK$ .

Νίκος

Γεια σου Νίκο.

: Απλή_1.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

. Λεπτομέρειες αύριο αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε.

edit: Άρση απόκρυψης

chris_konst · #3

: file.php.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Doloros:

Στο τετράπλευρο ABCD

είναι: $\displaystyle{ \widehat{DCB} = 360^0-90^0-70^0-80^0= 120^0 \quad }$ , άρα $\displaystyle { \hat{C_1}= 120^0-90^0= 30^0$ και ${ \hat{C_2}= 180^0-\widehat{DCB}= 60^0$ .

Το τρίγωνο DOC

είναι ισοσκελές με OD=OC

(ακτίνες), άρα $\hat{D_1}= \hat{C_1}= 30^0$ και $\widehat{DOC} = 120^0$ . Το

είναι μέσο του μικρού $\overset{\frown}{DC}$ , επομένως $OM \perp DC$ στο μέσο του

, και το τόξο $\overset{\frown}{MC}$ έχει μέτρο 60^0

(από $\widehat{DOC} = 120^0$ ), άρα η εγγεγραμμένη $\hat{D_2}= 30^0$ . Άρα το τρίγωνο DOM

είναι ισόπλευρο, αφού είναι ισοσκελές (

ύψος και διχοτόμος $\widehat{ODM}$ ) και έχει μια γωνία 60^0

( ή επίσης DO=DM

από το ισοσκελές, και DO = OM

ως ακτίνες).

Τότε:
α) Στο τριγ. DKC

είναι $\widehat{DKC} = 180^0- \hat{D_2} - \hat{C_2} = 90^0$ , άρα $DK \perp KC$

β) Από το ισόπλευρο τριγ. DOM

είναι $\boxed{DM=R=4}$ , και OL=OM/2 = 2

, οπότε το Πυθαγόρειο θεωρ. στο ορθογώνιο τριγ. OLC

δίνει $LC = 2\sqrt{3}$ . Επομένως $DC = 2LC \Leftrightarrow \boxed{DC = 4\sqrt{3}}$ .
Στο ορθ. τρίγωνο DKC

είναι $\hat{D_2}=30^0$ άρα $KC= DC/2 = 2\sqrt{3}$ . Πάλι από Πυθ.Θεωρ. είναι DK =6

, οπότε $\boxed{KM = DK-DM = 2}$

#4

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Anatoli_5_319.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίδεται τετράπλευρο με $A = 90^\circ \,\,,\,\,B = 70^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D = 80^\circ$

Κύκλος εφάπτεται στην πλευρά στο , στην πλευρά στο και διέρχεται από το . Έστω το μέσο του μικρού τόξου $\overset{\frown}{DC}$ .

1. Δείξετε ότι η ευθεία τέμνει κάθετα την ευθεία , έστω στο .

2. Να υπολογιστούν τα μήκη των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK$ .

Νίκος

Καλημέρα σε όλους.

Λίγο διαφορετικά.

: Απλή_1.β.png (18.52 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

1) Η

είναι μεσοκάθετη της

, απ' όπου προκύπτουν οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα. $\hat{KCM}=30^0, \hat{CMK}=60^0$ , άρα $\hat{MKC}=90^0$ .

2) Το ODMC

είναι ρόμβος, οπότε DM=OD=4

και $\displaystyle{MK = \frac{{MC}}{2} = 2}$

thanasis.a · #5

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Anatoli_5_319.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίδεται τετράπλευρο με $A = 90^\circ \,\,,\,\,B = 70^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D = 80^\circ$

Κύκλος εφάπτεται στην πλευρά στο , στην πλευρά στο και διέρχεται από το . Έστω το μέσο του μικρού τόξου $\overset{\frown}{DC}$ .

1. Δείξετε ότι η ευθεία τέμνει κάθετα την ευθεία , έστω στο .

2. Να υπολογιστούν τα μήκη των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK$ .

Νίκος

: draw1.png (38.49 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

..καλησπέρα..

προεκτείνουμε την $OC: F\equiv CO\bigcap{AD}$ . Επίσης αφου $M:MD=MC\Rightarrow \hat{MDC}=\hat{MCD}=\hat{KCM}$ (χορδή-εφαπτόμενη).Αφού

εφαπτόμενη του κύκλου (O,4)

σημαίνει ότι $F(O)C\perp KB$

Δηλαδή στο τετράπλευρο ABCF

είναι εγγράψιμο (αφού έχουμε : $\hat{A}=\hat{C}=90^{\circ}$ ) οπότε: $\hat{CBA}=\hat{CFD}=70^{\circ}$ \displaystyle{\Rightarrow \bigtriangleup FCD:\hat{DCF}=180^{\circ} -70^{\circ} -80^{\circ}} $\Rightarrow \hat{DCF}=30^{\circ}$ .

Επειδή $OD=OC=4\Rightarrow\hat{ODC}=\hat{DCO}=30^{\circ} \Rightarrow \hat{DOM}=\hat{MOC}=60^{\circ}$ \displaystyle{\Rightarrow \boxed{DM=MC=4} . Επίσης

\hat{KCM}=90^{\circ} -\hat{MCO}\Rightarrow \hat{KCM}=30^{\circ} \Rightarrow \hat{DKC}=180^{\circ} -\hat{KDC}-\hat{KCD}} $\Rightarrow ..\boxed{\hat{DKC}=90^{\circ}}$ .

Τέλος στο $\displaystyle\bigtriangleup MKC:\hat{K}=90^{\circ},\,\,\,\hat{MCK}=30^{\circ} \Rightarrow MK=\frac{MC}{2}\Rightarrow\boxed{MK=2}$

Απλή_1

Απλή_1

Re: Απλή_1

Re: Απλή_1

Re: Απλή_1

Re: Απλή_1

Μέλη σε σύνδεση