Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

nickthegreek · #1

Διόρθωση: Επαναφορά.

------------------------------

#2

Για

είναι

και μπορώ να γράψω 1! = 1^2

.
Για

είναι

και μπορώ να γράψω 2! = 1^2+1^2

.
Για

είναι

και μπορώ να γράψω 3! = 1^2 + 1^2 + 2^2

.
Για

είναι

και μπορώ να γράψω 4! = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2+3^2

.
Για

είναι

και μπορώ να γράψω 5! = 1^2+1^2+1^2+2^2+2^2+3^2+10^2

.

Ας υποθέσω λοιπόν ότι $n \geqslant 6$ . Θα δείξω ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z,w

ώστε
$\displaystyle{ n! = 1^2 + 4^2 + \cdots + 4^2 + x^2 + y^2 + z^2+w^2}$
όπου στην παράσταση χρησιμοποιούνται p(n)-5

τεσσάρια.

Ισοδύναμα, αρκεί να δείξω ότι το n! - (16p(n)-79)

γράφεται σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων θετικών ακεραίων.

Αρκεί να δείξω ότι n! - (16p(n)-79) > 0

. Πράγματι επειδή είναι $n! \equiv 0 \bmod 8$ τότε είναι $n! - (16p(n)-79) \equiv 7 \bmod 8$ . Επειδή όμως ο

είναι θετικός, τότε γράφεται σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Όμως δεν μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα τριών τετραγώνων αφού κάθε τετράγωνο είναι ισότιμο με 0 ή με 1 $\bmod 8$ . Άρα όλα τα τετράγωνα είναι θετικά.

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι n! > 16p(n) - 79

. Αρκεί να δείξω ότι για $n \geqslant 6$ είναι $\displaystyle{ n! > 2^{n+3} \geqslant 16p(n) > 16p(n)-79.}$

Η πρώτη ανισότητα είναι απλή επαγωγή στο

. (Παρατηρήστε ότι ισχύει για n=6

.)
Η τρίτη ανισότητα είναι τετριμμένη.

Για την δεύτερη μένει να δείξω ότι $p(n) \leqslant 2^{n-1}$ Για να την δείξω, ορίζω συνάρτηση από το σύνολο των διαμερίσεων του

στο σύνολο των υποσυνόλων του $\{1,2,\ldots,n-1\}$ ως εξής: Στέλνω την διαμέριση $n_1 + n_2 + \cdots + n_k$ όπου $n_1 \leqslant n_2 \leqslant \cdots \leqslant n_k$ στο υποσύνολο $\{n_1,n_1+n_2,\ldots,n_1+\cdots+n_{k-1}\}$ . Είναι απλό πως η συνάρτηση είναι 1-1 οπότε έχω $p(n) \leqslant 2^{n-1}$ όπως ήθελα να δείξω.

nickthegreek · #3

Δημήτρη, σε ευχαριστώ πολύ!!

Alex1994 · #4

Μπορούμε να βάλουμε και μια πιο δυνατή συνθήκη:
$n! = \sum_{k = 1}^{p(n)} a_k^2$
όπου οι θετικοί ακέραιοι a_k

είναι διαιρέτες του

nickthegreek · #5

Διόρθωση: Επαναφορά.

-------------------------------

#6

Σε προσωπικό μήνυμα μου είχε πει ο Νίκος ότι η ιδέα κατασκευής της άσκησης ήταν ακριβώς η χρησιμοποίηση της θεωρίας παραστάσεων. Ένιωθα κάποιες ενοχές που την χάλασα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Lagrange, αλλά ευτυχώς την βελτίωσε ο Αλέξανδρος ώστε να μην δουλεύει η μέθοδός μου.

Ενδιαφέρον ερώτημα: Μπορούμε να αποφύγουμε τώρα την θεωρία παραστάσεων;

Επεξεργασία: Έμμεση χρήση του hook-length formula θεωρείται κλεψία! (Δεν έχω δοκιμάσει αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί έμμεσα χωρίς να αναφερθούμε σε θεωρία παραστάσεων.)

Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου κατασκευής

Μέλη σε σύνδεση