γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

zakakou · #1

Συνάδελφοι-ισες, θυμάται κάποιος τη γεωμετρική επίλυση στο παρακάτω πρόβλημα
Αν σε δυο ορθογώνια τρίγωνα οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές των οξειών γωνιών είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

apotin · #2

Σχολικό σελ. $\displaystyle{186}$ , αποδεικτική άσκηση $\displaystyle{4}$

zakakou · #3

apotin έγραψε:Σχολικό σελ. $\displaystyle{186}$ , αποδεικτική άσκηση $\displaystyle{4}$

ευχαριστώ συνάδελφε το γνωρίζω, αλλά εννοώ γεωμετρική επίλυση, όχι με την αλγεβρική χρήση του Π.Θ. Η άσκηση λύνεται και με το θεώρημα διαμέσων και χρήση της ιδιότητας του βαρύκεντρου. Γεωμετρικά με κανόνα και διαβήτη εννοώ. Σ' ευχαριστώ και πάλι

#4

zakakou έγραψε:Συνάδελφοι-ισες, θυμάται κάποιος τη γεωμετρική επίλυση στο παρακάτω πρόβλημα
Αν σε δυο ορθογώνια τρίγωνα οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές των οξειών γωνιών είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Καλημέρα.

Αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα είναι ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ δίνονται οι διάμεσοι BD=m, CE=n

, τότε το τρίγωνο είναι μοναδικό. Δηλαδή στην ουσία να κατασκευαστεί αυτό το τρίγωνο με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευή:
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα BD=m

. Έστω

σημείο του τμήματος

ώστε $\displaystyle{BG = \frac{{2m}}{3}}$ και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

. Γράφω το ημικύκλιο με διάμετρο

και τον κύκλο
$\displaystyle{\left( {Z,\frac{{2n}}{3}} \right)}$ που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

. Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

, τότε το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

: Γεωμετρική επίλυση.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Απόδειξη:
Από κατασκευής είναι $\widehat A=90^0$ και η BD=m

είναι η μία διάμεσος με βαρύκεντρο το σημείο

. Αν η

τέμνει την

στο

, τότε επειδή το AZCG

είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοι του διχοτομούνται), θα είναι $\displaystyle{CG = ZA = \frac{{2n}}{3}}$ . Δηλαδή η CE=n

θα είναι η άλλη διάμεσος, οπότε η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει λύση όταν ZD<ZA<ZB

. Δηλαδή: $\displaystyle{\frac{m}{3} < \frac{{2n}}{3} < \frac{{4m}}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{m<2n<4m}$

(Υπάρχει άλλη μία λύση,γιατί ο κύκλος με κέντρο

τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο διαμέτρου

σε άλλο σημείο, αλλά το τρίγωνο που προκύπτει είναι ίσο με το πρώτο)

Δεν ξέρω αν είναι αυτό που εννοείς συνάδελφε.

zakakou · #5

george visvikis έγραψε:
zakakou έγραψε:Συνάδελφοι-ισες, θυμάται κάποιος τη γεωμετρική επίλυση στο παρακάτω πρόβλημα
Αν σε δυο ορθογώνια τρίγωνα οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές των οξειών γωνιών είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
Καλημέρα.

Αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα είναι ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ δίνονται οι διάμεσοι , τότε το τρίγωνο είναι μοναδικό. Δηλαδή στην ουσία να κατασκευαστεί αυτό το τρίγωνο με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευή:
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα . Έστω σημείο του τμήματος ώστε $\displaystyle{BD = \frac{{2m}}{3}}$ και έστω το συμμετρικό του ως προς . Γράφω το ημικύκλιο με διάμετρο και τον κύκλο
$\displaystyle{\left( {Z,\frac{{2n}}{3}} \right)}$ που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , τότε το είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Γεωμετρική επίλυση.png
Απόδειξη:
Σ' ευχαριστώ πολύ!
Από κατασκευής είναι $\widehat A=90^0$ και η είναι η μία διάμεσος με βαρύκεντρο το σημείο . Αν η τέμνει την στο , τότε επειδή το είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοι του διχοτομούνται), θα είναι $\displaystyle{CG = ZA = \frac{{2n}}{3}}$ . Δηλαδή η θα είναι η άλλη διάμεσος, οπότε η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει λύση όταν . Δηλαδή: $\displaystyle{\frac{m}{3} < \frac{{2n}}{3} < \frac{{4m}}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{m<2n<4m}$

(Υπάρχει άλλη μία λύση,γιατί ο κύκλος με κέντρο τέμνει το δεύτερο ημικύκλιο διαμέτρου σε άλλο σημείο, αλλά το τρίγωνο που προκύπτει είναι ίσο με το πρώτο)

Δεν ξέρω αν είναι αυτό που εννοείς συνάδελφε.

zakakou · #6

Σ' ευχαριστώ πολύ!

sakis1963 · #7

Καλησπέρα,
μια άλλη αντιμετώπιση (λίγο αλγεβρικότερη)
Αν l, m, n

οι διάμεσοι, από Θ. διαμέσων στο BGC

, έχουμε: $( \frac{2}{3}m)^2+( \frac{2}{3}n)^2=2( \frac{1}{3}l)^2+ \frac{a^2}{2}$ ....(1)
Επίσης από το ορθογ. τριγ. ABC

έχουμε $l= \frac{a}{2}$ ....(2)
Από (1), (2) μετά από πράξεις : $a^2= \frac{4}{5}(m^2+n^2)$ $\Rightarrow (\sqrt{5}a)^2=(2m)^2+(2n)^2$ .
Οπότε η πλευρά

κατασκευάζεται, και άρα και το τρίγωνο $GBC (\frac{2}{3}m, \frac{2}{3}n, a)$ και στη συνέχεια το ABC

Φιλικά, Σάκης.

γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

Re: γεωμετρικη επιλυση προβληματος διαμεσων

Re: γεωμετρικη επιλυση προβληματος διαμεσων

Re: γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

Re: γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

Re: γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

Re: γεωμετρική επίλυση προβλήματος διαμέσων

Μέλη σε σύνδεση