SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννινα

senaki · #1

Καλησπέρα παιδιά, έχω κολλήσει σε αυτές τις ασκήσεις! Βοήθεια please!!!

Να δοθεί παράδειγμα πραγματικής συνάρτησης f ορισμένης σε κλειστό και φραγμένο διάστημα $\left [ a, \right b]$ , η οποία να είναι φραγμένη, όχι μονότονη και όχι ολοκληρώσιμη κατά Riemann και για την οποία να ισχύει $f\left ( a )=a$ και $f\left ( b )=b$ .

Να δοθεί παράδειγμα μη - τριγωνομετρικής και μη πολυωνυμικής συνάρτησης $f:\left ( -\infty , \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία να υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή κατά Cauchy του $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$ αλλά να μην υπάρχει το $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$

Ευχαριστώ!!!

#2

Επειδή και οι δύο είναι πάρα πολύ απλές ασκήσεις για φοιτητή Μαθηματικού, δεδομένου ότι ουσιαστικά είναι απαντημένες σε όλα τα βιβλία που περιέχουν την αντίστοιχη θεματολογία, θα σε παρότρυνα να τις σκεφτείς λίγο παραπάνω (και να ανοίξεις τα βιβλία σου).

Για την ώρα θα δώσω μόνο υπόδειξη για το α).

Είναι 100% βέβαιο ότι το βιβλίο σου έχει παράδειγμα μη ολοκληρώσιμης φραγμένης συνάρτησης. Πάρε το έτοιμο αυτό παράδειγμα. Άλλαξε την τιμή της

στα

του έτοιμου παραδείγματος θέτοντας $f(a)=a, \, f(b)=b$ . Συνέχισε από εδώ.

senaki · #3

Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη. Είχα σκεφτεί ακριβώς το ίδιο.

Tolaso J Kos · #4

senaki έγραψε:
Να δοθεί παράδειγμα μη - τριγωνομετρικής και μη πολυωνυμικής συνάρτησης $f:\left ( -\infty , \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία να υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή κατά Cauchy του $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$ αλλά να μην υπάρχει το $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$

Δίδω ένα απλό παράδειγμα. Ελπίζω να σου κάνει.

Πάρε τη συνάρτηση $f(x)=x \cos x$ . Πράγματι είναι $\displaystyle{\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, {\rm d}x =0}$ αλλά το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, {\rm d}x }$ δε συγκλίνει.

Ψάχνοντας πιστεύω θα βρούμε και άλλα.

senaki · #5

Ευχαριστώ.

#6

senaki έγραψε:
Να δοθεί παράδειγμα μη - τριγωνομετρικής και μη πολυωνυμικής συνάρτησης $f:\left ( -\infty , \right +\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία να υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή κατά Cauchy του $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$ αλλά να μην υπάρχει το $\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t )dt$

Απλούστερα.

Παίρνουμε f(x)=x

. Τότε $\displaystyle{\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, {\rm d}x =0}$ αλλά το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, {\rm d}x }$ δεν συγκλίνει.

Τώρα, η

αυτή είναι πολυωνυμική, και δεν θέλουμε τέτοια. Νο πρόμπλεμ. Αλλάζουμε την τιμή της σε ένα σημείο, π.χ. θέτουμε f(0) = 2015

, και τώρα δεν είναι πολυωνυμική αλλά διατηρεί τις ιδιότητές της περί ολοκληρωσιμότητας ή μη, που μας ενδιαφέρουν.

Μ.

#7

Ίσως το ευκολότερο παράδειγμα είναι η

$\displaystyle{ f(x)= \left\{\begin{matrix} +1, & x\ge 0\\ -1,& x<0 \end{matrix}\right.}$

Αφήνω τις λεπτομέρειες ως άμεσες.

senaki · #8

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια.

Kik · #9

Καλησπέρα.Μήπως θα μπορούσατε να μου δώσετε ένα επιπλέον παράδειγμα για το ερώτημα α ;;
Ευχαριστώ!

#10

Kik έγραψε:Καλησπέρα.Μήπως θα μπορούσατε να μου δώσετε ένα επιπλέον παράδειγμα για το ερώτημα α ;;
Ευχαριστώ!

Ίσως δεν έχει γίνει κατανοητό ότι αυτό που έγραψα

Mihalis_Lambrou έγραψε: Είναι 100% βέβαιο ότι το βιβλίο σου έχει παράδειγμα μη ολοκληρώσιμης φραγμένης συνάρτησης. Πάρε το έτοιμο αυτό παράδειγμα. Άλλαξε την τιμή της στα του έτοιμου παραδείγματος θέτοντας $f(a)=a, \, f(b)=b$ . Συνέχισε από εδώ.

είναι ΟΛΑ τα παραδείγματα. Δεν υπάρχει παράδειγμα συνάρτησης όπως την ζητάς, που να μην εμπίπτει στο παραπάνω.

Η αιτία είναι ότι μεταξύ των φραγμένων συναρτήσεων, οι μονότονες ΕΙΝΑΙ Riemann ολοκληρώσιμες. Άρα οποιαδήποτε μη Riemann ολοκληρώσιμη είναι αυτόματα μη μονότονη.

Ελπίζω να βοήθησα.

Kik · #11

Κατάλαβα.Σας ευχαριστώ πολύ!!

SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννινα

SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννινα

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Re: SOS Απορίες σε θέματα Απειρ. Λογισμού Μαθηματικό Ιωάννιν

Μέλη σε σύνδεση