Σκακιέρα που χρωματίζεται

[petros r]

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε μια σκακιέρα, χρησιμοποιώντας 4 χρώματα, έτσι ώστε κουτάκια με κοινή πλευρά να χρωματίζονται με διαφορετικά χρώματα και κάθε τετράγωνο χρωματίζεται και με τα τέσσερα χρώματα.

[ealexiou]

Θεωρώ το κάτω και αριστερά τετράγωνο . Το τετράγωνο μπορούμε να το χρωματίσουμε με ένα από τα τέσσερα χρώματα, έστω ότι μετά χρωματίζουμε δεύτερο το τετράγωνο, μπορούμε να το χρωματίσουμε με ένα από τρία χρώματα, το με ένα από δύο χρώματα και το με ένα χρώμα. Συνεχίζουμε προς τα δεξιά το βάψιμο. Το τετράγωνο μπορούμε να το χρωματίσουμε με ένα από δύο χρώματα, καθώς είναι τρίτο τετράγωνο τετραγώνου και τα δύο είναι ήδη βαμμένα το τετράγωνο με ένα χρώμα κ.ο.κ τα , ,..., με δύο τρόπους το καθένα και τα , , ..., τετράγωνα με έναν τρόπο το κάθε ένα.
Συνεχίζουμε τον χρωματισμό αριστερά και προς τα πάνω. Το τετράγωνο ήδη τρίτο μοναδιαίο τετράγωνο τετραγώνου μπορούμε να το χρωματίσουμε με δύο τρόπους και το τετράγωνο ήδη τέταρτο με έναν τρόπο, κ.ο.κ συνεχίζοντας προς τα πάνω τα , , ... , τετράγωνα με δύο τρόπους το καθένα και τα , , ... , με έναν τρόπο το καθένα καθώς όλα είναι τέταρτα τετράγωνα τετραγώνων.
Συνεχίζουμε τον χρωματισμό στο με ένα τρόπο καθώς είναι τέταρτο τετράγωνο τετραγώνου, όπως και όλα τα υπόλοιπα μέχρι και το τετράγωνο με ένα τρόπο-χρώμα, όποιο χρώμα δεν έχουμε χρησιμοποιήσει στα αντίστοιχα άλλα τρία τετράγωνα του τετραγώνου που ανήκουν.
Συνολικά μπορούμε να χρωματίσουμε με τρόπους.

Ενδεικτική σκακιέρα τετραγώνων με αναγραφόμενο τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να χρωματίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα της σκακιέρας.

Σκακιέρα που χρωματίζεται.png (122.83 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

[Demetres]

Ευθύμη, δεν οδηγούν όλοι οι τρόποι που έγραψες σε λύση. Π.χ. έστω ότι έχουμε ήδη γράψει τα πιο κάτω χρώματα



Το πιο πάνω μπορεί να προκύψει με την μέθοδο που προτείνεις αλλά δεν μπορεί να επεκταθεί σε χρωματισμό της σκακιέρας.

Η τελική απάντηση είναι .

[simantiris j.]

Εξαιρετικό θέμα!Βάζω μια λύση που οδηγεί στο αποτέλεσμα του κ. Δημήτρη(παρεπιμπτόντος χρόνια πολλά!)

Έστω ότι τα χρώματα είναι τα K,P,L,M.Αν η πρώτη σειρά έχει τουλάχιστον τρία διαφορετικά χρώματα είναι εύκολο να δούμε ότι ο χρωματισμός όλου του πίνακα προκύπτει με μοναδικό τρόπο (για παράδειγμα δείτε πως κατασκευάζεται η κάτω σειρά αν τα πρώτα χρώματα ήταν τα K,P,L).
Σε διαφορετική περίπτωση η πρώτη σειρά έχει τη μορφή με .Τα χρώματα αυτά επιλέγονται με τρόπους.Τώρα παρατηρήστε ότι ο χρωματισμός της κάθε σειράς (εκτός από την 1η) γίνεται με τρόπους (ανάλογα αν θα έχουμε ή ).Άρα συνολικά μαζί με την 1η έχουμε τρόπους.Αν πράξουμε ομοίως και για τις στήλες έχουμε συνολικά τρόπους.΄
Όμως έτσι έχουμε μετρήσει φορές τους χρωματισμούς που έχουν και στην 1η σειρά και στην 1η στήλη χρώματα.Για το αριστερό γωνιακό τετράγωνο έχουμε πιθανά χρώματα για το επόμενό του και για το από κάτω του .Άρα το πλήθος των χρωματισμών αυτών είναι ίσο με

Τελικά έχουμε τρόπους χρωματισμού.

[ealexiou]

Ευθύμη, δεν οδηγούν όλοι οι τρόποι που έγραψες σε λύση. Π.χ. έστω ότι έχουμε ήδη γράψει τα πιο κάτω χρώματα



Το πιο πάνω μπορεί να προκύψει με την μέθοδο που προτείνεις αλλά δεν μπορεί να επεκταθεί σε χρωματισμό της σκακιέρας.

Η τελική απάντηση είναι .

Δημήτρη, έχεις δίκαιο και το πινακάκι βοήθησε στο να διερευνήσω το θέμα πραγματιστικά- σχεδιαστικά, ξεκινώντας από μια σκακιέρα, που μας δίνει τρόπους και μετά την επέκτεινα σε σκακιέρα, τρόποι, σε , όπου φάνηκε και ο τρόπος που κάποιοι σχηματισμοί δεν επεκτείνονται. Τα αποτελέσματα που έβγαλα συμφωνούν με τον τύπο που έγραψες.
Και επί τη ευκαιρία σου εύχομαι ξανά πολύχρονος, υγιής και ότι επιθυμείς!